Тельнин Вячеслав Павлович. Поиск новых чисел

Вячеслав Тельнин

Поиск новых чисел

Оглавление

Оглавление 2

Глава I 5

I.1 Введение. 6

I.2 Помощь диалектики. 6

I.3 Числа, изучаемые в школе. 6

I.4 Прямые операции, изучаемые в школе. 7

I.5 Первая прямая операция [1]. 7

I.6 Вторая прямая операция [2]. 7

I.7 Третья прямая операция [3]. 8

I.8 Определение обратных операций. 8

I.9 Первая обратная операция [1]1] для первой прямой операции [1]. 9

I.10 Вторая обратная операция [1]2] для первой прямой операции [1]. 10

I.11 Связь операции [2] с операцией [1]. 12

I.12 Первая обратная операция [2]1] для второй прямой операции [2]. 12

I.13 Вторая обратная операция [2]2] для второй прямой операции [2]. 14

I.14 Связь операции [3] с операцией [2]. 16

I.15 Первая обратная операция [3]1] для третьей прямой операции [3]. 17

I.16 Вторая обратная операция [3]2] для третьей прямой операции [3]. 19

I.26 Построение новых прямых операций. 22

I.27 Построение четвёртой прямой операции - [4]. 24

I.28 Первая обратная операция [4]1] для четвёртой прямой операции [4]. 27

I.29 Вторая обратная операция [4]2] для четвёртой прямой операции [4]. 29

I.37 Построение пятой прямой операции - [5]. 31

I.38 Первая обратная операция [5]1] для пятой прямой операции [5]. 32

I.39 Вторая обратная операция [5]2] для пятой прямой операции [5]. 34

Глава II 37

II.2 Определение прямой нулевой операции [0] и прямых отрицательных операций [-m]. 38

II.3 Нулевая прямая операция [0]. 38

II.4 Первая обратная операция [0]1] к нулевой прямой операции [0]. 41

II.5 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой

операции [0]. Часть 1. 43

II.6 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 2. Этаж 1-й. 48

II.7 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 2. Этаж 2-й. 50

II.8 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 2. Этаж 3-й. 51

II.9 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 2. Этаж 4-й и выше. 52

II.13 Минус первая прямая операция [-1]. 52

Глава III 63

III.2 Числа "N1" и "n1" 64

III.3 Числа "N2" и "n2". 64

III.4 Числа "N3" и "n3". 65

III.5 Числа "NA" и "nA". 65

III.6 Топология числовой прямой для N-чисел. 66

III.7 Как путешествовать по числовой линии, пользуясь её топологической структурой. 72

III.8 Итоги. 72

ГЛАВА I

I.1 Введение.

В 1984 году я прочёл в журнале "Наука и жизнь" N1 1984 статью В. Успенского "Нестандартный анализ". В ней вводились в рассмотрение гипердействительные числа. И, уже где-то в июне 1984, я задумался - "Было время, когда про них не знали. А теперь узнали. Так может быть существуют другие числа, которых мы сейчас не знаем, а потом узнаем. А нельзя ли не ждать этого, а как-то самому узнать про эти неизвестные сейчас числа?".

I.2 Помощь диалектики.

Диалектика говорит, что предмет надо изучать в развитии. В данном случае предметом являются числа. А их развитие можно проследить на собственном опыте - какие числа, и в каком порядке я изучал в школе.

I.3 Числа, изучаемые в школе.

Сначала мы изучали числа: 1, 2, 3, ... - их называют натуральными. Потом ноль и отрицательные числа. Натуральные, ноль и отрицательные называются целыми числами.

Затем были дробные числа. Целые числа и дробные числа называются рациональными числами.

Потом изучались иррациональные числа. Рациональные числа вместе с иррациональными числами называются действительными числами.

Следом за ними шли мнимые числа. Сумма действительного числа с мнимым числом называется комплексным числом.

I.4 Прямые операции, изучаемые в школе.

Операций, изучаемых в школе, много. Но главные среди них - сложение, умножение, возведение в степень. Их будем называть - "прямые операции". Введём следующие обозначения: [1] - сложение, [2] - умножение, [3] - возведение в степень. Также введём обычные обозначения этих трёх "прямых операций": [1] - "+", [2] - "*", [3] - "^".

I.5 Первая прямая операция [1].

Возьмём любые два натуральных числа: a, b. И применим к ним первую прямую операцию. Результатом будет тоже натуральное число - c: a [1] b = c; (a + b = c). (I.5.1)

[1]	1	2	3	4	b
1	2	3	4	5
2	3	4	5	6
3	4	5	6	7
4	5	6	7	8
a					c

Таблица I.1

I.6 Вторая прямая операция [2].

Возьмём любые два целых числа: a, b. И применим к ним вторую прямую операцию. Результатом будет тоже целое число - c: a [2] b = c; (a * b = c). (I.6.1)

[2]	1	2	3	b
1	1	2	3
2	2	4	6
3	3	6	9
a				c

Таблица I.2

I.7 Третья прямая операция [3].

Возьмём любые два натуральных числа: a, b. И применим к ним третью прямую операцию. Результатом будет тоже натуральное число - с: a [3] b = c; (a ^ b = c). (I.7.1)

[3]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2	4	8
3	3	9	27
a				c

Таблица I.3

I.8 Определение обратных операций.

Пусть на некотором множестве чисел определена прямая операция [n]:

a [n] b = c; (I.8.1)

(Здесь a, b - числа из этого множества. Называются операндами.)

Если в (I.8.1) переставить первый операнд "a" с результатом "c", то получим:

c [n]1] b = a; (I.8.2)

Это определение первой обратной операции [n]1] для прямой операции [n].

Если в (I.8.1) переставить второй операнд "b" с результатом "c", то получим:

a [n]2] c = b; (I.8.3)

Это определение второй обратной операции [n]2] для прямой операции [n].

I.9 Первая обратная операция [1]1] для первой прямой операции [1].

Теперь для [1]1] построим Таблицу I.4 по Таблице I.1 (используя (I.8.1) и (I.8.2)) (переставив "a" и "c" в Таблице I.1):

[1]1]	1	2	3	4	b
2	1
3	2	1
4	3	2	1
5	4	3	2	1
6		4	3	2
7			4	3
8				4
c					a

Таблица I.4

Мы видим из Таблицы I.4, что [1]1] совпадает с "-" (вычитанием). То есть:

a = c [1]1] b = c - b; (I.9.1)

Но пока ещё не все клеточки в Таблице I.4 заполнены. Попробуем найти такие натуральные числа c и b, чтобы a тоже было натуральным числом. И вот что мы получим:

[1]1]	1	2	3	4	b
2	1
3	2	1
4	3	2	1
5	4	3	2	1
6	5	4	3	2
7	6	5	4	3
8	7	6	5	4
c					a

Таблица I.5

Чисел в правом верхнем углу Таблицы I.5 нет среди натуральных чисел. Это числа: 2 - 2, 3 - 3, 4 -4, 2 -3, 3 - 4, 2 - 4. То есть операция [1]1] не равноправна с операцией [1] на множестве натуральных чисел. Чтобы добиться равноправия с операцией [1], надо перейти к более широкому кругу чисел, чем натуральные числа. К целым числам. Это натуральные числа, ноль, и отрицательные числа. Тогда любая пара целых чисел c, b для операции [1]1] даёт тоже целое число. А для операции [1] любая пара целых чисел a, b тоже даёт целое число. И тогда операции [1] и [1]1] становятся равноправными. И пустые ячейки в Таблице I.5 можно заполнить новыми числами: 0, -1, -2. Тогда мы получим Таблицу I.6:

[1]1]	1	2	3	4	b
2	1	0	-1	-2
3	2	1	0	-1
4	3	2	1	0
5	4	3	2	1
6	5	4	3	2
7	6	5	4	3
8	7	6	5	4
c					a

Таблица I.6

I.10 Вторая обратная операция [1]2] для первой прямой операции [1].

Теперь для [1]2] построим Таблицу I.7 по Таблице I.1 (используя (I.8.1) и (I.8.3)) (переставив "b" и "c" в Таблице I.1):

[1]2]	2	3	4	5	6	7	8	c
1	1	2	3	4
2		1	2	3	4
3			1	2	3	4
4				1	2	3	4
a								b

Таблица I.7

Из (I.8.2), (I.8.3), Таблицы I.4, и Таблицы I.7 мы видим, что

b = a [1]2] c = c [1]1] a = c - a; (I.10.1)

Чтобы заполнить Таблицу I.7 полностью, надо числа a, c брать из целых чисел. Тогда и b будет получаться тоже целым числом. И операция [1]2] становится равноправной с операцией [1]. И тогда мы получим Таблицу I.8:

[1]2]	2	3	4	5	6	7	8	c
1	1	2	3	4	5	6	7
2	0	1	2	3	4	5	6
3	-1	0	1	2	3	4	5
4	-2	-1	0	1	2	3	4
a								b

Таблица I.8

Мы теперь имеем:

x [1] y = x + y; (I.10.2)

x [1]1] y = x - y; (I.10.3)

x [1]2] y = y - x; (I.10.4)

I.11 Связь операции [2] с операцией [1].

Операцию сложения в школе изучают первой. Затем переходят к изучению второй операции - умножения. Рассмотрим несколько примеров связи этих операций.

3 + 3 = 3 * 2 = 6; (I.11.1)

3 + 3 + 3 = 3 * 3 = 9; (I.11.2)

2 + 2 + 2 + 2 = 2 * 4 = 8; (I.11.3)

Перепишем эти примеры в новых обозначениях:

3 [1] 3 = 3 [2] 2 = 6; (I.11.4)

3 [1] 3 [1] 3 = 3 [2] 3 = 9; (I.11.5)

2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 = 2 [2] 4 = 8; (I.11.6)

Операция умножения здесь формируется так: слева от операции умножения записывается слагаемое, а справа от неё записывается число этих слагаемых.

I.12 Первая обратная операция [2]1] для второй прямой операции [2].

