Логика

Основой математики является логика. В определенном смысле, логика более фундаментальна, чем арифметика, хотя возникла позже. Логика оперирует с утверждениями, которые могут быть либо истинны, либо ложны. Для сложных логическох конструкций используют логическое переменные.

Логическая переменная может иметь значение TRUE или FALSE. Для любой пары логических переменных a и b определены логические операции and и or. Если значения этих переменных равны одно другому, то это выражают символом "=", который обозначает эквивалентность; пишут a=b. При этом основные логическое операции подчиняются следующим правилам:

(FALSE and FALSE) = FALSE
(FALSE and TRUE) = FALSE
(TRUE and FALSE) = FALSE
(TRUE and TRUE) = TRUE

(FALSE or FALSE) = FALSE
(FALSE or TRUE) = TRUE
(TRUE or FALSE) = TRUE
(TRUE or TRUE) = TRUE

Логические операции коммутативны:

(a or b) = (b or a)
(a and b) = (b and a)

Для того, чтобы указывать порядок операций, используют скобки. Логические операции ассоциативны и дистрибутивны:

((a or b) or c ) = ( a or (b or c))
((a and b) and c ) = ( a and (b and c) )

((a and b) or c ) = ( (a or c) and (b or c))
((a or b) and c ) = ( (a and c) or (b and c))

С этими правилами, сложные логические конструкции могут рассматириваться, упрощаться и использоваться.

Теория множеств

Все объекты, которые рассматриваются в математике, принадлежат определенным множествам. В соответствии с определением науки, запрещено использование объектов без указания множества, так как это означает, что объект принадлежит полному множеству.

Таким образом, теория множеств столь же фундаментальна, как и логика. Без логики, нельзя оперировать с множествами, а без того, чтобы определить множество логических переменных, нельзя развивать логику.

Исторически, ученики сперва получают практические навыки арифметики и алгебры, и только потом (да и то не все) начинают изучать логику и теорию множеств. Некоторые понятия логики и теории множеств достаточно очевидны и иногда могут применяться даже без строгого обоснования.

Счет и арифметика

Одни и те же правила счета могут использоваться для указания количества объектов совершенно разной природы. Тот, кто это первым обнаружил и сформулировал, был великом математиком. Чтобы указывать количество объектов, используются натуральные числа.
Постулируется, что существует множество, называемое натуральные числа, обладающее следующими свойствами:

Для любого натурального числа a, существует единственное число ++(a), которое отлично от a. (В языке "C++" префиксная или постфиксная операция ++ имеет несколько иной смысл, там она изменяет значение переменной в аргументе.)

Для одинаковых, или эквивалентных чисел используют знак "=" , так же, как и для логических переменных: Если a и b эквиваленты, то пишут a=b.

Для любых не эквивалентных натуральных чисел a и b определены логические операции "<" и ">" так, что только одно из нижеуказанных выражений имеет значение TRUE, а другое имеет значение FALSE:

a < b , a > b

Кроме того, для любого натурального числа a, имеют место соотношения ++(a) > a и a < ++(a) .

Предполагается, что для любых натуральных чисел a, b, c,
если a < b и b < c то a < c ; и
если a > b и b > c то a > c .

Предполагается, что любое натуральное число может заменятся его эквивалентом в любом выражении, и это не изменяет значения выражения.

Затем, предполагается, что для любых натуральных чисел a и b, определены арифметические операции сложения "+" и умножения "*", результаты которых являются натуральными числами такими, что

(a + b) = (b+a)
(a + b) > a
(a * b) = (b*a)

и для любых натуральных чисел a, b, c имеет место ассоциативность

( (a+b) + c ) = ( a + (b+c) )
( (a*b) * c ) = (a * (b*c) )

и распределительность (дистрибутивность)

((a + b) * c) = ((a * b) + (b*c))

Кроме того приходится постулировать существование единицы, "unity", то есть такого натурального числа, что для любого натурального числа a, имеют место соотношения

(a + unity) = ++(a)
(a * unity) = a

Некоторые натуральные числа имеют устоявшиеся имена. Символ "1", зарезервирован для единицы, то есть 1=unity. Затем ++(1) имеет имя 2, то есть, по определению, 2=++(1). Затем, подобным образом, 3=++(2) ; 4=++(3) ; 5=++(4), 6=++(5), 7=++(6), 8=++(7), 9=++(8).

