Варяжский Г.. До и Ре на струнах и трубе

До и Ре на струнах и трубе

Первое вступление

Все знают, что такое музыка. Почти все любят ту или иную ее разновидность. Многие играют на каком-нибудь инструменте или хотя бы могут напеть мелодию. Профессиональные музыканты, как правило, знают нотную грамоту, причем некоторые настолько искусны в этом, что могут "воспроизвести" запись в голове или перенести на бумагу сочиненную в уме музыку. Время и деньги, вовлеченные в данное искусство (или индустрию, если хотите), громадны. И при всем при том вряд ли хоть одна душа на белом свете знает, что такое музыка.

Фундаментальный вопрос, почему же некое сочетание и последовательность звуков вызывает столь сильные эмоции, пока что не имеет удовлетворительного ответа. Не существует никаких объективных методов оценки музыки, а следовательно, не имеется приемов или алгоритмов сотворения "качественных" произведений. Всяк волен почитать свой вкус центром вселенной и любое отступление от оного объявлять крамолой. Жаркие баталии приверженцев разных стилей абсолютно беспочвенны.

Вспоминается следующая поучительная история. Во время войны на одном участке телеграфной связи, проходившей через лес, очень часто случались обрывы. Возникло подозрение, что в районе действует диверсант, и для его поимки был направлен отряд автоматчиков. Те устроили засаду и вскоре увидели, как из леса вышел медведь, влез на столб и начал дергать за провод и прикладывть ухо к этой своеобразной струне. Понятно, косолапый поплатился шкурой за свои эстетические пристрастия.

А посему и мы подождем, когда появится научное истолкование феномена, и ограничимся пока одним небольшим, но краеугольным аспектом формализации музыки, т.е. способом записи ее на бумаге. Из всего многообразия методов, мы рассмотрим лишь способы кодирования высоты звука - всякие там октавы, тона-полутона, мажорные-минорные ряды, до-ре-ми и т.д. Практика показывает, что даже профессиональные музыканты воспринимают эти основы как данность, своего рода аксиомы, ни на что не опирающиеся.

Второе вступление

Опус сей родился из простого вопроса, заданного автору на одном из форумов: "Почему между ми и фа нет полутона?" Автор не является музыкантом, с нотной грамотой знаком поверхностно, в знании этом не закоснел до полной ригидности, и оный вопрос вызвал в нем не праведный гнев, а любопытство. А действительно, почему?

По сути необходимо ответить на следующие вопросы:

-- Почему октава состоит из 12 нот? (Не 10 и не 100, а именно 12?)

-- Почему 7 нот октавы имеют имена (до-ре-ми...), а остальные обозначаются как производные от них?

-- Почему поименованные ноты располагаются в таком странном порядке среди всех нот?

Пришлось глянуть специальную литературу... и ужаснуться! С одной стороны, в основе этих нот и рядов лежат физико-математические явления и принципы, разобраться в которых гуманатарию напряженно. А вот человеку с высшим техническим образованием, думаю, много-то времени не понадобится. Но, с другой стороны, последнего будет сбивать с понталыку специфическая музыкальная терминология, возникшая в отрыве от соответствующих разделов физики-математики.

И родилась идея. Поскольку людей с техническим образованием, интересующихся музыкой, довольно много, написать статью по основам музыки (ответить на заданный выше вопрос), но техническим языком. Не вдаваясь в исторические подробности и культурные особенности, построить самый скелет, с тем, чтобы в дальнейшем облегчить желающим изучение предмета "по правилам". Подход вульгарный, но, надеюсь, эффективный.

Физическая основа

Звук - это волна, т.е. попеременное сжатие и расширение воздуха. Если менять частоту этой волны, то будет меняться тон звука, например, возрастать от гудения до свиста (во всем диапазоне, доступном человеческому уху). Другой общеизвестный пример волны - свет, волна электромагнитная. Если менять частоту этой волны, то будет меняться цвет света, например, от красного до фиолетового (во всем диапазоне, доступном человеческому глазу). Если взять какой-то набор цветов и осмысленно расположить их по плоскости, то получится, скажем, натюрморт. Если взять какой-то набор звуков и расположить их по времени, то получится, скажем, симфония.