Вторая прямая операция [2]:

a [2] b = c; (I.12.1)

Из (I.8.2) при n = 2 получим определение для [2]1]:

c [2]1] b = a; (I.12.2)

Используя Таблицу I.2 получим (переставив "a" и "c" в Таблице I.2) Таблицу I.9 для [2]1]:

[2]1]	1	2	3	b
1	1
2	2	1
3	3		1
4		2
5
6		3	2
7
8
9			3
c				a

Таблица I.9

Из Таблицы I.9 видно, что [2]1] является делением "/":

a = c [2]1] b = c / b; (I.12.3)

Но пока ещё не все клеточки в Таблице I.9 заполнены. Поищем среди целых чисел такие c и b, чтобы a тоже было целым. И мы получим Таблицу I.10:

[2]1]	1	2	3	b
1	1
2	2	1
3	3		1
4	4	2
5	5
6	6	3	2
7	7
8	8	4
9	9		3
c				a

Таблица I.10

Для пустых клеточек в Таблице I.10 не нашлось чисел среди целых. То есть операция [2]1] не равноправна с операцией [2] на множестве целых чисел. Равноправия этих операций можно достигнуть путём введения новых чисел - дробных. Тогда все пустые клеточки в Таблице I.10 можно заполнить новыми дробными числами. И мы получим Таблицу I.11:

[2]1]	1	2	3	b
1	1	1/2	1/3
2	2	1	2/3
3	3	3/2	1
4	4	2	4/3
5	5	5/2	5/3
6	6	3	2
7	7	7/2	7/3
8	8	4	8/3
9	9	9/2	3
c				a

Таблица I.11

Целые числа вместе с дробными числами называются рациональными числами. И для любой пары рациональных чисел a и b в (I.12.1) найдётся рациональное число с. Также для любой пары рациональных чисел c и b в (I.12.2) найдётся рациональное число a. То есть, операции [2] и [2]1] стали равноправными на множестве рациональных чисел.

I.13 Вторая обратная операция [2]2] для второй прямой операции [2].

Вторая прямая операция [2] из (I.8.1) при n = 2:

a [2] b = c; (I.13.1)

Из (I.8.3) при n = 2 получим определение для [2]2]:

a [2]2] c = b; (I.13.2)

Используя Таблицу I.2 получим (переставив "b" и "c" в Таблице I.2) Таблицу I.12 для [2]2]:

[2]2]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	c
1	1	2	3
2		1		2		3
3			1			2			3
a										b

Таблица I.12

Из этой таблицы видно, что b = c / a; (I.13.3)

Но пока ещё не все клеточки в Таблице I.12 заполнены. Поищем среди целых чисел такие c и a, чтобы b тоже было целым. И мы получим Таблицу I.13:

[2]2]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	c
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2		1		2		3		4
3			1			2			3
a										b

Таблица I.13

Для пустых клеточек в Таблице I.13 не нашлось чисел среди целых. То есть операция [2]2] не равноправна с операцией [2] на множестве целых чисел. Равноправия этих операций можно достигнуть путём введения новых чисел - дробных. Тогда все пустые клеточки в Таблице I.13 можно заполнить новыми дробными числами. И мы получим Таблицу I.14:

[2]2]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	c
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	1/2	1	3/2	2	5/2	3	7/2	4	9/2
3	1/3	2/3	1	4/3	5/3	2	7/3	8/3	3
a										b

Таблица I.14

Целые числа вместе с дробными числами называются рациональными числами. И для любой пары рациональных чисел a и b в (I.13.1) найдётся рациональное число с. Также для любой пары рациональных чисел a и c в (I.13.2) найдётся рациональное число b. То есть, операции [2] и [2]2] стали равноправными на множестве рациональных чисел.

Учитывая (I.12.3), (I.13.2), (I.13.3) получим:

b = a [2]2] c = c / a = c [2]1] a; (I.13.4)

Мы теперь имеем:

x [2] y = x * y; (I.13.5)

x [2]1] y = x / y; (I.13.6)

x [2]2] y = y / x; (I.13.7)

I.14 Связь операции [3] с операцией [2].

Операция возведения в степень - [3] изучается в школе после операции умножения - [2]. Эти операции тесно связаны друг с другом. Вот несколько примеров этой связи:

3 * 3 = 3 ^ 2 = 9; (I.14.1)

3 * 3 * 3 = 3 ^ 3 = 27; (I.14.2)

2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 4 = 16; (I.14.3)

Перепишем эти примеры в новых обозначениях:

3 [2] 3 = 3 [3] 2 = 9; (I.14.4)

3 [2] 3 [2] 3 = 3 [3] 3 = 27; (I.14.5)

2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 = 2 [3] 4 = 16; (I.14.6)

Операция возведения в степень формируется следующим образом: сомножитель записывается слева от знака операции возведения в степень, а число этих сомножителей записывается справа от этого знака.

I.15 Первая обратная операция [3]1] для третьей прямой операции [3].

Сейчас мы построим для [3]1] Таблицу I.15 по Таблице I.3 (переставив "a" и "c")(используя (I.8.1) и (I.8.2)):

[3]1]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2
3	3
4		2
8			2
9		3
27			3
c				a

Таблица I.15

Из Таблицы I.15 видно, что [3]1] совпадает с корнем:

a = корень степени b из c; (I.15.1)

Не все клеточки в Таблице I.15 заняты. Попробуем занять их рациональными числами. Тогда мы получим Таблицу I.16:

[3]1]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2
3	3
4	4	2
8	8		2
9	9	3
27	27		3
c				a

Таблица I.16

Не все клеточки Таблицы I.16 удалось заполнить рациональными числами. То есть операция [3]1] не равноправна с операцией [3] на множестве рациональных чисел. Приходится и здесь вводить новые числа - квадратный корень из 2, корень третьей степени из 2, квадратный корень из 3, корень третьей степени из 3, и так далее. Эти числа называются иррациональными. Они - вместе с рациональными числами - называются действительными числами. И теперь все пустые клеточки в Таблице I.16 заполняются.

А теперь мы построим Таблицу I.17:

[3]1]	1	2	3	b
-1	-1		-1
1	1	1	1
c				a

Таблица I.17

Одну клеточку в верхней строке Таблицы I.17 не удалось заполнить не только рациональным, но и даже действительным числом. То есть операция [3]1] по-прежнему неравноправна с операцией [3] даже на множестве действительных чисел.

Введём ещё одно число - корень второй степени из -1. Его называют "мнимая единица", и принято обозначать буквой i:

-1 [3]1] 2 = i; (I.15.2)

i ^ 2 = -1 < 0; (I.15.3)

Если мнимую единицу умножить на действительное число b, то получится ещё одно новое мнимое число. То есть, если его возвести во вторую степень, то получится тоже отрицательное число:

(i * b) ^ 2 = - (b * b) < 0; (I.15.4)

Если действительные числа складывать с мнимыми числами, то получатся комплексные числа.

Теперь мы можем заполнить пустую клетку в верхней строке Таблицы I.17 мнимой единицей i и получим Таблицу I.18:

[3]1]	1	2	3	b
-1	-1	i	-1
1	1	1	1
c				a

Таблица I.18

И теперь - после введения иррациональных чисел, и мнимых чисел - операция [3]1] стала равноправной с операцией [3]: При любых комплексных числах c, b для операции [3]1] всегда найдётся комплексное же число a. И при любых комплексных a, b для операции [3] всегда найдётся комплексное же число c.

I.16 Вторая обратная операция [3]2] для третьей прямой операции [3].

Из (I.8.1), (I.8.3) при n = 3 мы имеем определения [3] и [3]2] операций:

a [3] b = c; (I.16.1)

a [3]2] c = b; (I.16.2)

Нам надо поменять местами "b" и "c" в Таблице I.3.

Подробно проследим как рождается число-строка. Рассмотрим первую строку в Таблице I.3 и оставим её в Таблице I.18.1:

[3]	1	2	3	b
1	1	1	1	c
2
3
a

Таблица I.18.1

Переставим строки "c" и "b". Получим Таблицу I.18.2:

[3]2]	1	1	1	c
1	1	2	3	b
2
3
a

Таблица I.18.2

Рассмотрим вторую строку в Таблице I.3 и оставим её в Таблице I.18.3:

[3]	1	2	3	b
1
2	2	4	8	c
3
a

Таблица I.18.3

Переставим строки "c" и "b". Получим Таблицу I.18.4

[3]2]	2	4	8	c
1
2	1	2	3	b
3
a

Таблица I.18.4

Рассмотрим третью строку в Таблице I.3 и оставим её в Таблице I.18.5:

[3]	1	2	3	b
1
2
3	3	9	27	c
a

Таблица I.18.5

Переставим строки "c" и "b". Получим Таблицу I.18.6

[3]2]	3	9	27	c
1
2
3	1	2	3	b
a

Таблица I.18.6

Объединим Таблицы I.18.2, I.18.4, I.18.6 в одну Таблицу I.18.7:

[3]2]	1	1	1	2	4	8	3	9	27	c
1	1	2	3
2				1	2	3
3							1	2	3
a										b

Таблица I.18.7

Заголовки у столбцов должны быть разными, поэтому объединим столбцы с одинаковыми заголовками в Таблице I.18.8:

[3]2]	1	2	4	8	3	9	27	c
1	1, 2, 3
2		1	2	3
3					1	2	3
a								b

Таблица I.18.8

Теперь упорядочим столбцы по возрастанию их номеров. Получим Таблицу I.19:

[3]2	1	2	3	4	8	9	27	c
1	1, 2, 3
2		1		2	3
3			1			2	3
a								b

Таблица I.19

Вот мы и увидели, как рождается число-строка. Как работать с такими числами-строками мы опишем далее.

