Если взять n = -1 то можно определить минус первую операцию через нулевую операцию:
4 = 2 [0] 2 = 2 [-1] 2 то есть 2 [-1] 2 = 4
5 = 4 [0] 2 = 4 [-1 ]4 то есть 4 [-1] 4 = 5
6 = 5 [0] 2 = 5 [-1] 5 то есть 5 [-1 ]5 = 6
7 = 6 [0] 2 = 6 [-1] 6 то есть 6 [-1] 6 = 7
Если последовательно брать n = -2, n = -3, ..., то можно выражать минус вторую операцию через минус первую, минус третью через минус вторую, и так далее.
Обратные операции
Пусть у нас задана операция [n]. Тогда можно написать связь трёх чисел a, b, c:
a [n] b = c
Отсюда можно определить ещё две операции - обратные к [n]:
a = c [Ln] b b = c [nR] a
L - первая буква из слова Left (левый). R - первая буква из слова Right (правый)
[1] = + [2] = * [3] = ^
[L1] = [1R] = - вычитание
[L2] = [2R] = / деление
[L3] = корень
[3R] = логарифм
Числа
1.Первая операция
Вначале мы имеем натуральные числа: 1, 2, 3, .... Применяя к ним первую операцию (сложение) получаем тоже натуральные числа c:
a [1] b = c.
Но, если применить к натуральным числам обратную операцию [L1]
a = c [L1] b
то существуют такие пары натуральных чисел c, b, что a уже не натуральное. Например, c = 1 b = 2. Для них a = 1 [L1] 2 = 1 - 2. А такого числа среди натуральных чисел нет. Появляется возможность ввести новое число a = -1. Перебрав все возможные пары натуральных чисел c, b определим новые числа - отрицательные числа и ноль.
Если теперь объединить исходные числа (натуральные) с новыми (отрицательными и нулём), то получим целые числа. И уже для любой пары целых чисел c, b результат обратной операции c [L1] b будет тоже целым.
То есть первая операция породила первый класс чисел - целые числа.
Возникает предположение, что обратные операции [Ln] и [nR] дают новые числа, которых не было среди исходных для операции [n].
2.Вторая операция
Вначале мы имеем натуральные числа a, b. Применяя к ним вторую операцию (умножение) получаем тоже натуральные числа c:
a [2] b = c
Но, если применить к натуральным числам обратную операцию [L2]
a = c [L2] b
то существуют такие пары натуральных чисел c, b, что a уже не натуральное. Например, c = 1 b = 2. Для них a = 1 [L2] 2 = 1 / 2. А такого числа среди натуральных чисел нет. Появляется возможность ввести новое число a = 1/2. Перебрав все возможные пары натуральных чисел c, b определим новые числа - дробные числа.
Если теперь объединить исходные числа (натуральные) с новыми (дробными), то получим рациональные числа. И уже для любой пары рациональных чисел c, b результат обратной операции c [L2] b будет тоже рациональным.
То есть вторая операция породила второй класс чисел - рациональные числа.
3.Третья операция
a [3] b = c
Третья операция определена для натуральных чисел a, b. Тогда c тоже натуральное. Для поиска новых чисел применим обратную операцию [L3]. То есть попробуем определить a для натуральных b, c:
a [3] 2 = 3
или
a = 3 [L3] 2
Такого числа нет ни среди натуральных, ни среди рациональных. Неразрешимость. Повод ввести новое число - корень второй степени из 3. Такие новые числа назвали иррациональными.
Попробуем пару целых b, c:
a [3] 2 = -1
Такого a нет ни среди целых, ни среди рациональных, ни среди иррациональных. Его назвали мнимой единицей i. Числа вида
z = a + i*b
где a, b - любые целые, рациональные или иррациональные - назвали комплексными. Теперь третья операция [3] полностью определена: для любой пары комплексных чисел z1, z2 число z3 тоже комплексное:
z1 [3] z2 = z3
И обратная операция [L3] теперь разрешима и в натуральных, и в комплексных числах (для любых комплексных z3, z2 комплексным будет и z1):
z1 = z3 [L3] z2
То есть третья операция породила третий класс чисел - комплексные числа.
4.Остальные целые операции.
a [n] b = c
Операции с n = 0 и с n = -1, -2, ... не должны давать чисел новых по сравнению с комплексными числами. А вот от операций с n = 4, 5, ... можно ожидать появления таких чисел. К сожалению эти операции плохо исследованы.
Но можно указать кратчайший путь, ведущий к новым числам. Возьмём функцию y(x) = x [4] 2 = x [3] x и рассмотрим обратную ей функцию:
x(y) = y [L4]2. Получим неявную функцию x(y) [3] x(y) = y.
Например, для [1] и [2] операций: x(y) + x(y) = y При y = 1 имеем x(1) = 1 / 2. x(y) * x(y) = y При y = 2 имеем x(2) = квадратному корню из 2.
То есть нашлись такие y, что x(y) дали новые числа. Осталось для уравнения x(y) ^ x(y) = y найти такое y, чтобы x(y) было новым числом. То есть, чтобы его не было среди комплексных чисел.
В частности, при каком-то вещественном y, величина x(y) будет отсутствовать среди вещественных чисел. То есть величину y можно будет представить в виде бесконечной двоичной (или десятичной) дроби, а величину x(y) нельзя. При этом приближённое значение x(y) в виде конечной дроби найти легко.
Когда будет найдена такая неразрешимость, можно будет представить, как на её основе построить новое число.
Ещё об операциях
Взглянем на связь операций ещё раз:
Операция [n+1] связана с операцией [n] так:
2 [n+1] 3 = 2 [n] (2 [n] 2)
Слева от операции [n+1] записывается операнд для операции [n]. А справа от операции [n+1] записывается число этих операндов.
Мы брали разные целые n. Попробуем теперь взять n дробное: n = p/q где p, q - натуральные. Тогда получим связь одной дробной операции с другой дробной операцией:
2 [(p + q)/q] 3 = 2 [p/q] (2 [p/q] 2)
Но определения дробной операции так не получишь.
Можем взять n мнимое, например, n = i:
2 [i+1] 3 = 2 [i] (2 [i] 2)
Получили связь одной комплексной операции с другой комплексной операцией. Но определения комплексной операции отсюда тоже не получишь.
Итак, мы видим, что кроме новых чисел самостоятельный интерес имеют новые операции. Исчисление операций. А уж новые операции могут дать новые числа.