Любое движение тел вызывает изменение плотности окружающего их воздуха. Так рождаются звуковые волны, с помощью которых мы получаем информацию о происходящих событиях. Шум дождя, шаги на снегу, гудок паровоза, крик чайки. Звуки более-менее стабильной частоты и громкости производятся колеблющимися объектами: стенками колокола, голосовыми связками, струнами. Это основной тон, графически представляемый синусоидой. Помимо главной частоты всегда имеются дополнительные частоты, другие синусоиды (например, для голоса они называются формантами), которые определяют тембр, окраску звука. Т.е. общий звук можно представлять как одновременное звучание множества источников чистых синусоид, каждый из которых настроен на свою частоту и имеет свою громкость. Мы ими здесь пренебрежем, как и всеми объектами без ярко выраженной главной частоты (скажем, шумовыми инструментами). Однако большинство музыкальных инструментов строится так, что кроме главной частоты, имеются еще сильные кратные ей по значению дополнительные частоты - т.н. обертона, гармоники. Например, главная частота - 400 Гц, и обертона в 800 Гц, 1200 Гц, 1600 Гц и т.д. Говоря техническим языком, спектры музыкальных инструментов существенно линейчатые, с одной главной частотой и набором различной силы обертонов (это важно и нам потом пригодится).

[Графически звук можно представлять себе как функцию - изменение воздушного давления в точке, где находится ваше ухо. Раскладывая эту функцию в ряды Фурье, можно представить ее как набор синусов-косинусов. Если функция периодическая (одна нота музыкального инструмента), то набор ограничится различной амплитуды косинусами, частоты которых кратны некоей наименьшей частоте - собственно частоте ноты. Кратные же частоты соответствуют обертонам. Какие обертона имеются и с какой амплитудой - характеристика данного инструмента, "окраска" звука, тембр. Таким образом, музыкальный звук можно разложить на отдельные частоты, и наоборот - собрать нужный звук из отдельных частот.]

Так же как художнику для написания картины достаточно какого-то ограниченного набора цветов, музыканту требуется некоторый конечный набор звуковых частот, чтобы покрыть весь "привычный" диапазон, определяемый скорее человеческим голосом, чем слухом - от 50 Гц до 1 кГц. Сразу же возникает вопрос, сколько их взять и как их расставить по диапазону (сколько должно быть клавиш у рояля и как их надо настроить, чтобы можно было сыграть любой танец)?

Исторически, видимо, так сложилось, что первые музыкальные инструменты были струнными или духовыми, на которых удвоить главную частоту очень просто (например, зажать струну посредине), при этом получившийся звук, при очевидном повышении тона, воспринимается человеком, за счет одинаковых обертонов, как "очень похожий". Таким образом, крупное деление диапазона на интервалы, где каждый следующий звук имеет вдвое большую частоту, чем предыдущий, вполне натурально. Эти интервалы называются в музыке октавами. Куда, на какую частоту поставить начало первой октавы - не суть важно, поскольку подавляющее большинство людей "не слышат" абсолютную частоту (ее слышат только люди с т.н. абсолютным слухом), но хорошо чувствуют разность двух частот - разность тона последовательно звучащих нот. (Чувствуют не абсолютную величину функции, а ее производную).

Но октавы - это очень грубое деление, явно недостаточное. Надо бы еще и октавы подробить неким стандартным образом, подобно тому, как метры делятся на сантиметры. Теоретически определить наилучшее разбиение не представляется возможным: уж слишком много сложных и разнородных факторов вовлечено.

Математическая основа

Начиная со Средних веков, в Западной музыке стало принято делить октаву на 7 интервалов. Можно было бы взять какое-то другое число, например, сейчас принято делить октаву на 12 интервалов, но тогдашним музыкантам так было сподручнее. Некоторые авторы связывают это число с количеством движущихся небесных объектов, известных древним: солнце, луна и пять планет. Не суть важно, а важно, что простого задания числа интервалов еще недостаточно, поскольку разделители (мы их знаем как ноты) можно расставить по октаве бесчисленным множеством способов.

Далее, для простоты, мы будем называть ноты именами, которые, формально, должны появиться только потом, когда вся система построена, как бы "угадывая" их.

Итак, пусть октава начинается с ноты "ре " определенной частоты. Выбор этот не случаен. Мы знаем, что нынче принято начинать октаву с ноты до, но нота ре занимает в современном нотном строе уникальное симметричное положение, как мы увидим далее. Мы уже знаем, что следующая октава начинается с той же ноты, но удвоенной частоты. Каковы должны быть частоты для остальных шести нот: до, ми, фа, соль, ля и си? Мы уже придумали им красивые имена, но не знаем еще, куда поставить сами ноты.

Расположение нот древними музыкантами было определено эмпирически: так, чтобы совместное или последовательное звучание звуков было приятно на слух - то, что музыканты называют консонансом (антоним - диссонанс). С математической точки зрения консонанс - это совпадение обертонов двух звуков. Будем стараться придерживаться этого принципа при расстановке нот. Первым делом постулируем, что рисунок разбивки октав на ноты должен быть одинаков, так чтобы любая нота одной октавы являлась первым обертоном одноименной ноты предыдущей октавы, т.е. скажем, нота си любой октавы имеет частоту ноты си самой нижней октавы, умноженную на целочисленную степень двойки.

