Есть такая карикатура: сидят два астронавта на Луне, кругом - кольцевые горы, в небе - Земной диск висит почти неподвижно. Один говорит другому: "Ну вот, мы и здесь. И что?". Фраза приписывается Нилу Армстронгу. А спрашивает он, якобы, Эдвина Олдрин.
Ну а теперь другой ракурс - Григорий Перельман доказал "гипотезу геометризации" (Уильяма Тёрнста), утверждающую, грубо говоря, что есть способы круговорота топологической среды, преодоления непрерывности. Их - восемь. То есть если рассуждать по логике известной, аппории Ахиллес догонит и перегонит черепаху, если она начинает движение раньше Ахиллеса восьмью различными способами. Потому, что всякое компактное трехмерное многообразие можно определенным образом разбить на куски, в каждом из которых можно ввести одну из восьми модельных геометрий. И что?
Что из того, что внутренняя часть Вселенной, и вообще, чего бы то ни было в ней имеет геометрическую структуру с конечным объемом. И таких - восемь возможных геометрические структур в 3 -х измерениях, выглядит как кипящая пена со сложной топологической структурой? Это микроскопическое "кипение" пространства-времени в некотором отношении аналогично рождению и умиранию виртуальных частиц, черных дыр, злокачественных опухолей.
Представьте себе кипящий объём, в котором плотнейшая упаковка пузырьков пены. А пузырек - это что? Дырка с поверхностью. Оказывается, чтобы кипело всё надо компактизация всего 8 дырок с поверхностью? Октава!
Октонионы или октавы представляют собой одну из самых необычных алгебр. Как показывает само название "октонионы" (восьмимерные числа, "удвоенные" кватернионы - четверичные числа), это − выражения, состоящие из восьми членов. Для записи таких выражений необходимо иметь 7 "мнимых единиц".
где а0, а1, а2, а3, а4, а5 , а6, а7− произвольные действительные числа, а i1, i2, i3, i4,..., i7, семь мнимых чисел.
Зачем нам нужны мнимые числа? Чтобы обобщить конечномерное и бесконечномерное.
Вот представьте дырку с поверхностью... Выверните ее наизнанку и получите бесконечность. То у вас была пустота внутри формы, а теперь получилась форма внутри пустоты.
И вот у этих объктов есть у каждого 8 частей одинаковых. Их одинаковость прерывает непрерывность. Октава! Вот и в музыке октава считается совершенным консонансом и чистым интервалом.
Представляете такого сюрреалистического монстра, который одинаково конечен и бесконечен? А чтобы прейти от бесконечности к конечной мере надо всего лишь вывернуть наизнаку.
Сторона и обратная изнанка. Например, чтобы победить злокачественную пухоль с бесконечным делением надо ее вывернуть наизнанку.
Вот смотрите - имеем две октавы.
Чтобы понять, каким образом можно организовать геометрию октонионов, воспользуемся процедурой удвоения, которая позволяет весьма естественным путем строить октонионы, исходя из кватернионов.
А что если удвоить октонион?
Поэтому тот обобщенный октонион, который мы будем рассматривать в дальнейшем, на самом деле тоже является составным числом - седенионом. Он получается как произведение четырех чисел: действительного и комплексного числа, кватерниона и октониона. То есть вначале мы рассмотрим результат перемножения действительного и комплексного числа, потом полученный результат перемножим с кватернионом. Таким образом, у нас образуется группа чисел в двухмерном пространстве. Затем эту группу перемножим с октонионом. В результате получим трехмерный вариант обобщенного октониона, который содержит внутри себя и октонион, и кватернион, и комплексные числа.
А знаете что он содержит? 15 пар совмещенных друг с другом геометрических обьектов, относяшихся к конечномерному (прямому) пространству и линейному (векторному и обратному) плюс двусторонний единичный элемент совмещающий дырку и вывернутую наизнанку дырку, который есть интервал между пузырьками в пене.
Самое интересное заключается в том, что этот единичный элемент можно вывернуть наизнанку - поменять местами стороны. И если это сделать, то 15 пар совмещенных друг с другом геометрических обьектов, относяшихся к конечномерному (прямому) пространству и линейному (векторному и обратному) тоже вывернутся наизнанку. Если представить это конкретно, то это все равно что вывернуть злокачественную опухоль наизнанку... Но тут появляется врач и говорит Перельману: "Ну вот, ты и доказал. И что?".