Следующие числа не имеют устоявшихся односимвольных имен. Для таких чисел обычно используется десятичная Арабская числовая система: десять=10=++(9), одиннадцать=11=++(10), дюжина=dozen=twelve=12=++(11), и так далее.

Кроме того, используется гексагональная система счисления. В этой системе еще несколько натуральных чисел имеют односимвольные имена, а именно A=++(9), B=++(A), C=++(b), D=++(C), E=++(D), F=++(E), но последущие числа, начиная с ++(F), уже записываются несколькими символами. Совместное использование гексагональной системы и десятичной приводит к путаннице; приходится добавлять символ "H", чтобы указать, что использована гексагональная запись. Кроме того, гексагональная запись некоторых чисел напоминает слова, которые могут оказатся неуместными.
Иногда буквы K, M, G используются для больших чисел, хотя порой это приводят к путанице. Многие думают, что K означает кило=kilo=1000=тысяча; M=мега=1000000, и так далее; но иногда K означает 1024 и каждый может убедиться в этом, пересчитав байты этого файла. Иногда для обозначения больших чисел используются слова "секстиллион", "квинтиллион" и т.п., не имеющие устоявшегося смысла; такие термины указывает на невежество того, кто ими пользуется; в качестве иллюстрации в Вере имеется урок Текстиллион.

Много математики накручено вокруг натуральных чисел. Для некоторых натуральных чисел определена операция, обратная к ++, она называется "--"; для любого натурального числа a, имеет место соотношение --( ++(a)) = a . Аналогично, для некоторых пар натуральных чисел определены операции вычитания ("-") и деления ("/"); эти операции определяют как обратные к сложению и умножению. В Теории чисел анализируются случаи, когда результаты таких операций принадлежат к множеству натуральных чисел.

Измерения

В некоторых случаях удобно рассматривать объекты как непрерывные. (Например, куча риса состоит из вполне дискретных зерен, однако при расчетах может быть удобно допустить, что рис является непрерывным объектом; и, вместо того, чтобы указывать число зерен, указывать, например, объем или массу. Для этого сравнивают количество с некототым эталоном, то есть производят измерение. Анализом и оптимизацией измерений занимается специальный раздел физики называемый метрология. В принципе измерения могут осуществляться с десятком (а то и парой десятков) значащих дестичных цифр. Исторически, математика могла возникнуть как теория измерений, но потом выделилась в самостоятельную науку. Для эффективного описания измерений требуется расширение множества натуральных чисел.

Из натуральных чисел строятся целые числа (добавляются отрицательные числа и ноль; операции "-" и "--" оказываются определенными для всех целых чисел;
рациональные числа, которые можно делить на любое натуральное число;
вещественные числа, которые позволяют иметь дело трансцедентными функциями;
комплексные числа, в которых существует решение любого алгебраического уравнения;
кватернионы, которые хорошо описывают вращения спина половинка;
векторы, тензоры, операторы, и еще многие другие объекты, выдуманные хитроумными математиками для того, чтобы привести в порядок нестрогие выкладки теоретизирующих физиков (см. напр., статью Урок квантовой топологии).

Часто элементы нового числового множества определяется как пары или как специальные последовательности элементов уже определеного числового множества. При этом определяется также класс эквивалентости, то есть указывается, в каком случае два элемента нового множества являются, считаются эквивалентными, то есть равными. Например, целые числа можно определить как пары натуральных, рациональные - как пары целых, вещественные - как фундаментальные последовательности рациональных, комплексные - как пары вещественных, 3-векторы - как тройки вещественых, кватернионы - как четверки вещественных.
В школах термин "равенство" обычно определяют противоречивым образом, используя его для геометрических объектов. Например, конгруэнтные треугольники называют равными. Такая практика приводит к противоречию, как только выясняется, что в утверждении "точка A находится внутри треугольника T1" не всегда можно заменить треугольник T1 "равным ему" (то есть конгруэнтным) треугольником T2. Противоречивость школьной терминологии вызывает конфликты между учителями и учениками. Некоторые из таких конфликтов (не по поводу конгруэнтности) перечислены в статье "Обезьяна с гранатой".