Первое, что приходит на ум, это воткнуть одну ноту ровнехонько посредине октавы. Потом, когда мы построим все семь нот, окажется, что это пятая по счету нота от начальной (в данном случае - ля), и от соответствующего латинского слова "пять" музыканты называют этот интервал в полоктавы квинтой. Например, если ре - 100 Гц, то ля - 150 Гц. Т.е. частота увеличилась в соотношении 3:2. Попутно отметим, что если играть одновременно ре и ля на музыкальном инструменте, то некоторые их обертона совпадут. Действительно, обертона для 100 есть 200, 300, 400, 500, 600..., а для 150 - 300, 450, 600..., т.е. первый обертон ноты ля совпадает со вторым обертоном ноты ре и т.д.

Следующий шаг очевиден: нужно найти ноту, для которой начальная нота ре сама является квинтой. Для этого нужно умножить частоту ноты ре на 2/3. Она, понятно, находится в предыдущей октаве, но, памятуя, что все одноименные ноты отличаются по частоте лишь на какую-то степень двойки, домножим частоту этой ноты на два, т.е. в конечном счете получим коэффициент 4/3 и частоту 133, 33... Это нота соль (четвертая по порядку, а интервал, следовательно, называется квартой). Это тоже консонанс, но похуже: второй обертон ноты соль совпадает с третьим обертоном ноты ре.

Из одной начальной ноты ре мы получили две новых ноты - ля и соль. Двигаясь от них вверх или вниз по указанному алгоритму, т.е. строя все новые квинты, мы можем образовать много новых нот. Это так называемая Пифагорейская система настройки (в честь того самого Пифагора), разработанная еще в Древней Греции. Хорошо бы, если бы элементы этих рядов где-то совпали (очередная квинта совпала бы с началом октавы), тогда мы получили бы цикл с ограниченным количеством элементов-нот. К сожалению, это невозможно ¹, а следовательно, мы должны ограничить число нот волевым путем.

А какие же взять из этого, оказывается, бесконечного множества? Понятно, что нужно взять что-то не слишком далекое по шагам построения от начала, чтобы дроби были достаточно простыми, поскольку при этом обеспечивается совпадение не слишком далеких по частоте (степени) обертонов. Если сделать еще по шагу вверх и вниз, то получим систему из пяти нот - это так называемая пентатоника, которая широко использовалась, например, в древнем Китае и кельтской народной музыке. Если сделать еще по шагу (а Пифагор обосновывал необходимость и достаточность треьего шага трехмерностью нашего мира), то получим искомую систему из семи нот. Отсортируем их по возрастанию частоты и сведем результаты наших расчетов в таблицу (здесь интервалом называется коэффициент, на который нужно умножить частоту первой ноты, чтобы получить частоту второй):

Нота	ре	ми	фа	соль	ля	си	до	ре
Интервал от начальной ноты	1	9/8	32/27	4/3	3/2	27/16	16/9	2
Интервал от предыдущей ноты	9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243	9/8

Как видим, ноты расположены либо на "большом" расстоянии 9/8 (1,125) друг от друга, либо на малом - 256/243 (1,053...). В музыке эти интервалы называются тон или полутон. Например, чтобы получить частоту ноты си, нужно частоту ноты ля умножить на 9/8. Отметим, что последовательность тонов-полутонов образует регулярную сквозь октавы последовательность вида:

- Т-Т-П-Т-Т-Т-П-Т-Т-П-Т-Т-Т-П-Т-Т-П- = -2Т-П-3Т-П-2Т-П-3Т-П-2Т-П-

И общее название для таких строев - диатонические. Существует только одна нота, относительно которой чередование тонов-полутонов симметрично - это средняя нота участка 2Т, по современной номенклатуре - нота ре, от нее мы и рассчитывали ряд. Подчеркнем, что полученный пифагорейский строй оказался диатоническим, но диатонические ряды можно строить и на других цифрах.

