# Радикал

Юрий Николаевич Васильев

Решение уравнений n-степени в радикалах.


Аннотация: Некоторые конкретные многочлены с числовыми коэффициентами разрешимы в радикалах.


"Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида

а0хn + а1хn-1 + а2хn-2 +... + аn-1x + аn =0 где n - неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена а0, а1, а2,... аn-1, аn

называются коэффициентами ( или параметрами) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

Значения неизвестного х, обращающего алгебраическое уравнение в тождество, называется корнями (или решениями) алгебраического уравнения.

Прежде чем перейти к частным видам алгебраических уравнений с действительными коэффициентами..., заметим, что методы решений уравнений третьей и четвертой степеней были найдены лишь в XVI веке. После этого почти три столетия безуспешные попытки... найти формулы, выражающие при помощи радикалов корни любого уравнения пятой степени через его коэффициенты. Эти попытки прекратились лишь после того, как Н.Х. Абель в двадцатых годах прошлого века доказал, что такие формулы для уравнений n-й степени n ≥ 5 заведомо не могут быть найдены.

Этот результат Абеля не исключал, однако, возможности того, что корни некоторых многочленов с числовыми коэффициентами все же каким-либо способом выражаются через коэффициенты при помощи некоторой комбинации радикалов" [1]

Если коэффициенты многочлена а1, а2,... аm-1, аm

Хm - а1хm-1 - а2хm-2 -... - аm-1x - аm =0 (1)

являются элементами последовательностей {Nn} образованных квадратными уравнениями

х² - px - q =0, и они связаны формулой Nn = pNn-1 + qNn-2, (3) из [2], то корень многочлена (1) имеющий наибольшую абсолютную величину, можно вычислить по формуле

х =Lim n→∞ Nn/Nn -1 = [(p + а1 ) +√((p + а1)² + 4 а1q)]/2 (2)

где а1 = Nn, а2 = Nn+1, Nn = pNn-1 + qNn-2, N1 = 1, N2 = p, при m →∞

Например: 1) Возьмем натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...). Для них квадратное уравнение: х² - 2x + 1 = 0. Элементы последовательности {Nn} натуральных чисел образуются по формуле Nn = 2Nn-1 - Nn-2, N1 = 1, N2 = 2, p = 2, q = - 1.

Если коэффициенты многочлена (1) а1 = N1, а2 = N2 ... аm-1= Nn-1, аm = Nn, то

х = [(p + а1 ) +√((p + а1 )² + 4а1q)]/2 = [(2 + 1) + √((2 + 1)² + (4 1) (- 1))]/2 = (3 + √5)/2 = = 2,618033989...

Построим последовательность {Нn} образованную данным многочленом.

Н1= 1,

Н2= Н1= 1,

Н3= Н2 + 2Н1= 1 + (2 1) = 3,

Н4= Н3 + 2Н2 + 3Н1 = 3 + (2 1) + 1 = 6,

Н5= Н4 + 2Н3 + 3Н2 + 4Н1 = 6 + (2 3) + (3 1) + (4 1) = 19,

Н6= Н5 + 2Н4 + 3Н3 + 4Н2 + 5Н1 = 19 + (2 6) + (3 3) + (4 1) + (5 1) = 49, и.т.д.

{Нn} 1, 1, 3, 6, 19, 49, 128, 335, 877, 2296, 6011, 15737, 41200, 107863,...

Н9/Н8 = 2,6179104..., Н10/Н9 = 2,6180159..., Н11/Н10 = 2,6180313..., Н12/Н11 = 2,61803361..., Н13/Н12 = 2,61803393..., Н14/Н13 = 2,61803398... х =Lim n→∞ Нn/Нn -1 = 2,618033989...

2) Если коэффициенты многочлена (1) натуральные числа, но а1 = N3, а2 = N4 ... аm-1= Nn+1, аm = Nn+2, то

х = [(p + а1 ) +√((p + а1 )² + 4а1q)]/2 = [(2 + 3) + √((2 + 3)² + (4 3)(-1))]/2 = [5 + √(25 - 12)]/2 = =(5 + √13)/2 = 4,302775638...

Построим последовательность {Кn} образованную данным многочленом.

К1= 1,

К2= 3,

К3= 3К2 + 4К1= (3 3) + (4 1) =10,

К4= 3К3 + 4К2 + 5К1= (3 10) + (4 3) + (5 1) = 47,

К5= 3К4 + 4К3 + 5К2 + 6К1= (3 47) + (4 10) + (5 3) + (6 1) = 202,

К6= 3К5 + 4К4 + 5К3 + 6К2 + 7К1= (3 202) + (4 47) + (5 10) + (6 3) + (7 1) = 869, и.т.д.