Из Таблицы I.19 видно, что операция [3]2] совпадает с логарифмом:

b = логарифм (с) по основанию a; (I.16.3)

Попробуем заполнить пустые клеточки в Таблице I.19, пользуясь комплексными числами. Результат представлен в Таблице I.20:

[3]2	1	2	3	4	8	9	27	c
1	1, 2, 3	+	+	+	+	+	+
2	0	1	+	2	3	+	+
3	0	+	1	+	+	2	3
a								b

Таблица I.20

Знаком "+" помечены те клеточки, где расположены известные числа - комплексные числа, только клеточки слишком малы, чтобы в них уместились эти числа. А вот ноль уместился, и он стоит в двух клеточках.

I.26 Построение новых прямых операций.

Вот и проследили мы процесс появления новых чисел, начиная с натуральных по комплексные. И обнаружили, что они возникали при введении обратных операций к прямым операциям. Введение вычитания дало ноль и отрицательные числа. Введение деления дало дробные числа. Введение корня дало иррациональные и мнимые числа. Их сложение дало комплексные числа. Эта закономерность подтвердилась для всех чисел. И, если кто-то хочет построить новые числа, то можно воспользоваться этой закономерностью. Но дело в том, что все обратные операции уже использованы. И все прямые операции тоже уже использованы.

Вот если бы нам дали новую прямую операцию, то мы бы построили для неё пару обратных операций, а потом применили бы найденную закономерность для построения новых чисел. Снова обратимся к диалектике. Она говорит, что предмет надо изучать в развитии. В данном случае предметом являются прямые операции. А их развитие можно проследить опять на собственном опыте - какие прямые операции, и в каком порядке изучались в школе.

В самом начале мы уже упоминали все известные на данный момент прямые операции, и занумеровали их в следующем порядке: сложение - [1], умножение - [2], возведение в степень - [3]. В этом порядке их изучали в школе. Нас сейчас интересуют правила построения новых прямых операций на основе предыдущих прямых операций.

В пункте I.11 рассмотрено построение операции умножения - [2] по операции сложения - [1]. И в конце этого пункта вкратце сформулировано это правило. Вот оно:

"Операция умножения здесь формируется так: слева от операции умножения записывается слагаемое, а справа от неё записывается число этих слагаемых."

В пункте I.14 рассмотрено построение операции возведения в степень - [3] по операции умножения - [2]. И в конце этого пункта вкратце сформулировано это правило. Вот оно:

"Операция возведения в степень формируется следующим образом: сомножитель записывается слева от знака операции возведения в степень, а число этих сомножителей записывается справа от этого знака."

Можно эти два определения обобщить следующим образом:

Операция [n+1] формируется по операции [n] следующим образом: операнд для операции [n] записывается слева от [n+1], а число этих операндов записывается справа от [n+1].

I.27 Построение четвёртой прямой операции - [4].

Построим несколько примеров для получения [4] по [3]:

2 [4] 2 = 2 [3] 2 = 4; (I.27.1)

3 [4] 2 = 3 [3] 3 = 27; (I.27.2)

2 [4] 4 = 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 = X; (I.27.3)

В последней формуле есть два варианта - счёт в правой стороне уравнения вести слева направо (получим 256), или справа налево (получим 65 536). Как выбрать правильный вариант?

Воспользуемся бесконечно большим числом N1:

2 [4] N1 = 2 [3] 2 [3] 2 [3] ...; (I.27.4)

В этой формуле есть всего один вариант - слева направо. Второй вариант (справа налево) невозможен, так как число операндов в правой части (I.27.4) бесконечно и нет самого правого операнда (строго говоря самый правый операнд есть. И правильного варианта нет. Рассмотрению должны подвергаться оба варианта. Но в этой работе мы ограничимся одним вариантом.). Конечно, это частный пример, но правильный вариант должен быть универсален. Поэтому уравнение (I.27.3) принимает вид:

2 [4] 4 = (( 2 [3] 2 ) [3] 2 ) [3] 2 = 256; (I.27.3)

Теперь четвёртая прямая операция [4] определена однозначно. И мы будем заполнять для неё Таблицу I.39:

[4]	1	2	3	b
1
2
3
a				c

Таблица I.39

В эту таблицу заложим формулу:

a [4] b = c; (I.27.5)

1 [4] 1 =1; (I.27.6)

Справа от [4] стоит 1, и значит, что после знака равенства стоит лишь один операнд 1 и ни одной операции [3].

2 [4] 1 = 2; (I.27.7)

3 [4] 1 = 3; (I.27.8)

1 [4] 2 = 1 [3] 1 = 1; (I.27.9)

1 [4] 3 = (1 [3] 1) [3] 1 = 1 [3] 1 = 1; (I.27.10)

2 [4] 3 = (2 [3] 2) [3] 2 = 4 [3] 2 = 16; (I.27.11)

3 [4] 2 = 3 [3] 3 = 27; (I.27.12)

3 [4] 3 = (3 [3] 3) [3] 3 = 27 [3] 3 = 19 683; (I.27.13)

[4]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2	4	16
3	3	27	19 683
a				c

Таблица I.40

Вот мы и заполнили Таблицу I.39. И теперь она именуется Таблица I.40.

А сейчас покажем укороченный способ записи четвёртой прямой операции [4] через третью прямую операцию [3]. Возьмём формулу (I.27.5):

a [4] b = c;

И пусть b = 5. По определению четвёртой операции мы запишем эту формулу в виде:

c = a [4] 5 = (((a [3] a) [3] a) [3] a) [3] a; (I.27.14)

Поскольку по свойствам [3] и [2] мы имеем:

(a [3] a) [3] a = a [3] (a [2] a); (I.27.15)

То (I.27.14) станет выглядеть так:

c = a [4] 5 = ((a [3] (a [2] a)) [3] a) [3] a =

= (a [3] (a [2] a [2] a)) [3] a =

= a [3] (a [2] a [2] a [2] a) = a [3] (a [3] 4); (I.27.16)

Из этого примера видна следующая формула:

a [4] b = a [3] (a [3] (b -1)); (I.27.17)

Этот вывод годен для натуральных b. Но, возможно, конечная формула (I.27.17) верна и для более широкого класса чисел.

I.28 Первая обратная операция [4]1] для четвёртой прямой операции [4].

Заглянем в пункт 8. Формула (I.8.1) при n = 4 имеет вид:

a [4] b = c; (I.28.1)

А формула (I.8.2) при n = 4 имеет вид:

c [4]1] b = a; (I.28.2)

Переставим в Таблице I.40 "a" и "c", и получим Таблицу I.41:

[4]1]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2
3	3
4		2
16			2
27		3
19 683			3
c				a

Таблица I.41

Используя (I.28.1) и (I.28.2) попробуем заполнить пустые клеточки в Таблице I.41:

c = 4; b = 1; Из (I.28.1) получим: a = 4; (I.28.3)

c = 16; b = 1; Из (I.28.1) получим: a = 16; (I.28.4)

c = 27; b = 1; Из (I.28.1) получим: a = 27; (I.28.5)

c = 19 683; b = 1; Из (I.28.1) получим: a = 19 683; (I.28.6)

А дальше уравнения для a не входят в ячейки таблицы, и мы укажем эти уравнения числом с плюсиком (при этом мы будем пользоваться (I.27.17)):

1+ = a; c= 2; b = 2; a [4] 2 = a [3] a = c = 2; (I.28.7)

2+ = a; c = 2; b = 3; a [4] 3 = a [3] (a [3] 2) = c = 2; (I.28.8)

3+ = a; c = 3; b = 2; a [4] 2 = a [3] a = c = 3; (I.28.9)

4+ = a; c = 3; b = 3; a [4] 3 = a [3] (a [3] 2) = c = 3; (I.28.10)

5+ = a; c = 4; b = 3; a [4] 3 = a [3] (a [3] 2) = c = 4; (I.28.11)

6+ = a; c = 16; b = 2; a [4] 2 = a [3] a = c = 16; (I.28.12)

7+ = a; c = 27; b = 3; a [4] 3 = a [3] (a [3] 2) = c = 27; (I.28.13)

8+ = a; c = 19 683; b = 2; a [4] 2 = a [3] a = c = 19 683; (I.28.14)

Заполненная Таблица I.41 теперь называется Таблица I.42:

[4]1]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2	1+	2+
3	3	3+	4+
4	4	2	5+
16	16	6+	2
27	27	3	7+
19 683	19 683	8+	3
c				a

Таблица I.42

Числа с 1+ по 8+ являются новыми, так как они получены из новых уравнений - с (I.28.7) по (I.28.14). А, так как эти уравнения построены по первой обратной операции к четвёртой прямой операции [4], то новые числа назовём "четвёртыми числами".

I.29 Вторая обратная операция [4]2] для четвёртой прямой операции [4].