В настоящее время принято октаву начинать с ноты до, т.е. с начальной ноты участка 2Т. Пересчитаем таблицу в стандартный вид (для этого все значения первого ряда надо умножить на 9/8 - интервал от до до ре):

Нота	до	ре	ми	фа	соль	ля	си	до
Интервал от начальной ноты	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
Интервал от предыдущей ноты	256/243	9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243

Мы получили т.н. ионический лад, он же диатонический лад с началом на ноте до, он же строй до-мажор, он же натуральный мажор. В Средневековье это был самый распространенный лад, семь нот которого обрели собственные имена, и от этих имен строятся названия всех остальных нот в других строях. Например, в современном равномерно темперированном строе, имеющем 12 нот, ноты (приблизительно) совпадающие с нотами нашего ряда имеют те же имена, а названия прочих нот образуются добавлением знаков понижения или повышения звука - бемоля и диеза. Например, нота между до и ре (она появится у нас позже) может называться до-диез или ре-бемоль. Строю до-мажор соответствуют белые клавиши рояля.

Вот на этих семи нотах и игралась вся музыка. Мы не будем далее анализировать данный лад, ведь он сейчас не используется. Отметим лишь, что главная его слабость в диссонансах (неприятном взаимном звучания двух нот): пифагорейский строй предоставляет замечательные квинту и кварту, но довольно хилую третью ноту ми с интервалом в корявые 81/64 относительно основного тона (в музыке - большая терция) и немногим лучшие ля и си.

Хорошо бы перейти к каким-нибудь дробям попроще, чтобы обеспечить совпадение как можно большего количества обертонов. Так появляется натуральный строй. Понятно, что сконструировать его можно многими способами, балансируя различными консонансами и диссонансами совокупности, но желательно также, чтобы он мало отличался от пифагорейского. Вот самый распространенный пример решения:

Нота	до	ре	ми	фа	соль	ля	си	до
Интервал от начальной ноты	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2
Интервал от предыдущей ноты	16/15	9/8	10/9	16/15	9/8	10/9	9/8	16/15

Это также диатонический ряд с целым тоном переменной величины (9/8 или 10/9) и полутоном в 16/15, он же строй до-мажор. Данный строй до сих пор применяется, особенно там, где он не пересекается со звучанием настроенных в современном ладе инструментов: в многоголосом акапельном пении, унылых стонах волынки и некоторых других. Легко реализуется в синтезаторе.

Прозвучавшее слово "мажор" (главный) в музыке означает систему из трех звуков: тона, третьей ноты (в музыке - большой терции) и пятой (квинты). Т.е. звуков с интервалами 2Т и ТП друг от друга. Например, аккорд до-мажор - это до, ми и соль. Здесь уместно напомнить, что человек ощущает скорее относительную последовательность звуков или их отношение частот, нежели абсолютную их высоту. Т.е. мелодия (или аккорд) из до-ми-соль будут восприниматься идентично мелодии соль-си-ре (та же последовательность интервалов 2Т-ТП). Как уже говорилось, мажор в пифагорейском строе скорее звучит диссонансом, а вот в натуральном строе это трезвучие приобретает важную роль.

Поскольку в диатонических ладах полутона и тона идут таким хитрым рисунком, вовсе не любые три ноты, идущие через одну, будут образовывать мажор. Например, последовательности ре-фа-ля, соответствуют интервалы ТП-2Т. Это существенно отличное на слух трезвучие называется минором (младший, меньший). Очевидно также, что не любая последовательность нот будет давать ту же мелодию, если изменить начальную ноту (проблема смены тональности или "ключа"). Так появляется идея разбить каждый тон на два полутона. Для этого надо ввести дополнительно 5 нот и поставить их где-то в "середину" тонов. Получится октава из двенадцати нот (интервалов) приблизительно на одинаковом расстоянии полутона друг от друга. Исторически пять новых нот собственных имен не получили (см. выше про диезы и бемоли).

Для натурального строя можно взять так:

Нота

до

ре

ми

фа

соль

ля

си

до

Интервал от НН

16/15

9/8

6/5

5/4

4/3

45/32

3/2

8/5

5/3

16/9

15/8

Интервал от ПН

16/15

135/128

16/15

25/24

16/15

135/128

16/15

25/24

16/15

135/128

16/15

Как видим, полученные интервалы между нотами не равны. В частности, проблема смены тональности остается, хотя и на гораздо более тонком уровне. Приведенные соотношения в таблице можно, конечно, поменять и при этом улучшить одни созвучья и ухудшить другие. Так были придуманы и существовали какое-то время среднетоновый и хорошо темперированный строи, но никакие простые дроби не могут решить проблему полностью, вот почему начиная с 18-го века все большее распространение получила шкала, в которой все двенадцать нот отстоят друг от друга равномерно, т.е. на расстоянии корня двенадцатой степени из двойки. Это так называемый равномерно темперированный строй - доминирующий строй в современной западной музыке. За счет некоторого ухудшения консонант (включая даже главные - квинты и кварты), достигается абсолютная свобода выбора тональности, т.е. любая тональность возможна и для ее смены не требуются никакие перенастройки инструментов.

