# Общее для "золотого сечения", совершенных, боковых чисел и уравнения Пелля

Юрий Николаевич Васильев

Используя соотношение между коэффициентами многочлена и его корнями, можно через элементы последовательности построенной в зависимости от коэффициентов этого многочлена получить корни данного многочлена по общей формуле для числовых последовательностей, таких как Фибоначчи, совершенных, боковых чисел и других, а так же выявить корреляцию между последовательностями.

Можно также ознакомится со статьей в более корректном виде в журнале "Вестник науке' т.3 N 7 (16) на сайте Elibrary.ru https://elibrary.ru/item.asp?id=38571728

Теорема 1. Пусть Р (х)=хm+a1xm-1+a2xm-2+...+am-1x+am (m>1) (1) данный многочлен над полем действительных чисел, {Вn} (n=1,2,...)-последовательность, элементы которой определены рекуррентной формулой: Вi=1 (i=0, 1, ... , m-1)

Bn=-a1Bn-1-a2Bn-2-...-am-1Bn-(m-1)-amBn-m, тогда, если с1, с2, ...сm-1, cm действительные корни многочлена (1) такие, что |с1|>|с2|>...>|сm-1|>cm|, то

Limn->∞(Bn+a1Bn-1+...+(-1)m-1am-1Bn-(m-1))/(Bn-1+a1Bn-2+...+(-1)m-1am-1Bn-m)=ci (i=0, 1, ... , m-1) где

(-а1)=с1+с2+...+сm-2+cm-1,

a2=c1c2+c2c3+...cm-2cm-1

............................................

(-1)m-1am-1=c1c2c3...cm-2cm-1.

Квадратные уравнения.

Пусть элементы последовательности {Nn} связаны формулой

Nn=-d1Nn-1-d2Nn-2, n>1

где N0=0, N1=1, d0=1, a коэффициенты d1, d2 взяты из квадратного уравнения х2+d1x+d2=0 (*)

тогда элементы последовательности {Nn} можно получить по формуле:

Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2) (2)

где х1, х2 корни квадратного уравнения (*)

Для удобства заменим коэффициенты -d1, -d2 на а и d. Тогда формула и квадратное уравнение будут выглядеть так:

Nn=aNn-1+dNn-2 (3)

x2=ax+d (4)

Запишем формулу (2) через коэффициенты а и b, где b - дискриминант квадратного уравнения (4) то есть b2=a2+4d, тогда х1=(а+b)/2, x2=(a-b)/2, b2-a2=4d,

[(a+b)/2][(b-a)/2]=d (5)

Nn=[(a+b)n-(a-b)n]/2nb (2.1)

Вычислим первые элементы последовательности {N} образованной по формуле (2), где (х1+х2)=а, х1х2=-d, (x1-x2)=b

N1=(x11-x21)/(x1-x2)=1, N1=1 (6)

N2=(x12-x22/(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2)/(x1-x2)=x1+x2=a, N2=a (7)

Докажем, что из формулы (3) можно получить формулу (2). Если Nn=aNn-1+dNn-2, где а=(х1+х2), (-d)=(x1x2), тогда

N2=(x1+x2)N1

N3=(x1+x2)N2-x1x2N1

подставим N2 в N3, получим N3=x12+x1x2+x22

Подставим N2 и N3 в N4, получим N4=x13+x12x2+x1x22+x23

Предположим, что Nn=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1), a

Nn-1=(x1n-2+x1n-3x2+x1n-4x22+...+x12x2n-4+x1x2n-3+x2n-2), тогда

Nn+1=aNn+dNn-1,

Nn+1=(x1+x2)(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1)-x1x2 × ×(x1n-2+x1n-3x2+x1n-4x22+...+x12x2n-4+x1x2n-3+x2n-2)=(x1n+x1n-1x2+x1n-2x22+...+

+x12x2n-2+x1x2n-1+x2n)

Значит Nn=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1)

(x1n-x2n)/(x1-x2)=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1) тогда

Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2)

Следовательно из формулы (3) можно получить формулу (2).

Докажем, что из формулы (3) можно получить квадратное уравнение (4).

Пусть элементы последовательности {Nn} связаны формулой

Nn+1=aNn+dNn-1,

поделим это отношение на Nn

Nn+1/Nn=a+dNn-1/Nn

Найдем предел Limn->∞Nn+1/Nn

Limn->∞Nn+1=Limn->∞a+Limn->∞dNn-1/Nn

Дополним, как влияют знаки коэффициентов приведенного квадратного уравнения на знаки и относительную величину корней этого уравнения.

Абсолютная величина действительных корней |х1|, |х2| приведенного квадратного уравнения (4) изменяется, если изменится знак коэффициента d, так как корни квадратного уравнения вычисляются по формуле: х1х2=а/2+√ [(а/2)2+d], и не меняются, при изменении знака коэффициента а.