{Кn} 1, 3, 10, 47, 202, 869, 3675, 68085, 292959, 1260540, 5423823, 23337497, 100416012, 432067571,...

К8/К7 = 4,3031854..., К9/К8 = 4,302842..., К10/К9 = 4,3027863..., К11/К10 = 4,3027773..., К12/К11 = 4,3027762..., К13/К12 = 4,30277557..., К14/К13 = 4,30277565...

х =Lim n→∞ Кn/Кn -1 = 4,302775638...

3) Возьмем числа Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)

Для них квадратное уравнение: х² - x - 1 = 0. Элементы последовательности {Fn} чисел Фибоначчи образуются по формуле: Fn = Fn-1 + Fn-2, F1 = 1, F2 = 1, p = 1, q = 1.

Если коэффициенты многочлена (1) а1 = F1, а2 = F2 ... аm-1= Fn-1, аm = Fn, то

х = [(p + а1 ) +√((p + а1 )² + 4а1q)]/2 = [(1 + 1) + √((1 + 1)² + (4 1) (1))]/2 = (2 + √8)/2 = = 2,414213562...

Построим последовательность {Fn} образованную данным многочленом.

F1 = 1,

F2 = 1,

F3 = F2 + F1 = 2,

F4 = F3 + F2 + 2F1 = 2 + 1 +(2 1) = 5,

F5 = F4 + F3 + 2F2 + 3F1 = 5 + 2 + (2 1) + (3 1) = 12,

F6 = F5 + F4 + 2F3 + 3F2 + 5F1 = 12 + 5 + (2 2) + (3 1) + (5 1) = 29,

F7 = F6 + F5 + 2F4 + 3F3 + 5F2 + 8F1 = 29 + 12+ (2 5) + (3 2) + (5 1) + (8 1) = 70, и.т.д.

{Fn} 1, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 3361,...

F9 /F8 = 2,4142011..., F10 /F9 = 2,4142156..., F11 /F10 = 2,4142132...,

F12 /F11 = 2,41421362..., F13 /F12 = 2,41421355..., F14 /F13 = 2,41421356...

х =Lim n→∞ Fn/Fn -1 = 2,414213562... 4) Возьмем боковые числа ( 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...) Для них квадратное уравнение: х² - 2x - 1 = 0. Элементы последовательности {Вn} боковых чисел образуются по формуле: Вn = 2Вn-1 + Вn-2, В1 = 1, В2 = 1, p = 2, q = 1.

Если коэффициенты многочлена (1) а1 = В1, а2 = В2 ... аm-1= Вn-1, аm = Вn, то

х = [(p + а1 ) +√((p + а1 )² + 4а1q)]/2 = [(2 + 1) + √((2 + 1)² + (4 1) (1))]/2 = (3 + √13)/2 = = 3,302775638...

Построим последовательность {Вn} образованную данным многочленом.

В1 = 1,

В2 = 1,

В3 = В2 + 2В1 = 1 + 2 = 3,

В4 = В3 + 2В2 + 5В1 = 3 + (2 1) + (5 1) =10, В5 = В4 + 2В3 + 5В2 + 12В1 = 10 + (2 3) + (5 1) + (12 1) = 33, В6 = В5 + 2В4 + 5В3 + 12В2 + 29В1 = 33 + (2 10) + (5 3) + (12 1) + (29 1) = 109,

В7 = В6 + 2В5 + 5В4 + 12В3 + 29В2 + 70 В1 = 109 + (2 33) + (5 10) + (12 3) + (29 1)+ + (70 1) = 360, и.т.д.

{Вn} 1, 1, 3, 10, 33, 19, 360, 1189, 3927, 42837, 141481, 467280, ... В8/В7 = 3,302777..., В9/В8 = 3,3027754..., В10/В9 = 3,30277566..., В11/В10 = 3,30277564..., В12/В11 = 3,30277564..., В13/В12 = 3,30277564...

х =Lim n→∞ Вn/Вn -1 = 3,302775638... Список литературы [1] Цыпкин А.Г. "Справочник по математике" - М.: Наука, 1983 г.

[2] Васильев Ю.Н. "Приближенное решение уравнений" - С-П.: Журнал "Диалоги о науке" 2009 г.