Формула (I.8.1) при n = 4 даёт:

a [4] b = c; (I.29.1)

Возьмём формулу (I.8.3) при n = 4:

a [4]2] c = b; (I.29.2)

Переставим "b" и "с" в Таблице I.40, и получим Таблицу I.43:

[4]2]	1	2	3	4	16	27	19 683	c
1	1, 2, 3
2		1		2	3
3			1			2	3
a								b

Таблица I.43

Здесь мы опять столкнулись с новым типом чисел: числа - строки. В ячейке b, где a = 1, c = 1 Таблицы I.43 находятся сразу 3 числа: 1, 2, 3. И, если в какой-то формуле встретится это число b, то непонятно, какое из его трёх значений (1, 2, 3) брать для вычислений. Такое нам уже встречалось в Таблице I.19 и в Таблице I.20. Но там мы обошли молчанием эту особенность. Единственное, что мы можем сейчас сделать, это выработать специальное обозначение для таких чисел-строк, чтоб оно целиком помещалось в одной ячейке. Если первое значение числа-строки обозначить - "m", число значений в числе-строке обозначить "N", а добавок для перехода к следующему значению обозначить "n", и в качестве разделителя этих обозначений взять вертикальную черту "|", то мы получим такую запись:

m|N|n (I.29.3)

В нашем примере (1, 2, 3) запишется так:

1|3|1 (I.29.4)

Заполним теперь пустые клеточки в Таблице I.43 и получим Таблицу I.44:

[4]2]	1	2	3	4	16	27	19 683	c
1	1, 2, 3	3+	4+	5+	6+	7+	8+
2	1+	1	9+	2	3	10+	11+
3	2+	12+	1	13+	14+	2	3
a								b

Таблица I.44

a = 2; c = 1; 2 [4] b = 1; 2 [4]2] 1 = b = 1+; (I.29.5)

a = 3; c = 1; 3 [4] b = 1; 3 [4]2] 1 = b = 2+; (I.29.6)

a = 1; c = 2; 1 [4] b = 2; 1 [4]2] 2 = b = 3+; (I.29.7)

a = 1; c = 3; 1 [4] b = 3; 1 [4]2] 3 = b = 4+; (I.29.8)

a = 1; c = 4; 1 [4] b = 4; 1 [4]2] 4 = b = 5+; (I.29.9)

a = 1; c = 16; 1 [4] b = 16; 1 [4]2] 16 = b = 6+; (I.29.10)

a = 1: c = 27: 1 [4] b = 27; 1 [4]2] 27 = b = 7+; (I.29.11)

a = 1; c = 19 683; 1 [4] b = 19 683; 1 [4]2] 19 683 = b = 8+; (I.29.12)

a = 2; c = 3; 2 [4] b =3; 2 [4]2] 3 = b = 9+; (I.29.13)

a = 2; c = 27; 2 [4] b = 27; 2 [4]2] 27 = b = 10+; (I.29.14)

a = 2; c = 19 683; 2 [4] b = 19 683; 2 [4]2] 19 683 = b = 11+; (I.29.15)

a = 3; c = 2: 3 [4] b = 2; 3 [4]2] 2 = b = 12+; (I.29.16)

a = 3; c = 4; 3 [4] b = 4: 3 [4]2] 4 = b = 13+; (I.29.17)

a =3; c = 16; 3 [4] b = 16; 3 [4]2] 16 = b = 14+; (I.29.18)

Числа с 1+ по 14+ получены из новых уравнений - с (I.29.5) по (I.29.18) - которые построены через вторую обратную операцию к новой прямой операции [4]. Поэтому мы причислим их к "четвёртым числам".

I.37 Построение пятой прямой операции - [5].

В пункте I.26 описано общее правило построения [n + 1] прямой операции по [n] прямой операции. Вот оно:

- - - - - - - -

Можно заглядывать в пункт I.27 - там описано построение четвёртой прямой операции [4]. В нём получено общее правило расстановок круглых скобок - так, чтобы вычисления проводились слева направо. В нашем случае n = 4. Рассмотрим несколько примеров:

a [5] b = c; (I.37.1)

2 [5] 2 = 2 [4] 2 = 4; (I.37.2)

2 [5] 3 = (2 [4] 2) [4] 2 = 4 [4] 2 = 4 [3] 4 = 256; (I.37.3)

3 [5] 2 = 3 [4] 3 = 19 683; (I.37.4)

3 [5] 3 = (3 [4] 3) [4] 3 = 19 683 [4] 3; (I.37.5)

1 [5] 1 = 1; 1 [5] 2= 1; 1 [5] 3 = 1; (I.37.6)

2 [5] 1 = 2; 3 [5] 1 = 3; (I.37.7)

Сведём их в Таблицу I.58:

[5]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2	4	256
3	3	19 683	19 683 [4] 3
a				c

Таблица I.58

I.38 Первая обратная операция [5]1] для пятой прямой операции [5].

Из определения пятой операции

a [5] b = c; (I.38.1)

следует определение первой обратной к пятой прямой:

c [5]1] b = a; (I.38.2)

Переставим "a" и "c" в Таблице I.58 и получим Таблицу I.59:

[5]1]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2
3	3
4		2
256			2
19683		3
19683 [4] 3			3
c				a

Таблица I.59

Возьмём b = 1. Тогда из (I.38.1) следует:

a [5] 1 = c; (I.38.3)

Отсюда мы имеем: a = c; (I.38.4)

И Таблица I.59 станет Таблицей I.60:

[5]1]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2
3	3
4	4	2
256	256		2
19683	19683	3
19683 [4] 3	19683 [4] 3		3
c				a

Таблица I.60

Оставшиеся пустые клеточки заполним цифрами с "+" и получим Таблицу I.61:

[5]1]	1	2	3	b
1	1	1	1
2	2	1+	2+
3	3	3+	4+
4	4	2	5+
256	256	6+	2
19683	19683	3	7+
19683 [4] 3	19683 [4] 3	8+	3
c				a

Таблица I.61

Теперь наполним смыслом эти пары символов:

1+ [5] 2 = 2; 1+ [4] 1+ = 2; (I.38.5)

2+ [5] 3 = 2; (2+ [4] 2+) [4] 2+ = 2; (I.38.6)

3+ [5] 2 = 3; 3+ [4] 3+ = 3; (I.38.7)

4+ [5] 3 = 3; (4+ [4] 4+) [4] 4+ = 3; (I.38.8)

5+ [5] 3 = 4; (5+ [4] 5+) [4] 5+ = 4; (I.38.9)

6+ [5] 2 = 256; 6+ [4] 6+ = 256; (I.38.10)

7+ [5] 3 = (7+ [4] 7+) [4] 7+ = 19683; (I.38.11)

8+ [5] 2 = 8+ [4] 8+ = 19683 [4] 3; (I.38.12)

Числа с 1+ по 8+ получены из новых уравнений - с (I.38.5) по (I.38.12) - которые построены через первую обратную операцию к новой прямой операции [5]. Поэтому мы назовём их "пятыми числами".

I.39 Вторая обратная операция [5]2] для пятой прямой операции [5].

Из a [5] b = c; (I.39.1)

следует определение второй обратной к пятой прямой:

a [5]2] c = b; (I.39.2)

Введём обозначения: d1 = 19683; d2 = d1 [4] 3; (I.39.3)

Переставим "b" и "c" в Таблице I.58 и получим Таблицу I.62:

[5]2]	1	2	3	4	256	d1	d2	c
1	1, 2, 3
2		1		2	3
3			1			2	3
a								b

Таблица I.62

Оставшиеся пустые ячейки заполним числами с "+" и получим Таблицу I.63:

[5]2]	1	2	3	4	256	d1	d2	c
1	1, 2, 3	3+	5+	7+	9+	11+	13+
2	1+	1	6+	2	3	12+	14+
3	2+	4+	1	8+	10+	2	3
a								b

Таблица I.63

2 [5] 1+ = 1; (I.39.4)

3 [5] 2+ = 1; (I.39.5)

1 [5] 3+ = 2; (I.39.6)

3 [5] 4+ = 2; (I.39.7)

1 [5] 5+ = 3; (I.39.8)

2 [5] 6+ = 3; (I.39.9)

1 [5] 7+ = 4; (I.39.10)

3 [5] 8+ = 4; (I.39.11)

1 [5] 9+ = 256; (I.39.12)

3 [5] 10+ = 256; (I.39.13)

1 [5] 11+ = d1; (I.39.14)

2 [5] 12+ = d1; (I.39.15)

1 [5] 13+ = d2; (I.39.16)

2 [5] 14+ = d2; (I.39.17)

Числа с 1+ по 14+ получены из новых уравнений - с (I.39.4) по (I.39.17) - которые построены через вторую обратную операцию к новой прямой операции [5]. Поэтому мы причислим их к "пятым числам".

Далее следует строить шестую операцию, и так далее. На этом закончим Главу I.

ГЛАВА II

II.2 Определение прямой нулевой операции [0] и прямых отрицательных операций [-m].

В главе I установлена связь прямой операции [n] с прямой операцией [n + 1]. Вот пара примеров такой связи:

3 [n + 1] 2 = 3 [n] 3; (II.2.1)

2 [n + 1] 3 = (2 [n] 2) [n] 2; (II.2.2)

Если взять n = 0, то мы можем определить по известной прямой операции [1] (сложению) новую прямую операцию [0]. А потом, по прямой операции [0] построить новую прямую операцию [-1]. Таким образом мы можем построить все прямые операции с отрицательными номерами.

Значит номер прямой операции может принимать значение любого целого числа.

II.3 Нулевая прямая операция [0].

Берём n = 0. Используем ещё: 2 [1] 2 = 2 + 2 = 4; (II.3.1)

В образце (II.2.1) заменим 3 на 2, и тогда получим уравнение для 2 [0] 2:

4 = 2 [1] 2 = 2 [0] 2; (II.3.2)

Далее 2 [1] 3 = 2 + 3 = 5; (II.3.3)

Применим образец (II.2.2) и получим уравнение для 4 [0] 2:

5 = 2 [1] 3 = (2 [0] 2) [0] 2 = 4 [0] 2; (II.3.4)

Теперь, учитывая (II.3.4), построим уравнение для 5 [0] 2:

6 = 2 [1] 4 = ((2 [0] 2) [0] 2) [0] 2 = (4 [0] 2) [0] 2 = 5 [0] 2; (II.3.5)

А теперь, учитывая (II.3.5), уравнение для 6 [0] 2:

7 = 2 [1] 5 = (5 [0] 2) [0] 2 = 6 [0] 2; (II.3.6)

Далее получим ещё пару уравнений:

8 = 2 [1] 6 = (6 [0] 2) [0] 2 = 7 [0] 2; (II.3.7)

9 = 2 [1] 7 = (7 [0] 2) [0] 2 = 8 [0] 2; (II. 3.8)

Полученные уравнения обобщим формулой:

a [0] b = c; (II.3.9)

Теперь построим ещё пять уравнений, но уже с b = 3:

5 = 3 [1] 2 = 3 [0] 3; (II.3.10)

6 = 3 [1] 3 = (3 [0] 3) [0] 3 = 5 [0] 3; (II.3.11)

7 = 3 [1] 4 = 6 [0] 3; (II.3.12)

8 = 3 [1] 5 = 7 [0] 3; (II.3.13)