Числовая последовательность {Nn} образованная квадратным уравнением (4) имеет общее решение по формуле (2) то есть зависит от значений х1 х2 и от знака коэффициента d. Следователь- но, в зависимости от знака этого коэффициента можно получить две последовательности, если для обоих случаев дискриминант приведенного квадратного уравнения больше нуля. Эти последовательности в свою очередь могут быть различны, но с одинаковыми по абсолютной величине элементами и зависит это от знака коэффициента а.

При а>1, последовательность {Nn} будет монотонно возрастающая, ограниченная снизу, для Nn>1

Если (а, b)>0, то (a+b)>(a-b), x1>x2, тогда (a+b)n-(a-b)n>0 для формулы (2.1) при любой n-ной степени элементы последовательности {Nn}>0.

При а<-1, последовательность {Nn} будет неограниченная, знакопеременная {Nn}>1

Если а<0, b>0, |(b-a)|<|(b+a)|, |x1|<|x2|, (b-a)>-(b+a)

Значит при четной степени элементы последовательности {Nn}<0, a при нечетной степени элементы последовательности {Nn}>0.

При а>0 х1>х2, тогда Limn->∞(x1/x2)n=∞, Limn->∞(x2/x1)n=0

При а<0 |х1|<|х2|, тогда Limn->∞(x1/x2)n=0, Limn->∞(x2/x1)n=∞

Если Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2), то Nn+1=(x1n+1-x2n+1)/(x1-x2)

Nn+1/Nn=(x1n+1-x2n+1)(x1-x2)/(x1n-x2n)(x1-x2)=(x1n+1-x2n+1)/(x1n-x2n)=

=x1n+1/(x1n-x2n)-x2n+1/(x1n-x2n)

Произведем алгебраическое преобразование. Разделим знаменатель и делитель первой дроби на (х1n), а второй на (х2n).

Nn+1/Nn=(x1n+1/x1n)/[(x1n/x1n)-(x2n/x1n)]-(x2n+1/x2n)/[(x1n/x2n)-(x2n/x2n)]=

=x1/[1-(x2n/x1n)]-x2/[(x1n/x2n)-1] Limn->∞Nn+1/Nn=Limn->∞x1/[Limn->∞1-Limn->∞(x2n/x1n)]-

-Limn->∞x2/[Limn->∞(x1n/x2n)-Limn->∞1]

При а>0, Limn->∞Nn+1/Nn=x1/(1-0)-x2/(∞-1)=x1 Llmn->∞Nn+1/Nn=x1,

При а <0 Limn->∞Nn+1/Nn=x1/(1-∞)-x2/(0-1)=x2 Limn->∞Nn+1/Nn=x2

Значит Limn->∞Nn+1/Nn=|x| (8)

где число х-корень квадратного уравнения (4), имеющий наибольшее абсолютное значение.

Если Limn->∞Nn+1/Nn=x, то Limn->∞Nn/Nn+1=1/x тогда

Limn->∞Nn+1/Nn=Limn->∞a+Limn->∞dNn-1/Nn

x=a+d/x или х2=ах+d

Значит из формулы (3) можно получить уравнение (4).

Используя зависимость между элементами монотонной, ограниченной последовательности {Nn}, можно классифицировать эту последовательность.

Основная последовательность

Если элементы последовательности {Nn} связаны формулой (3)

Nn=aNn-1+dNn-2, n>1

а элементы последовательности {Nn} можно вычислить по формуле (2) или (2.1), а так же существует характерная зависимость между элементами последовательности {Nn}

N2n-1=Nn2+dNn-12 (9)

Nn-aNn+a=Nn2+dn-aNa2 (10)

где d-коэффициент квадратного уравнения (4)

то такую последовательность можно считать основной.

Числа Фибоначчи.

Для них уравнение (4): x2=x+1, a=1, b=√5

Если в формулу (2.1) подставить значения коэффициентов а и b, то получим формулу Бине, Бернулли.

Nn=[(1+√5)n-(1-√5)n]/2n√5

Боковые числа.

Для них уравнение (4): x2=2x+1, a=2, b=√8.

Если в формулу (2.1) подставить значения коэффициентов a и b, то после сокращения получим.

Nn=[(1+√2)n-(1-√2)n]/2√2

Совершенные числа.

Для них уравнение (4): x2=6x-8, a=6, b=2.

Проверим формулу совершенного числа: Nn=2n-1 ( 2n-1), где (2n-1) простое число. Если в формулу (2.1) подставить значения a и b, то после сокращения получим.

Nn=[(6+2)n-(6-2)n]/2n+1=2n-1 (2n-1)

Числа Мерсенна.

Для них уравнение (4): x2=3x-2, a=3, b=1

Проверим формулу этих чисел: Nn=2n-1, где (2n-1) простое число.

