Аннотация: Операнды, операции, поля с любым рациональным спином.
Вячеслав Тельнин
Математические объекты : прошлое, настоящее, будущее.
I Операции и операнды.
Операций в математике известно 3 : сложение, умножение и возведение в степень. Операции приводят во взаимодействие операнды (такие как слагаемые, сомножители, и т.д.) и ставят им в соответствие результат. Результат обычно бывает из того же множества математических объектов, что и операнды. Операндов в математике известно тоже 3 : числа, вектора и пространства.
Построим таблицу :
.
...Операции
.
3 возведение
...в степень.....3А.........3Б...........3В
.
2 умножение...2А.........2Б...........2В
.
1 сложение.....1А.........1Б...........1В
.
.................А числа Б вектора В пространства Операнды
.
Клеточка 1А.
Эта клеточка соответствует сложению чисел. Результат тоже число.
.
Клеточка 2А.
Она соответствует умножению чисел. Результат число.
.
Клеточка 3А.
Возведение одного числа в степень другого числа. Результат тоже число.
.
Клеточка 1Б.
Это сложение векторов. Результат тоже вектор.
.
Клеточка 2Б.
Эта клеточка задаёт умножение векторов. Умножаются вектор на число и вектор на вектор. Результатов два - числа и вектора.
Вектор на число - вектор
Вектор скалярно на вектор - число
Вектор векторно на вектор - вектор
Вектор тензорно на вектор - вектор большей мерности
.
.
Клеточка 3Б.
Возведение вектора в числовую степень, числа в векторную степень и вектора в векторную степень. Некоторое представление об этом даёт возведение одного комплексного числа в степень другого комплексного числа.
.
Клеточка 1В.
Сложение векторных пространств. Результат - тоже векторное пространство, но с базисом равным сумме базисов пространств-операндов.
.
Клеточка 2В.
Умножение векторных пространств. Умножение векторного пространства на число определяется через умножение базисных векторов на число. Умножение векторного пространства на вектор определяется через умножение базисных векторов на вектор. Умножение одного векторного пространства на другое определяется через умножение базисных векторов одного пространства на базисные вектора другого.
.
Клеточка 3В.
Здесь располагаются возведение векторного пространства в числовую степень, в векторную степень, в пространственную степень. А также возведение числа в пространственную степень, вектора в пространственную степень.
.
Прошлое.
В прошлом было изучено содержимое клеточек 1А, 2А, 3А, 1Б, 2Б, 1В, 2В.
.
Настоящее.
На сайте http://telnin.narod.ru/ в Части 1 в пункте 9 описано возведение многомерных векторных пространств в рациональную степень M/L. На том же сайте в Части 6 описано возведение векторных пространств в иррациональную степень.
.
Будущее.
В будущем будет полностью определено содержимое клеточек 3Б и 3В. А дальнейшее развитие пойдёт по введению в рассмотрение новых операций и новых операндов.
.
II Новые операнды и новые операции.
.
Операнды Г, Д, Е, ...
Вектор является набором чисел (проекций). Сложение векторов определяется через сложение чисел (проекций). Умножение векторов определяется через умножение чисел (их проекций).
Векторное пространство представимо его базисом (набором векторов). Сложение векторных пространств определяется через сложение их базисов (векторов). Умножение их определяется через умножение векторов (их базисов).
НАБЛЮДЕНИЕ : набор операндов одного уровня дает операнд следующего уровня. И сложение операндов нового уровня определяется через сложение операндов предыдущего. Умножение операндов нового уровня определяется через умножение операндов предыдущего.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ : это выполняется для операндов не только А, Б, В, но и Г, Д, Е, ... . И для операций не только 1, 2, но и 3 и 4, 5, 6, ... (если удастся такие определить).
Тогда операнд Г представим набором векторных пространств. И сложение операндов Г определится через сложение векторных пространств. И умножение операндов Г определится через умножение векторных пространств. И возведение одного операнда Г в степень другого операнда Г определится через возведение одного векторного пространства в степень другого. И так далее для операций 4, 5, 6, ... .
.
Операции 4,5,6, ...
Между операндами и операциями имеется глубинное сходство. Выражается оно в связи математических объектов одного уровня с математическими объектами следующего уровня. Под математическими объектами имеются в виду и операнды и операции. Каждый новый операнд есть набор операндов предыдущего уровня. И точно так же каждая новая операция есть набор операций предыдущего уровня. Проверим это.
Обозначим операцию сложения так : [1]. Это номер операции в скобках. Тогда 1 [1] 1 = 2. А операцию умножения обозначим так : [2]. Тогда 2 [2] 3 = 6. И операцию возведения в степень так : [3]. Тогда 2 [3] 3 = 8. Возьмём набор из трёх операций [1] с одинаковыми операндами a :
.
a [1] a [1] a [1] a = a [2] 4
.
