Много лет назад на лекции по матанализу наш Клеменьев задал вопрос о доказательстве существования иррациональных чисел. Я в то время читал много всякой всячины, и из переводной книжки венгерского математика Реньи "Трелогия о вероятности" знал, что можно привести пример нерационального числа, чем доказать их существования. Тут же кто-то произнес, что примером нерационального числа будет десятичная непериодическая дробь. Ну, я и вылез со своими не совсем оформившимися знаниями. И привел пример этого венгра. Типа - вот подобное число: 0,1010010001... и т.д. После каждой единички добавляй не один нуль, а на один больше, чем после предыдущего набора нулей. Пример-то, конечно, правильный. И по определению этот пример подходит, и число получается вроде иррациональное. Но не так давно, вдалбливая в голову одного бестолкового ученика понятие о сумме геометрической прогрессии, я вдруг понял свою ошибку, за которую через сорок лет мне вдруг стало стыдно. Ха, а ведь приведенном число есть геометрическая прогрессия, правда, бесконечная. Но, тем не менее, если так ее рассматривать, то получается, что мы имеем сумму чисел 0,1+0,001+0,0001+..., а ведь есть возможность получить эту сумму в явном виде. S = b1(1-qn)/(1-q). Беря lim по n-> бесконечности получим вполне себе рациональное число в виде дроби 1/9, что является не чем иным как рациональным числом. Так что и венгр и я вместе с ним просто шли на поводу своих амбиций и не видели дальше своего носа. Честно говоря, за венгра я ничего не говорю, а лично мне стыдно. И ведь есть учебники по матанализу, в которых приводиться именно этот пример доказательства существования иррациональных чисел. Вот ведь до чего доходит невозможность преподавателям вузов работать со школьниками старших классов. Отчего я и пишу все это.