Если в формулу (2.1) подставим значение коэффициентов a и b, то после сокращения получим.

Nn=[(3+1)n-(3-1)n]/2n=2n-1

Обратные последовательности.

У основной последовательности {Nn} существует только одна обратная последовательность {Mn}.

Обратная последовательность {Mn}, при d≠0 образуется по формуле:

Mn=(x1n+x2n)/(x1+x2) для a2+4d>0 (11)

Mn=aMn-1+dMn-2 для a2+4d>0 (12)

Запишем формулу (11) через коэффициенты a и b, где b-дискриминант квадратного уравнения (4), b2=a2+4d, тогда

х1=(a+b)/2, x2=(a-b)/2,

Mn=[(a+b)n+(a-b)n]/2na (11.1)

Вычислим первые элементы последовательности {Mn} образованной по формуле (11), где (x1+x2)=a, x1x2=-d, (x1-x2)=b

M1=(x11+x21)/(x1+x2)=1, M1=1 (13)

M2=(x22+x22)/(x1+x2)=[(x1+x2)2-2x1x2]/(x1+x2)=a+2d/a, M2=a+2d/a (14)

Есть зависимость между элементами основной и обратной последовательностями:

Nn/Mn=>(x1+x2)/(x1-x3)=a/b, где b2=a2+4d, при n->∞ (15)

Если подставить значения коэффициентов a и b от уравнения (4) x2=x+1 (числа Фибоначчи) в формулу (11.1) для обратной последовательности {Mn}, то получим формулу для ряда обратных чисел Фибоначчи.

Mn=[(1+√5)n+(1-√5)n]/2n (16) Обратная последовательность (Мn) чисел Фибоначчи (1, 3, 4, 7, 11,...)

Если подставить значения коэффициентов a и b от уравнения (4) x2=2x+1 (боковые числа) в формулу (11.1), то после сокращения получим формулу для диагональных чисел.

Mn=[(1+√2)n+(1-√2)n]/2 (17)

Если подставить значения коэффициентов a и b от уравнения (4) x2=6x-8 (совершенные числа) в формулу (11.1) то после сокращения получим формулу обратных от совершенных чисел.

Mn=[2n-1 (2n+1)]/3 (18)

Обратная последовательность {Мn} совершенных чисел (1, 10/3, 12, 136/3, 176, ...)


Если подставить значения коэффициентов а и b от уравнения (4) х2=3х-2 (числа Мерсенна) в формулу (11.1), то после сокращения получим формулу обратных от чисел Мерсенна.

Мn=(2n+1)/3 (19)

Обратная последовательность {Мn} чисел Мерсенна (1, 5/3, 3, 17/3, 11,...)

Обобщенные последовательности.

У основной последовательности {Nn} существует бесконечное число обобщенных последовательностей {Кn}, к ним относятся Пифагоровы, фигурные, Люка числа и другие, которые формируются в зависимости от начальных элементов, то есть рекуррентным способом.

Строгая зависимость между основной {Nn} и обратной {Mn} последовательностями образованные квадратным уравнением (4) является решением диофантовых уравнений второй степени.

"... Обратимся теперь к диофантовым уравнениям второй степени с двумя неизвестными

а1х2+а2xy+a3y2+a4x+a5y+a6=0...

... Остается рассмотреть уравнение

х2-ау2=b (5)

при целом b и натуральном а, не являющимся квадратом... в этом уравнение числа а и b натуральные... для его решения надо обратиться к следующему частному уравнению

х2-ау2=1 (6)

Как показал Л. Эйлер, если (х1, у1) наименьшее натуральное решение уравнения (6), то числа

xn=[(x1+y1√a)n+(x1-y1√a)n]/2

yn=[(x1+y1√a)n-(x1-y1√a)n]/2√a

удовлетворяют уравнению (6) при любом натуральном n...

... Лагранж показал, что цепная дробь для квадратичной иррациональности всегда периодическая: √а=(q0,q1,q2,...qs,q1, ...qs, ...)

В 1769 году он нашел способ получения наименьшего натурального решения уравнения (7),

х2-3у2=1 (7)

Если длина периода S-четное число, то обращаются к дроби (Рs-1)/(Qs-1)=[q0,q1,q2,... qs,q1,... Qs... ] В этом случае пара (Ps-1, Qs-1) является наименьшим натуральным решением уравнения (6)

Приведем теперь все натуральные решения (xn, yn) этого уравнения...

х2-2у2=1

xn= [(√2+1)2n+(√2-1)2n]/2

yn= [(√2+1)2n-(√2-1)2n]/2√2

Как видим, числа хn являются диагональными, а числа уn-боковыми, причем в соответствующих последовательностях они имеют четные номера." [1] [1] Шибасов Л. П. " От единицы до бесконечности"-М.: Дрофа, 2005 г.