В принципе, каждый может придумать какие ему надо конструкции, определить на этих конструкциях операции сложения и умножения и называть эти конструкции числами. При успехе использования этих конструкций, они могут получить название по имени изобретателя, как матрицы Паули (базисые элементы для кватернионов), числа Кэли (которые оказались не только не коммутативными, но и даже не ассоциативными) и Т.П. (что сможет означать, например, "Тензоры Пупкина", это название пока свободно и ждет, что какой-нибудь Вася Пупкин построит их и придумает для них применение, которым коллеги радостно начнут широко пользоватся.) Правила операций с элементами новых числовых множеств стараются определять так, чтобы хотя бы некоторые из правил арифметики, постулируемые для натуральных чисел, были справедливы и для элементов нового числового множества.

Операции с различными числами, определенными в математике, имеют наиболее широкое применение в физике и других науках. После построения комплексных чисел, становится возможным определение так называемых голоморфных функций. Исследование таких функий является существенной частью матана, то есть математического анализа.

Элементарные функции и математический анализ

Математический анализ имеет дело с числами, последовательностями и функциями. Определяются понятия производной и интеграла; исследуются свойства решений фукциональных уравнений; в частности, дифуров (то есть дифференциальных уравнений), и интегральных уравнений.

Некоторые наиболее употребимые функции декларируются как специальные функции; а некоторые из них считаются даже элементарными. Основные элементарные функции можно построить из сложения, умножения, экспоненцирования и функций, обратных к этим функциям. Многие специальные функции строятся как интегралы от элементарных функций или как функции, обратные к элементарным. На сайте mizugadro и,особенно, в его разделе TORI http://mizugadro.mydns.jp/t, специальной называется также любая голоморфная функция, как только для неё представлено определение, указан способ вычисления с требуемой точностью, описаны свойства и построены графики.

Большая часть матана связана со сложеним, умноженим и экспоненцированим, их обратными функциями и их комбинациями. Специальные математические обозначения используются для того, чтобы записывать уравнения в компактной форме. Умножение "*" используется так часто, что этот символ обычно просто не пишут. (Иногда это вызывает путаницу.)

Тригонометрия

В школах, свойства многих элементарных функций (например, sin и cos) выводятся на основе планиметрии из дополнительных постулатов, аксиом. Такое построение называется тригoнометрия. Тригонометрические функции получаются как свойства прямоугольных треугольников. Использование аксиом и теорем планиметрии для построения тригонометрических функций является традицией, сохранившейся с тех времен, когда экспонента, дифференциальные уравнения и комплексные числа еще не были построены.

Свойства тригонометрических функций следуют из свойств комплексных чисел и экспоненты. Кроме того, их можно определить как решение системы дифференциальных уравнений

sin'(x) = cos(x)
cos'(x) = -sin(x)

с граничным условием sin(0)=0 , cos(0)=1 . При этом аргумент x и сами функции могут считаться вещественными.

Функции Аскерманна

Функции Аскерманна A могут быть определены уравнениями

A( 1 , z ) = b + z
A( k , 1 ) = b for k>0
A( k , z ) = A( k-1 , A(k,z-1) )

для некоторой константы b, которая называется базой; по крайней мере, для случая, когда аргументы являются натуральными числами. Обозначения Википедии несколько отличаются от обозначений Веры,
A_Вики( k , z ) = A_Веры( k , z+3 )-3
; прибавление числа 3 к аргументу и вычитание этого числа из конечного значения является малосущественным, но не оправданным усложнением.

A_k(z) = A( k , z )

По определению, A₁ выражается через суммирование; затем, можно показать что A₂ может быть выражена через умножение, а A₃ через экспоненцирование.

A₂(z) = b*z
A₃(z) = b^z = exp_b(z)

Эти функции квалифицируются как целые (то есть entire; их не надо путать с целыми числами, которые integer), то есть голоморфные на всей комплексной плоскости, для любого комплексного числа z.