Каждый интервал равномерного строя еще принято в теории делить на 100 центов ( 1 цент = 0, 058% изменения частоты), так что вся октава равна 1200 центам. Полезно сравнить две исторические шкалы с современной (все значения выражены в центах; пифагорейский строй расширен стандартным образом до 12 нот)

Равномерно темперированный строй	до		ре		ми	фа		соль		ля		си	до
	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200
Пифагорейский строй	0	90	204	294	408	498	588	702	792	906	996	1110	1200
Натуральный строй	0	112	204	316	386	498	590	702	813	884	1018	1088	1200

Как видим, равномерный строй из 12 нот хорошо аппроксимирует предыдущие шкалы. Все семь нот представлены частотами в диапазоне 1-процентной погрешности (1% = 17 центов), а квинта и кварта переданы почти идеально. Но, быть может, какое-то другое количество нот обеспечит еще лучшее разбиение?

Возьмем в качестве идеала натуральный строй. Расчеты показывают, что только начиная со шкал с 19 и 24 интервалами все семь нот имеют удовлетворительную, но не лучшую чем у 12-интервального разбиения, точность. 31-нотная шкала имеет хорошую аппроксимацию всех семи нот, но главный интревал, квинта, передан хуже. 41-нотная шкала имеет, наконец, более точную квинту. И лишь 53-нотная шкала во всем превосходит 12-нотную. Однако 53 - слишком большое число, просто нереальное для некоторых инструментов, например, клавишных.

Таким образом, современный 12-интервальный темперированный строй очень удобен для практики и достаточно точно передает классические строи западной музыки.

Что вовсе не исключает наличия других равномерно темперированных строев (РТС). Так, например, в Индонезии при игре на ксилофонах используется шкала из 5 тонов (5-РТС). Некоторые западные композиторы сочиняли в рамках 6-РТС (импрессионистские творения Дебюсси как иллюстрация). Со времен Ренессанса известны попытки внедрения 19-РТС. Индийская музыка есть некоторое подмножество 22-РТС. Подмножество 24-РТС (четвертьтоновый лад) используется в арабской музыке, а также некоторыми западными композиторами (Булез, Айвз). 31-РТС имел хождение в Голландии времен Возрождения.

Выводы

Крупное разделение музыкальной шкалы на октавы, по-видимому, объективно обусловлено устройством древнейших музыкальных инструментов (струны и трубки),. Мелкое разделение октав на ноты опирается на субъективное явление консонанса - согласования звуков по тонам и обертонам. По непонятной причине человеку нравится, когда звук (музыка) состоит из набора гармоник одной опорной частоты, при этом абсолютное значение опорной частоты несущественно. До некоторой степени можно сказать, что человек по природе любит "информационную простоту".

В Средние века наибольшее распространение получил строй, в котором октава делилась на семь нот согласно некоторому простому алгориму (в соотношении 3:2, по квинтам). При этом количество нот и алгоритм были унаследованы из Древнего Мира (Греции и Рима), соответствовали устройству тогдашних музыкальных инструментов и уровню музыкального развития. Семь нот получили собственные имена (до - ре - ми - фа - соль - ля - си). По построению, они располагались на музыкальной шкале согласно специфической диатонической последовательности (последовательности длинных и коротких интервалов - тонов и полутонов). А именно: короткие интервалы оказались между нотами ми и фа, а также си и до.

В дальнейшем, чтобы иметь возможность смены тональностей, были введены дополнительные пять нот, разбивавшие тоны на два полутона. Октава стала состоять из 12 нот, причем для улучшения их созвучия положение этих нот слегка менялось, пока окончательно не приняло вид современной равномерной шкалы, которая радикально устраняет проблему смены тональностей и одновременно достаточно близка к изначальному строю. Однако система именования нот была унаследована от прежней 7-нотной шкалы.

¹ По той причине, что никакая степень двойки не равна какой-либо степени тройки. Однако еще древние заметили, что 53 квинты очень мало в процентном отношении отличаются от 31 октавы - (3/2)⁵³ ~ 2³¹. А следовательно, с небольшой натяжкой, можно построить почти идеальное разбиение октавы на 53 интервала. Попытки такие предпринимались (изготовлялись инструменты и сочинялась музыка), но популярности строй не получил.

Оставить комментарий © Copyright Варяжский Г. (vderben@gmail.com) Размещен: 20/05/2011, изменен: 20/05/2011. 41k. Статистика. Статья: Естествознание		Ваша оценка:

Варяжский Г. : другие произведения.

До и Ре на струнах и трубе