9 = 3 [1] 6 = 8 [0] 3; (II.3.14)

А сейчас ещё четыре уравнения с b = 4:

6 = 4 [1] 2 = 4 [0] 4; (II.3.15)

7 = 4 [1] 3 = (4 [0] 4) [0] 4 = 6 [0] 4; (II.3.16)

8 = 4 [1] 4 = 7 [0] 4; (II.3.17)

9 = 4 [1] 5 = 8 [0] 4; (II.3.18)

Построим три уравнения с b = 5:

7 = 5 [1] 2 = 5 [0] 5; (II.3.19)

8 = 5 [1] 3 = (5 [0] 5) [0] 5 = 7 [0] 5; (II.3.20)

9 = 5 [1] 4 = 8 [0] 5; (II.3.21)

Теперь построим два уравнения с b = 6:

8 = 6 [1] 2 = 6 [0] 6; (II.3.22)

9 = 6 [1] 3 = (6 [0] 6) [0] 6 = 8 [0] 6; (II.3.23)

И, наконец, последнее уравнение (с b = 7):

9 = 7 [1] 2 = 7 [0] 7; (II.3.24)

a [0] b = c; (II.3.9)

Все эти уравнения представим в виде Таблицы II.1:

[0]	2	3	4	5	6	7	b
2	4
3		5
4	5		6
5	6	6		7
6	7	7	7		8
7	8	8	8	8		9
a							c

Таблица II.1

Составить формулы для пустых клеток невозможно. Остаётся только домысливать. Если постараться сделать это логично, сбалансированно и красиво, то получится Таблица II.2:

[0]	2	3	4	5	6	7	b
2	4	4.5	5	5	5	5
3	4.5	5	5.5	6	6	6
4	5	5.5	6	6.5	7	7
5	6	6	6.5	7	7.5	8
6	7	7	7	7.5	8	8.5
7	8	8	8	8	8.5	9
a							c

Таблица II.2

А вот расширенная таблица для [0]:

[0]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	0	0.5	1	1	1	1	1	1	1	1
-1	0.5	1	1.5	2	2	2	2	2	2	2
0	1	1.5	2	2.5	3	3	3	3	3	3
1	2	2	2.5	3	3.5	4	4	4	4	4
2	3	3	3	3.5	4	4.5	5	5	5	5
3	4	4	4	4	4.5	5	5.5	6	6	6
4	5	5	5	5	5	5.5	6	6.5	7	7
5	6	6	6	6	6	6	6.5	7	7.5	8
6	7	7	7	7	7	7	7	7.5	8	8.5
7	8	8	8	8	8	8	8	8	8.5	9
a											c

Таблица II.2.1

II.4 Первая обратная операция [0]1] к нулевой прямой операции [0].

Переставим "a" и "c" в Таблице II.2 и получим Таблицу II.3 для первой обратной к нулевой:

c [0]1] b = a; (II.4.1)

[0]1]	2	3	4	5	6	7	b
4	2
4.5	3	2
5	4	3	2	2	2	2
5.5		4	3
6	5	5	4	3	3	3
6.5			5	4
7	6	6	6	5	4	4
7.5				6	5
8	7	7	7	7	6	5
8.5					7	6
9	8	8	8	8	8	7
c							a

Таблица II.3

Содержимое пустых клеточек домысливаем логично и просто. Результат в Таблице II.3.1:

[0]1]	2	3	4	5	6	7	b
4	2	1	1	1	1	1
4.5	3	2	1.5	1.5	1.5	1.5
5	4	3	2	2	2	2
5.5	4.5	4	3	2.5	2.5	2.5
6	5	5	4	3	3	3
6.5	5.5	5.5	5	4	3.5	3.5
7	6	6	6	5	4	4
7.5	6.5	6.5	6.5	6	5	4.5
8	7	7	7	7	6	5
8.5	7.5	7.5	7.5	7.5	7	6
9	8	8	8	8	8	7
c							a

Таблица II.3.1

II.5 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 1.

Меняем местами "c" и "b" в Таблице II.2 и получаем Таблицу II.4:

a [0]2] c = b; (II.5.1)

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	c
2	2	3	1+
3		2	3	4	2+
4			2	3	4	5	4+
5					3+	4	5	6	7
6							5+	5	6	7
7									6+	6	7
a												b

Таблица II.4 [0]2]

1+ = 4, 5, 6, 7; 2+ = 5, 6, 7; 4+ = 6, 7; (II.5.2)

3+ = 2, 3; 5+ = 2, 3, 4; 6+ = 2, 3, 4, 5; (II.5.3)

В этой таблице снова встретились числа-строки: 1+, ..., 6+. Запишем их в обозначениях, определённых в пункте I.29:

Если первое значение числа-строки обозначить - "m", число значений в числе-строке обозначить "N", а добавок для перехода к следующему значению обозначить "n", и в качестве разделителя этих обозначений взять вертикальную черту "|", то мы получим такую запись:

m|N|n (I.29.3)

Сначала проделаем это с формулами (II.5.2):

1+ = 4|4|1; 2+ = 5|3|1; 4+ = 6|2|1; (II.5.4)

Посмотрим снова на Таблицу II.2:

[0]	2	3	4	5	6	7	b
2	4	4.5	5	5	5	5
3	4.5	5	5.5	6	6	6
4	5	5.5	6	6.5	7	7
5	6	6	6.5	7	7.5	8
6	7	7	7	7.5	8	8.5
7	8	8	8	8	8.5	9
a							c

Таблица II.2

При a = 2 после числа 4.5 и вплоть до границы Таблицы II.2 идёт непрерывный ряд пятёрок. Первая из них граничит с числом 4.5 и имеет b = 4. Поэтому в 1+ для m мы взяли b = 4. Число этих пятёрок от 4.5 до правой границы таблицы = 4. Поэтому для N мы взяли 4. Первая пятёрка имеет b = 4. Вторая пятёрка имеет b = 5. Добавок = 1. Третья пятёрка имеет b = 6. Добавок тоже = 1. Четвёртая пятёрка имеет b = 7. Добавок тоже = 1. Поэтому n = 1. И мы имеем для ряда четырёх пятёрок:

1+ = m|N|n = 4|4|1; (II.5.5)

Для ряда трёх шестёрок при a = 3 мы имеем после числа 5.5 первую шестёрку с b = 5. Поэтому в 2+ для m мы взяли b = 5. Число этих шестёрок от числа 5.5 до правой границы таблицы = 3. Поэтому для N мы взяли 3. Первая шестёрка имеет b = 5. Вторая шестёрка имеет b = 6. Добавок к первой шестёрке = 1. Третья шестёрка имеет b = 7. Добавок ко второй шестёрке = 1. Значит n = 1. И мы имеем для ряда трёх шестёрок:

2+ = m|N|n = 5|3|1; (II.5.6)

Для ряда двух семёрок при a = 4 мы имеем слева в качестве границы число 6.5. Первая семёрка справа от 6.5 имеет b = 6. Поэтому в 4+ мы взяли m = 6. Число этих семёрок от числа 6.5 слева и до правой границы Таблицы II.2 равно 2. Поэтому N = 2. Первая семёрка имеет b = 6. Вторая семёрка имеет b = 7. Добавок к первой семёрке = 1. Поэтому n = 1. И для ряда двух семёрок мы имеем:

4+ = m|N|n = 6|2|1; (II.5.7)

Для Таблицы II.2 мы приняли для её правой границы b = 7. Если бы не ограничение размера Таблицы II.2 для нулевой прямой операции [0] рамками страницы в этой книге, то из общего вида Таблицы II.2 ясно, что ряд пятёрок при a = 2 продолжается вправо бесконечно. То есть N = N1. (Число N1 совпадает с числом натуральных чисел.) И тогда для 1+ мы имеем:

1+ = 4|N1|1; (II.5.8)

Эти же рассуждения верны и для ряда из трёх шестёрок. И мы имеем для 2+:

2+ = 5|N1|1; (II.5.9)

То же самое происходит и с рядом из двух семёрок при a = 4:

4+ = 6|N1|1; (II.5.10)

Теперь перейдём к формулам (II.5.3). Начнём с 3+ в Таблице II.4. При a = 5 в Таблице II.2 слева от числа 6.5 стоят две шестёрки. Левее их расположена левая граница Таблицы II.2. А ещё левее скрывается бесконечный ряд шестёрок. Поэтому начинать нумерацию шестёрок в числе-строке 3+ возможно только справа - с числа b = 3: m = 3. Число шестёрок бесконечно: N = N1 (число натуральных чисел). Шестёрка левее первой имеет b = 2. Значит приращение равно -1: n = -1. И тогда мы имеем:

3+ = m|N|n = 3|N1|-1; (II.5.11)

Продолжим 5+ в Таблице II.4. При a = 6 в Таблице II.2 слева от числа 7.5 стоят три семёрки. Левее их граница Таблицы II.2. А левее этой границы скрывается бесконечный ряд семёрок. Поэтому начинать нумерацию семёрок возможно только справа - с семёрки, имеющей b = 4: m = 4. N = N1. Вторая семёрка в числе-строке 5+ имеет b = 3. Значит приращение равно -1: n = -1. И тогда мы имеем:

5+ = m|N|n = 4|N1|-1; (II.5.12)

Теперь очередь дошла и до 6+ в Таблице II.4. При a = 7 в Таблице II.2 слева от числа 8.5 стоят четыре восьмёрки. Левее их за границей Таблицы II.2 бесконечное число восьмёрок. Значит N = N1. А самая правая восьмёрка имеет b = 5: m = 5. Следующая восьмёрка слева от неё имеет b = 4. Значит приращение = -1: n = -1. И мы теперь имеем:

6+ = m|N|n = 5|N1|-1; (II.5.13)

Введём в Таблицу II.4 ещё четыре числа-строки:

7+ = 2|N1|-1; 8+ = 1|N1|-1; 9+ = 7|N1|1; 0+ = 8|N1|1; (II.5.14)