Концепция суперфункций позволяет вычислять каждого аскермана A_k для k > 1 , предполагая, что эффективная процедура для вычисления A_k-1 уже изготовлена, обоснована и отлажена.

Доказательство существования и единственности голоморфных расширений функций Аскермана находится в стадии исследования. Даже в случае пессимистичного прогноза о времени выработки такого доказательства, эти свойства функций Аскермана могут быть постулированы примерно таким же образом, каким свойства тригонометрических функций выводятся в курсах математики для школ и вузов в IXX-XX веках и начале XXI века.

Геометрия

Элементарные функции могут использоваться для описания объектов многомерных пространств, и, в частности, двумерного Эвклидового пространства. В простейшем случае, такое пространство строится из точек; точка x определяется как пара вещественных чисел x₁ и x₂):

x = (x₁,x₂)

Такое построение пространства соответствует Декартовым координатам.

Расстояние r между двумя точками x и y определяется соотношением

r(x,y) = ( (x₁-y₁)² + (x₂-y₂)² )^1/2

Линия определяется как множество точек, удовлетворяющих некоторому уравнению. В частности, Прямая соответствует решениям линейного уравнения, например,

a₁ x₁ + a₂ x₂ = c ,

где a₁, a₂ и c суть вещественные числа. Из линий и их отрезков можно строить более сложные объекты, например, треугольники, и устанавливать классы соответствия (подобие, конгруэнтность) между этими объектами. Пользуясь свойствами элементарных функций, можно доказать утверждения, которые постулируются в исторических изложениях геометрии.

Во времена Эвклида считалось, что для построения геометрии достаточно пяти аксиом. Этому историческому пути следуют и школьные курсы математики. Впоследствии Давид Гильбет обнаружил, что аксиом нужно порядка двадцати, так что простота такого школьного построения математики сомнительна.

Несмотря на это, по крайней мере на начала XXI века, система обучения построена так, что ученики сперва вынуждены учить аксиомы Эвклида, доказывать множество теорем, чтобы прийти к знаменитой теореме Пифагора, и только потом обнаружить, что те же утверждения можно легко доказать, определив точки в Эвклидовом пространстве как пары вещественных чисел и вообще не принимая на веру каких бы то ни было дополнительных постулатов.

Ввиду того, что вывод свойств тригонометрических функций из дифуров не требует дополнительных геометрических постулатов, эта парадигма является основной, а использование геометрии для вывода свойств тригонометригеских функций - историческим. Разумеется, в соответствии с определением науки, исторический способ тоже имеет право на существование.

В школьных курсах геометрии обычно имеется путаница; конгруэнтные фигуры (то есть имеющие одинаковые размеры и форму) считаются равными. Ученики, желающие подколоть и посадить в лужу плохого учителя математики, могут использовать это обстоятельство.

Направления математики

Развитие математики порождает все новые и новые направления, которые в некотором смысле могут считаться замостоятельными науками. Так случилось с
Теорией вероятности,
Математической статистикой
Теорией игр,
Вычислительной математикой, численными симуляциями,
и многими другими. Некоторые из этих направлений слегка отходят от принципов математики, согласно которым сперва должны быть перечислены аксиомы, а потом все утверждения должны выводиться из этих аксиом. Впрочем, эти направления следуют правилам, общим для всех наук. В противном случае, такая деятельность и такое знание являются в лучшем случае религией. Например, Астрология не становится частью математики (ни частью науки), даже если она использует математические методы, компьютеры и позволяет делать предсказания. Не становятся наукой также те направления философии, в которых в принципе невозможно показать несостоятельнось каких-либо парадигм и отвегнуть их; такие философии тоже являются религиями.

В математике используются различные подходы, и определения даже таких понятий как множества, логика и числа могут быть различными.

Заключение

Мне не нравится построение математики, принятое в большинстве учебников, поэтому я написал эту статью. Особенные возражения вызывают аксиомы Эвклида, используемые для теоремы Пифагора и определения свойств тригонометрических функций. Если допускаются дополнительные аксиомы, то лучше использовать их для постулирования существования и единственности голоморфного обобщения функций Аскерманна.