Видим что этот набор даёт операцию следующего уровня . Возьмём такой же набор, но операций [2], с теми же операндами. Получим :
.
a [2] a [2] a [2] a = a [3] 4
.
Видим что и этот набор даёт операцию следующего уровня. Можно тогда записать универсальную форму связи операций уровня n и n+1 :
.
a [n] (a [n] (a [n] a)) = a [n+1] 4
.
Эту формулу можно применить и для n = 3. Тогда мы получим определение новой операции [4] через известную операцию [3] :
.
a [3] (a [3] (a [3] a)) = a [4] 4
.
А если взять n = 4, то получим определение ещё одной новой операции [5] через операцию [4]. И таким образом мы можем строить новые операции бесконечно.
Операции 0, -1, -2, ... .
Если обратить эту формулу вспять -
.
a [n-1] (a [n-1] (a[n-1] a)) = a [n] 4
.
то мы можем, взяв n = 1, выразить новую операцию [0] через известную операцию [1]. А, взяв n = 0, выразить новую операцию [-1] через операцию [0]. И так мы можем определять операции [-2], [-3], [-4], и другие бесконечно.
.
Гипотеза.
Раз номера операций проходят те же эмбриональные стадии что и операнды (от натуральных чисел до отрицательных), то можно предположить что в будущем они смогут пройти стадию рациональных чисел, действительных чисел, и стать векторами. А затем пространствами, а затем операндами Г, операндами Д, и так далее. И тогда можно будет писать такие выражения : число [вектор] пространство , или Е [Г] Б, или А [А] А, или В [Б] А.
.
III Применение возведения векторных пространств в рациональные степени M/L в физике.
.
На сайте http://telnin.narod.ru/ в Части 1 в пункте 9 описана общая схема возведения многомерного векторного пространства W в рациональную степень M/L. А в Части 5 (опираясь на определения из Части 1, Части 2 и на Часть 4) на этом же сайте показано, что вектор, взятый из результирующего пространства (W в степени M/L) описывает физическое поле со спином M/L !
Что же делать с этим вектором ? Из таких векторов, и ещё из метрических тензоров, и из других величин с индексами образуется скаляр. А из этого скаляра и из определителя метрического тензора для W строится функция действия. Из неё по принципу наименьшего действия находятся уравнения для поля со спином M/L. И в Части 2 на этом же сайте изложена первая теорема Нётер, позволяющая найти по этой функции действия тензор энергии-импульса этого поля, а также тензор спина с тензором орбитального момента (эти два тензора в сумме дают тензор полного момента количества движения) этого поля. У этого изложения первой теоремы Нётер две особенности. Во-первых, она сформулирована для искривлённого пространства W. Во-вторых, в ней учитываются не только первые производные от полей в лагранжиане, но и ВТОРЫЕ. И, поскольку лагранжиан гравитационного поля содержит и первые и ВТОРЫЕ производные от метрического тензора, то эти же универсальные формулы дают и тензор энергии-импульса гравитационного поля, и тензор полного момента количества движения гравитационного поля. Соответствующие формулы приведены в Части 3 на этом же сайте. На их основе в Части 8 получена формула для энергии гравитационного поля для решения Шварцшильда. Также в Части 3 ОТО обобщена на несимметричные метрические тензора. Для них символы Кристоффеля получаются тоже несимметричными.
На сайте http://telnin.narod.ru/ возведение пространства W в рациональные степени 1 /2, 1 /4, 1/8, 1/16, ... проведено двумя разными способами. Первый из них описан в пунктах 4-8 Части 1 (показано как возводить W в степени 1 /2, 1 /3, 1 /4, 1 /5, ...) и три примера лагранжианов для него разобраны в Части 4. В этом подходе приходится вводить гиперкомплексные числа in со свойствами : in * ik = - ik * in (n отлично от k), in * in = -1
Второй способ находится в процессе разработки. (показано как возводить W в степени 1 /2, 1 /4, 1/8, 1/16, ...) Самое начало его изложено в Части 7 - "Внутренняя структура спиноров". Здесь не требуется вводить гиперкомплексных чисел. Интересной особенностью является то, что метрические тензора для степеней W: 1 /2, 1 /4, 1/8, 1/16, ... являются несимметричными (а в первом подходе были симметричными). И здесь-то и пригодится Часть 3, так как для нахождения тензора спина требуется определение символов Кристоффеля, а они будут несимметричны (раз несимметричны метрические тензора).
.
26 сентября 2007 года. Исправлено 3 ноября 2007 года.