И получим Таблицу II.5:

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	c
2	2	3	1+
3	8+	2	3	4	2+
4			7+	3	4	5	4+
5					3+	4	5	6	9+
6							5+	5	6	7	0+
7									6+	6	7
a												b

Таблица II.5 [0]2]

Теперь поясним - откуда взялись эти четыре числа-строки. В Таблице II.2 при a = 4 у самой левой границы расположена пятёрка. А по другую сторону границы есть бесконечный ряд пятёрок. И началом этим всем пятёркам служит самая правая пятёрка с b = 2: m = 2. N = N1. Слева от неё (сразу за границей) расположена пятёрка с b = 1. Значит приращение = -1: n = -1. Вот и получили:

7+ = m|N|n = 2|N1|-1; (II.5.15)

В Таблице II.2 при a = 3 и b = 1 (сразу за левой границей) находится 4. Справа от неё число 4.5, а слева бесконечный ряд четвёрок. То есть m = b = 1 и N = N1. Четвёрки распространяются влево по убыванию b. Добавок = -1: n = -1. И мы получили:

8+ = m|N|n = 1|N1|-1; (II.5.16)

В Таблице II.2 при a = 5 и b = 7 находится 8. Слева от неё число 7.5. Справа от неё правая граница Таблицы II.2, и - сразу за границей - бесконечный ряд восьмёрок. Значит m = b = 7. N = N1. Восьмёрки нумеруются по возрастанию b. Значит добавок = 1. И мы имеем:

9+ = m|N|n = 7|N1|1; (II.5.17)

В Таблице II.2 при a = 6 и b = 8 расположена 9 (справа от числа 8.5 - сразу за правой границей Таблицы II.2). Вслед за ней вправо идёт бесконечное число девяток с приращением равным 1: n = 1. Также мы имеем m = b = 8. N = N1. И в результате:

0+ = m|N|n = 8|N1|1; (II.5.18)

II.6 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 2. Этаж 1-й.

Воспроизведём окончательные результаты, полученные в Части 1:

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	c
2	2	3	1+
3	8+	2	3	4	2+
4			7+	3	4	5	4+
5					3+	4	5	6	9+
6							5+	5	6	7	0+
7									6+	6	7
a												b

Таблица II.5 [0]2]

1+ = 4|N1|1; (II.5.8)

2+ = 5|N1|1; (II.5.9)

4+ = 6|N1|1; (II.5.10)

9+ = m|N|n = 7|N1|1; (II.5.17)

0+ = m|N|n = 8|N1|1; (II.5.18)

8+ = m|N|n = 1|N1|-1; (II.5.16)

7+ = m|N|n = 2|N1|-1; (II.5.15)

3+ = m|N|n = 3|N1|-1; (II.5.11)

5+ = m|N|n = 4|N1|-1; (II.5.12)

6+ = m|N|n = 5|N1|-1; (II.5.13)

Числа-строки. Что с ними делать? В каком порядке извлекать из них числа?

Давайте предположим, что все начальные значения чисел-строк находятся в плоскости Таблицы II.5. А все остальные находятся выше их. Каждое очередное число из числа-строки находится на своём этаже. Все вторые числа чисел-строк с 1+ по 6+ находятся на втором этаже уже трёхмерной Таблицы II.5. Все третьи числа из всех чисел-строк находятся на третьем этаже Таблицы II.5. И так далее.

Давайте посмотрим на первый этаж Таблицы II.5:

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	c
2	2	3	4
3	1	2	3	4	5
4			2	3	4	5	6
5					3	4	5	6	7
6							4	5	6	7	8
7									5	6	7
a												b

Таблица II.5 [0]2] 1-й этаж

Это получился "скелет" таблицы. Это то, что получили из формул, связывающих операции [0] и [1]. Дальше надо фантазировать (правдоподобно) и нарастить на этот "скелет" всё остальное.

Если посмотреть внимательно на "скелет", то можно заметить такую особенность данного "скелета": горизонтальные числа являются частями целочисленных рядов - их можно продлять и влево, и вправо от "скелетной" середины.

Если ещё раз посмотреть на этот "скелет", то видна вторая его особенность: вертикальные числа являются частями целочисленных рядов - их можно продлевать и вверх, и вниз от "скелетной" середины.

Есть ещё и третья особенность: горизонтальные добавления целых чисел нисколько не мешают вертикальным добавлениям целых чисел. И вертикальные добавления целых чисел тоже не мешают горизонтальным добавлениям целых чисел.

После этих наблюдений нарастим на "скелет" "мясо" и получим Таблицу II.6:

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	c
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
4	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
7	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
a	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	b

Таблица II.6 [0]2] 1-й этаж

II.7 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 2. Этаж 2-й.

Теперь займёмся вторым этажом. Вставим в ячейки Таблицы II.5 вторые числа из соответствующих чисел-строк и получим "скелет" Таблицы II.7:

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	c
2	2	3	5
3	0	2	3	4	6
4			1	3	4	5	7
5					2	4	5	6	8
6							3	5	6	7	9
7									4	6	7
a												b

Таблица II.7 [0]2] 2-й этаж

Если присмотреться к этому "скелету", то видно, что у него нет горизонтальной упорядоченности. По крайней мере горизонтального целочисленного порядка здесь нет.

А вертикальная упорядоченность может присутствовать. Там, где "c" полуцелое, возможно целочисленное упорядочение. А там, где "c" целое, там возможно чётное или нечётное упорядочение.

Больше ничего в голову не приходит, так что нарастим наше вертикальное "мясо" на этот "скелет" и получим Таблицу II.8:

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	c
2	2	3	5	5	8	7	11	9	14	11	17
3	0	2	3	4	6	6	9	8	12	10	15
4	-2	1	1	3	4	5	7	7	10	9	13
5	-4	0	-1	2	2	4	5	6	8	8	11
6	-6	-1	-3	1	0	3	3	5	6	7	9
7	-8	-2	-5	0	-2	2	1	4	4	6	7
a												b

Таблица II.8 [0]2] 2-й этаж

II.8 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 2. Этаж 3-й.

Теперь займёмся третьим этажом. Вставим в ячейки Таблицы II.5 третьи числа из соответствующих чисел-строк и получим Таблицу II.9:

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	c
2	2	3	6
3	-1	2	3	4	7
4			0	3	4	5	8
5					1	4	5	6	9
6							2	5	6	7	10
7									3	6	7
a												b

Таблица II.9 [0]2] 3-й этаж

Горизонтальной упорядоченности в этом "скелете" нет. А вертикальная упорядоченность присутствует. Там, где "c" полуцелое, возможно целочисленное упорядочение. А там, где "c" целое, числа расположены с шагом 3.

Нарастим на этот "скелет" "мясо" и получим Таблицу II.10:

	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9
2	2	3	6	5	10	7	14	9	18	11	22
3	-1	2	3	4	7	6	11	8	15	10	19
4	-4	1	0	3	4	5	8	7	12	9	16
5	-7	0	-3	2	1	4	5	6	9	8	13
6	-11	-1	-6	1	-2	3	2	5	6	7	10
7	-14	-2	-9	0	-5	2	-1	4	3	6	7
a	-17	-3	-12	-1	-8	1	-4	3	0	5	4

Таблица II.10 [0]2] 3-й этаж

II.9 Вторая обратная операция [0]2] к нулевой прямой операции [0]. Часть 2. Этаж 4-й и выше.

Теперь понятно каково упорядочение на 4 этаже и выше. Там, где "c" полуцелое, возможно целочисленное вертикальное упорядочение. А там, где "c" целое, числа по вертикали идут с шагом, равным номеру этажа.

II.13 Минус первая прямая операция [-1].

В пункте II.2 написано, как определять по известной прямой операции [0] неизвестную прямую операцию [-1]:

3 [n + 1] 2 = 3 [n] 3; (II.2.1)

2 [n + 1] 3 = (2 [n] 2) [n] 2; (II.2.2)

При n = -1 получаем:

3 [0] 2 = 3 [-1] 3; (II.13.1)

2 [0] 3 = (2 [-1] 2) [-1] 2; (II.13.2)

Значения для операции [0] будем брать из Таблицы II.2. Если нужное значение лежит за границей Таблицы II.2, то вы можете раздвинуть границы Таблицы II.1 насколько вам нужно, введя новые строки и новые столбцы и заполнив их новыми значениями, а потом по принципу симметрии заполнить остальные пустые ячейки. В дальнейших вычислениях значения для операции [0] берутся из такой расширенной Таблицы II.2.1.

1 = -2 [0] 2 = -2 [-1] -2; (II.13.3)

1 = -2 [0] 3 = (-2 [-1] -2) [-1] -2 = 1 [-1] -2; (II.13.4)

1 = -2 [0] 4 = 1 [-1] -2; (II.13.5)

...

Повторы бесконечны, поэтому

1+ = 1|N1|0; в ячейке 1[-1] -2; (II.13.6)

2 = -1 [0] 2 = -1 [-1] -1; (II.13.7)

2 = -1 [0] 3 = (-1 [-1] -1) [-1] -1 = 2 [-1] -1; (II.13.8)

2 = -1 [0] 4 = 2 [-1] -1; (II.13.9)

...

Повторы бесконечны, поэтому

2+ = 2|N1|0; в ячейке 2 [-1] -1; (II.13.10)

3 = 0 [0] 2 = 0 [-1] 0; (II.13.11)

3 = 0 [0] 3 = (0 [-1] 0) [-1] 0 = 3 [-1] 0; (II.13.12)

3 = 0 [0] 4 = 3 [-1] 0; (II.13.13)

...

Повторы бесконечны, поэтому

3+ = 3|N1|0; в ячейке 3 [-1] 0; (II.13.14)

3.5 = 1 [0] 2 = 1 [-1] 1; (II.13.15)

4 = 1 [0] 3 = (1 [-1] 1) [-1] 1 = 3.5 [-1] 1; (II.13.16)

4 = 1 [0] 4 = 4 [-1] 1; (II.13.17)

4 = 1 [0] 5 = 4 [-1] 1; (II.13.18)

4 = 1 [0] 6 = 4 [-1] 1; (II.13.19)

...

Повторы бесконечны, поэтому

4+ = 4|N1|0; в ячейке 4 [-1] 1; (II.13.20)

4 = 2 [0] 2 = 2 [-1] 2; (II.13.21)

4.5 = 2 [0] 3 = (2 [-1] 2) [-1] 2 = 4 [-1] 2; (II.13.22)

5 = 2 [0] 4 = ((2 [-1] 2) [-1] 2) [-1] 2 = 4.5 [-1] 2; (II.13.23)

5 = 2 [0] 5 = 5 [-1] 2; (II.13.24)

5 = 2 [0] 6 = 5 [-1] 2; (II.13.25)

5 = 2 [0] 7 = 5 [-1] 2; (II.13.26)

...

Повторы бесконечны, поэтому

5+ = 5|N1|0; в ячейке 5 [-1] 2; (II.13.27)

4.5 = 3 [0] 2 = 3 [-1] 3; (II.13.28)

5 = 3 [0] 3 = (3 [-1] 3) [-1] 3 = 4.5 [-1] 3; (II.13.29)

5.5 = 3 [0] 4 = 5 [-1] 3; (II.13.30)

6 = 3 [0] 5 = 5.5 [-1] 3; (II.13.31)

6 = 3 [0] 6 = 6 [-1] 3; (II.13.32)

6 = 3 [0] 7 = 6 [-1] 3; (II.13.33)

...

Повторы бесконечны, поэтому

6+ = 6|N1|0; в ячейке 6 [-1] 3; (II.13.34)

5 = 4 [0] 2 = 4 [-1] 4; (II.13.35)

5.5 = 4 [0] 3 = 5 [-1] 4; (II.13.36)

6 = 4 [0] 4 = 5.5 [-1] 4; (II.13.37)

6.5 = 4 [0] 5 = 6 [-1] 4; (II.13.38)

7 = 4 [0] 6 = 6.5 [-1] 4; (II.13.39)

7 = 4 [0] 7 = 7 [-1] 4; (II.13.40)

7 = 4 [0] 8 = 7 [-1] 4; (II.13.41)

...

Повторы бесконечны, поэтому

7+ = 7|N1|0; в ячейке 7 [-1] 4; (II.13.42)

6 = 5 [0] 2 = 5 [-1] 5; (II.13.43)

6 = 5 [0] 3 = 6 [-1] 5; (II.13.44)

6.5 = 5 [0] 4 = 6 [-1] 5; (II.13.45)

11+ = 6, 6.5; в ячейке 6 [-1] 5; (II.13.46)

7 = 5 [0] 5 = 6.5 [-1] 5; (II.13.47)

7.5 = 5 [0] 6 = 7 [-1] 5; (II.13.48)

8 = 5 [0] 7 = 7.5 [-1] 5; (II.13.49)

8 = 5 [0] 8 = 8 [-1] 5; (II.13.50)

8 = 5 [0] 9 = 8 [-1] 5; (II.13.51)

...

Повторы бесконечны, поэтому

8+ = 8|N1|0; в ячейке 8 [-1] 5; (II.13.52)

7 = 6 [0] 2 = 6 [-1] 6; (II.13.53)

7 = 6 [0] 3 = 7 [-1] 6; (II.13.54)

7 = 6 [0] 4 = 7 [-1] 6; (II.13.55)

7.5 = 6 [0] 5 = 7 [-1] 6; (II.13.56)

10+ = 7, 7, 7.5; в ячейке 7 [-1] 6; (II.13.57)

8 = 6 [0] 6 = 7.5 [-1] 6; (II.13.58)

8.5 = 6 [0] 7 = 8 [-1] 6; (II.13.59)

8 = 7 [0] 2 = 7 [-1] 7; (II.13.60)

8 = 7 [0] 3 = 8 [-1] 7; (II.13.61)

8 = 7 [0] 4 = 8 [-1] 7; (II.13.62)

8 = 7 [0] 5 = 8 [-1] 7; (II.13.63)

8.5 = 7 [0] 6 = 8 [-1] 7; (II.13.64)

9+ = 8, 8, 8, 8.5; в ячейке 8 [-1] 7; (II.13.65)

Все приведённые выше 65 уравнений рассмотрены, и результаты сведены в Таблицу II.26 (a [-1] b = c):

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1
-1		2
0			3
1	1+			3.5
2		2+			4
3			3+			4.5
3.5				4
4				4+	4.5		5
4.5					5	5
5					5+	5.5	5.5	6
5.5						6	6
6						6+	6.5	11+	7
6.5							7	7
7							7+	7.5	10+	8
7.5								8	8
8								8+	8.5	9+
a											c

Таблица II.26

В Таблице II.26 присутствуют числа-строки:

1+ = 1|N1|0; 2+ = 2|N1|0; (II.13.75)

3+ = 3|N1|0; 4+ = 4|N1|0; (II.13.76)

5+ = 5|N1|0; 6+ = 6|N1|0; 7+ = 7|N1|0; 8+ = 8|N1|0; (II.13.77)

9+ = 8, 8, 8, 8.5; 10+ = 7, 7, 7.5; 11+ = 6, 6.5; (II.13.78)

Для простоты оставим в Таблице II.26 только строки с целыми заголовками. Получим Таблицу II.27:

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1
-1		2
0			3
1	1+			3.5
2		2+			4
3			3+			4.5
4				4+	4.5		5
5					5+	5.5	5.5	6
6						6+	6.5	11+	7
7							7+	7.5	10+	8
8								8+	8.5	9+
a											c

Таблица II.27

Теперь рассмотрим "скелет" для первого этажа. Для этого из каждого числа-строки берём первое значение и помещаем его в соответствующую ячейку. Вместо 11+ будет стоять число 6. Вместо 10+ будет стоять 7. Вместо 9+ будет стоять 8. А у остальных чисел-строк будет достаточно убрать знак "+". И мы получим Таблицу II.28:

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1
-1		2
0			3
1	1			3.5
2		2			4
3			3			4.5
4				4	4.5		5
5					5	5.5	5.5	6
6						6	6.5	6	7
7							7	7.5	7	8
8								8	8.5	8
a											c

Таблица II.28 1-й этаж "скелет"

Теперь, поразмышляв, нарастим "мясо" на этот "скелет" и получим Таблицу II.29:

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
-1	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
0	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
1	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
2	2	2	3	3.75	4	4.5	5	6	7	8
3	3	3	3	4	4.25	4.5	5	6	7	8
4	4	4	4	4	4.5	4.75	5	6	7	8
5	5	5	5	5	5	5.5	5.5	6	7	8
6	6	6	6	6	6	6	6.5	6	7	8
7	7	7	7	7	7	7	7	7.5	7	8
8	8	8	8	8	8	8	8	8	8.5	8
a											c

Таблица II.29 1-й этаж

Теперь рассмотрим "скелет" для второго этажа. Для этого из каждого числа-строки берём второе слева значение и помещаем его в соответствующую ячейку. Вместо 11+ будет стоять число 6.5. Вместо 10+ будет стоять 7. Вместо 9+ будет стоять 8. А у остальных чисел-строк будет достаточно убрать знак "+". Ведь у них второе значение получаем, прибавив 0 к первому значению. И мы получим Таблицу II.30:

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1
-1		2
0			3
1	1			3.5
2		2			4
3			3			4.5
4				4	4.5		5
5					5	5.5	5.5	6
6						6	6.5	6.5	7
7							7	7.5	7	8
8								8	8.5	8
a											c

Таблица II.30 2-й этаж "скелет"

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
-1	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
0	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
1	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
2	2	2	3	3.75	4	4.5	5	6	7	8
3	3	3	3	4	4.25	4.5	5	6	7	8
4	4	4	4	4	4.5	4.75	5	6	7	8
5	5	5	5	5	5	5.5	5.5	6	7	8
6	6	6	6	6	6	6	6.5	6.5	7	8
7	7	7	7	7	7	7	7	7.5	7	8
8	8	8	8	8	8	8	8	8	8.5	8
a											c

Таблица II.31 2-й этаж

Теперь рассмотрим "скелет" для третьего этажа. Он совпадает со скелетом для второго этажа, только вместо 10+ стоит не 7, а 7.5 и мы получим Таблицу II.32 и Таблицу II.33:

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1
-1		2
0			3
1	1			3.5
2		2			4
3			3			4.5
4				4	4.5		5
5					5	5.5	5.5	6
6						6	6.5	6.5	7
7							7	7.5	7.5	8
8								8	8.5	8
a											c

Таблица II.32 3-й этаж "скелет"

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
-1	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
0	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
1	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
2	2	2	3	3.75	4	4.5	5	6	7	8
3	3	3	3	4	4.25	4.5	5	6	7	8
4	4	4	4	4	4.5	4.75	5	6	7	8
5	5	5	5	5	5	5.5	5.5	6	7	8
6	6	6	6	6	6	6	6.5	6.5	7	8
7	7	7	7	7	7	7	7	7.5	7.5	8
8	8	8	8	8	8	8	8	8	8.5	8
a											c

Таблица II.33 3-й этаж

Теперь рассмотрим "скелет" для 4 этажа. Он совпадает со скелетом для 3 этажа, только вместо 9+ стоит не 8, а 8.5 и мы получим Таблицу II.34 и Таблицу II.35:

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1
-1		2
0			3
1	1			3.5
2		2			4
3			3			4.5
4				4	4.5		5
5					5	5.5	5.5	6
6						6	6.5	6.5	7
7							7	7.5	7.5	8
8								8	8.5	8.5
a											c

Таблица II.34 4-й этаж и выше "скелет"

[-1]	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	b
-2	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
-1	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
0	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
1	1	2	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
2	2	2	3	3.75	4	4.5	5	6	7	8
3	3	3	3	4	4.25	4.5	5	6	7	8
4	4	4	4	4	4.5	4.75	5	6	7	8
5	5	5	5	5	5	5.5	5.5	6	7	8
6	6	6	6	6	6	6	6.5	6.5	7	8
7	7	7	7	7	7	7	7	7.5	7.5	8
8	8	8	8	8	8	8	8	8	8.5	8.5
a											c

Таблица II.35 4-й этаж и выше

Таблицы II.34 и II.35 верны и для всех вышележащих этажей.

ГЛАВА III

III.2 Числа N1 и n1.

Ещё в 1984 году я пробовал извлекать новые числа из новых уравнений. В том числе пробовал и уравнение:

x + 1 = x; (III.2.1)

Но тогда я не смог найти ему применения. И, лишь через несколько лет, я понял, что это уравнение описывает бесконечно большое число. И обозначил его как N1:

N1 + 1 = N1; (III.2.2)

Из этого определения следовало:

N1 - N1 = 1; (III.2.3)

N1 * (1 - 1) = 1; (III.2.4)

Введём новую величину n1 так: N1 * n1 = 1; (III.2.5)

Отсюда следует: n1 = 1 / N1; (III.2.6)

То есть, n1 - это бесконечно малое число.

(III.2.5) + (III.2.4) = (III.2.7)

n1 = 1 - 1; (III.2.7)

III.3 Числа N2 и n2.

С помощью числа N1 построим новое бесконечно большое число N2:

N2 = 2 ^ N1 = 2 [3] N1; (III.3.1)

N2 > N1; (III.3.2)

Построим новое число n2 так: n2 = 1 / N2; (III.3.3)

Это бесконечно малое число, и оно меньше, чем n1

n2 < n1; (III.3.4)

Это следует из (III.2.6), (III.3.3), (III.3.2).

III.4 Числа N3 и n3.

С помощью числа N2 построим новое бесконечно большое число N3:

N3 = 2 ^ N2 = 2 [3] N2; (III.4.1)

N3 > N2; (III.4.2)

Построим новое число n3 так: n3 = 1 / N3; (III.4.3)

Это бесконечно малое число, и оно меньше, чем n2

n3 < n2; (III.4.4)

Это следует из (III.4.3), (III.3.3), (III.4.2)

III.5 Числа NA и nA.

Возьмём ряд целых чисел A (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) и построим ряд бесконечно больших чисел NA (опираясь на уже построенные числа N1, N2, N3):

N(A + 1) = 2 ^ NA = 2 [3] NA; (III.5.1)

N(A + 1) > NA; (III.5.2)

При A = 3 получаем определение для N4:

N4 = 2 [3] N3; (III.5.3)

При A = 4 получаем определение для N5 через N4:

N5 = 2 [3] N4; (III.5.4)

При взятии возрастающих A получаются возрастающие NA.

А теперь возьмём A = 0 и получим:

N1 = 2 [3] N0; (III.5.5)

Это уравнение определяет N0 через N1.

Возьмём A = -1 и получим:

N0 = 2 [3] N(-1); (III.5.6)

Здесь определяется N(-1) через N0.

При A = -2 получаем определение N(-2) через N(-1):

N(-1) = 2 [3] N(-2); (III.5.7)

При взятии A = -3, -4, -5, ... будут получаться новые положительные бесконечно большие числа N(-3), N(-4), N(-5), ... и все они уместятся в промежутке от N1 до 1.

А теперь построим ряд бесконечно малых чисел nA:

nA = 1 / NA; (III.5.8)

n(A + 1) < nA; (III.5.9)

III.6 Топология числовой прямой для N-чисел.

Представление о числовой прямой даётся обычно так:

Рисунок 1

Учёт бесконечно больших NA и бесконечно малых nA чисел дают два следующих рисунка:

Рисунок 2

Рисунок 3

Из (III.2.7) следует: -n1 = - (1 - 1) = -1 + 1 = 1 - 1 = n1; (III.6.1)

-n1 = n1; (III.6.2)

Физически n1 и -n1 лежат на разных числовых прямых, но топологически они совпадают. Другими словами, эти две числовые прямые пересекаются в этой точке. Результат на

Рисунке 4:

Рисунок 4

(III.2.5): N1 * n1 = 1;

(III.6.2): -n1 = n1;

(-N1) * n1 = N1 * (-n1) = N1 * n1; (III.6.3)

Отсюда следует: -N1 = N1; (III.6.4)

Значит эти два бесконечно большие числа тоже топологически совпадают. В некотором многомерном пространстве эти две числовые "прямые" изгибаются, чтобы пересечься в этой точке. Результат в рисунке 5:

Рисунок 5

(III.3.1): N2 = 2 ^ N1; (III.3.3): n2 = 1 / N2; (III.6.4): -N1 = N1;

N2 = 2 ^ N1 = 2 ^ (-N1) = 1 / (2 ^ N1) = 1 / N2 = n2; (III.6.5)

N2 = n2; (III.6.6)

Значит бесконечно большое число совпадает с бесконечно малым числом! (противоположности совпадают - главный закон диалектики). Числа N2 и n2 лежат на одной прямой линии положительных чисел, но в разных её местах. И, чтобы они топологически совпали, эту "прямую" линию надо так изогнуть в некотором многомерном пространстве, чтобы они наложились друг на друга. Получился рисунок 6.

Рисунок 6

Если уравнение (III.6.6) умножить на -1, то получится:

-N2 = -n2; (III.6.7)

Эта пара чисел (-N2 и -n2) лежит на одной "прямой" отрицательных чисел в разных её концах. Но они топологически совпадают. Для этого "прямую" отрицательных чисел надо изогнуть в специальном многомерном пространстве так, чтобы у неё получилось самопересечение. Результат в рисунке 7.

Рисунок 7

Получать новые пары топологически совпадающих разных чисел можно бесконечно. Каждая новая пара опирается на предыдущую пару. Но вот отображать эти пересечения и самопересечения числовых "прямых" на плоских рисунках всё сложнее. Поэтому приведём далее несколько пар топологически совпадающих чисел без их графического отображения в двухмерном пространстве (здесь требуется уже трёхмерное пространство):

N3 = 2 [3] N2 = 2 [3] n2 = e [3] (n2 * ln(2)) =

= 1 + n2 * ln(2) + ... ; (III.6.8)

n3 = 1 / N3 = 1 - n2 * ln(2) + ... ; (III.6.9)

- N3 = -1 - n2 * ln(2) + ... ; (III.6.10)

- n3 = -1 + n2 * ln(2) - ... ; (III.6.11)

N4 = 2 [3] N3 = 2 [3] (1 + n2 * ln(2) + ...) =

= 2 * 2 [3] (n2 * ln(2) + ...) = 2 * e [3] (ln(2) * (n2 * ln(2) + ...)) =

= 2 * (1 + n2 * ln(2) * ln(2) + ... =

= 2 + n2 * 2 * ln(2) * ln(2) + ... ; (III.6.12)

N4 = 2 + n2 * 2 * ln(2) * ln(2) + ... ; (III.6.12)

n4 = 1 / N4 = 1/2 - n2 * 1/2 * ln(2) * ln(2) - ... ; (III.6.13)

-N4 = -2 -n2 * 2 * ln(2) * ln(2) - ... ; (III.6.14)

- n4 = -1/2 + n2 * 1/2 * ln(2) * ln(2) + ... ; (III.6.15)

Мы теперь видим, что такая простая числовая прямая имеет очень сложную топологическую структуру, которая требует для своего полного представления введения многомерного пространства.

III.7 Как путешествовать по числовой линии, пользуясь её топологической структурой.

Простейшее путешествие (рисунок 7): двигайтесь из точки [1] в точку [(N1) (-N1)]. В этой точке остановитесь. И повернитесь лицом влево. Затем двигайтесь вперёд к точке [-1] и (без остановки) к точке [(-n1) (n1)]. Здесь вам следует остановиться и повернуть влево. Затем двигайтесь прямо в точку [1]. Так вы совершите простейшее путешествие и вернётесь домой.

Если на каждом перекрёстке числовой линии вы будете выбирать средний путь, или просто совсем не будете останавливаться, то вы будете двигаться по одномерной прямой линии.

III.8 Итоги.

В этой работе было изучено рождение чисел от натуральных чисел до комплексных чисел. Найдена закономерность построения новых чисел на основе уже известных. На её основе были построены "четвёртые числа" и "пятые числа". Термин "четвёртые числа" означает, что эти числа были построены по обратным операциям к четвёртой прямой операции [4]. Аналогично и "пятые числа" были построены по обратным операциям к пятой прямой операции [5].

При этих построениях приходилось вводить числа-строки (когда в одной ячейке находятся несколько чисел разделённых запятыми).

Значительную роль играют операции над числами. Все операции делятся на прямые, и обратные к прямым. Сложение, умножение, возведение в степень ([1], [2], [3]) - прямые операции. Вычитание, деление, корень, логарифм - обратные операции к этим прямым операциям. Построено несколько новых прямых операций: [4], [5], [0], [-1]. Для [4], [5] и [0] построено по две обратные операции.

Существенным недостатком построенных операций [0] и [-1] является нехватка уравнений для построения [0] операции по [1] операции (сложению), а также [-1] по [0]. Эту нехватку пришлось компенсировать воображением, и достраивать таблицы операций, руководствуясь каким-либо принципом. Не лучший способ, но другого не видно.

Совершенно другим путём построены N-числа (бесконечно большие и бесконечно малые числа). С помощью N-чисел показана сложная топологическая структура обычной числовой прямой.

27.03.2019

Оставить комментарий © Copyright Тельнин Вячеслав Павлович (telnin.vyach@gmail.com) Размещен: 23/10/2018, изменен: 01/04/2019. 523k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 7 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: В этой работе выявлена закономерность построения новых чисел на основе уже известных. С её помощью построены "четвёртые числа" и "пятые числа". Также описаны числа-строки и N-числа.

Тельнин Вячеслав Павлович : другие произведения.

Поиск новых чисел