Рыжков Александр. Диплом по электронике 2раздел

Рыжков Александр : другие произведения.

Диплом по электронике 2раздел

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]

Ссылки:

Комментарии: 3, последний от 17/01/2005. © Copyright Рыжков Александр (ferti7@zmail.ru) Размещен: 12/03/2002, изменен: 17/02/2009. 19k. Статистика. Статья:		Ваша оценка:

2 Применение математического программирования к решению задачи максимизации степени устойчивости

2.1 Максимизация степени устойчивости в стационарных САУ

В [6] рассматривается семейство задач математического программирования, условия связи в которых являются комплексными функциями, аналитическими относительно переменной S. И для таких задач находятся необходимые условия оптимальности с учетом сведений из теории функции комплексной переменной. Кроме того, показывается, что задача о достижении в линейной динамической системе предельной степени устойчивости может быть формализована аналогичным образом, что позволяет в ряде простейших практически важных случаев получить аналитические выражения, которые могут быть использованы при параметрическом синтезе робастных и адаптивных систем управления.

Методы математического, в частности линейного программирования, широко используются при решении ряда важных прикладных задач [7]. Одна из таких задач - параметрический синтез динамических систем при ограничениях, налагаемых на расположение корней характеристического уравнения. Вопрос о выборе оптимальных параметров динамической системы, исходя из заданных критериев, привлекает значительное внимание исследователей [8,9 и др.]. Ниже покажем, что постановка задачи нелинейного программирования с условиями - связями, включающими функции комплексного переменного, позволяет получить необходимые условия оптимальности, которые могут быть использованы при решении задач параметрического синтеза динамических систем по критерию предельной (максимальной) степени устойчивости и ряда других задач.

2.1.1 Формализация задачи оптимизации

Рассмотрим класс задач математического программирования, в которых ограничения включают в себя функцию комплексной переменной: S=+j. Постановка задачи:

f₀(x)max (2.1)

при условиях: 1) F(x,S)=0, 2) xV_xR_n, 3) SV_x, j²=-1.

В постановке (2.1) f₀(x) - вещественная функция, зависящая от вещественного вектора x, функция F(), вошедшая в уравнение связи (1), является комплексной. Будем считать, что обе эти функции непрерывны и непрерывно-дифференцируемы по x, и F() при каждом x - аналитическая функция относительно S.

Отметим, что постановка задачи (2.1) в общем случае может включать связи вида f_i(x)=0, однако их наличие никак не сказывается на особенностях задачи, поэтому для простоты выкладок такие условия рассматривать не будем. Задача (2.1) относится к задачам нелинейного программирования [7], однако имеет специфический характер, обусловленный наличием комплексной переменной и функциями от нее. Ниже показано, что к подобному виду приводит формализация некоторых важных прикладных задач из области синтеза систем управления.

Специфический характер задачи состоит в том, что при записи уравнения связи в форме равенства нулю вещественной и мнимой составляющих функции F, эти два равенства независимы и их левые части связаны друг с другом уравнениями Коши-Риммана.

Приведем необходимые условия оптимальности и расчетные соотношения, необходимые для формализации задачи. Для этого представим комплексную функцию F(x,S) в традиционной форме в виде суммы вещественной R(x,,) и мнимой I(x,,) составляющих:

F(x,S)= R(x,,)+ jI(x,,) (2.2)

Условие (1) в таком случае распадается на два:

R(x,,)=0 (2.3)

I(x,,)=0 (2.4)

Отметим, что условия (2.2), (2.3) не являются независимыми. Кроме того, R() - четная, а I() - нечетная функция относительно аргумента .

Для решения задачи (2.1) с условиями в форме (2.3),(2.4), следует составить функцию Лагранжа [7]:

L=₀f₀(x)+₁ R(x,,)+ ₂I(x,,), (2.5)

где ₀,₁ и ₂ - множители Лагранжа. Применение теорем Куна-Таккера позволяет записать необходимые условия оптимальности рассматриваемой задачи:

dL/dx=0 ₀f₀(x)/x+₁R()/x+₂I()/x; (2.6)

dL/d=0 ₁R()/=-₂I()/; (2.7)

dL/d=0 ₁R()/=-₂I()/; (2.8)

Специфичность поставленной задачи позволяет отказаться от традиционной схемы решения. Вместо этого целесообразно получить дополнительные условия, не содержащие - множителей, и затем добавить эти условия в исходную постановку.

С этой целью рассмотрим условия (2.3), (2.4). Вид вошедших в (2.3), (2.4) уравнений дает основания для вывода об инвариантности оптимального решения к знаку . Другими словами, если (2.3), (2.4) выполняются при ^*=⁰, то они должны выполняться и при ^*= -⁰. Действительно, выражение (2.3) при изменении знака не изменяется, а в (2.4) только знак, что не нарушает этого равенства.

Рассмотрим выражение (2.8). Сразу можно отметить, что R()/ - - нечетная, а I()/ - четная функции от . Условие (2.8) позволяет сделать следующий вывод:

Утверждение 1: На оптимальном решении выполнены условия вида:

R()/=0 (2.9)

I()/=0 (2.10)

Доказать это утверждение можно следующим образом:

Предположим, что при =⁰

R()/=М0 I()/=КМ0

где К=-₂/₁0 - коэффициент пропорциональности между R()/ и I()/ из(2.7). Тогда при =-⁰ R()/=-М в силу нечетности R()/ и I()/=КМ в силу четности I()/. Таким образом получаем, что на оптимальном решении М=-М, откуда следует, что М должно быть равным нулю. Тем самым утверждение доказано.

Теперь воспользуемся теоремой Коши - Римана [10] связывающей между собой частные производные от аналитической функции комплексной переменной по вещественному и мнимому аргументам:

R(x,,)/=-I(x,,)/; (2.11)

R(x,,)/=I(x,,)/; (2.12)

Объединяя (2.9) и (2.12) получаем:

R(x,,)/=0; (2.13)

I(x,,)/=0. (2.14)

Выражения (2.13), (2.14) представляют собой дополнительные условия, которые следует добавить в исходную постановку задачи (2.1). В зависимости от размерности x может оказаться, что полученная система уравнений (2.3),(2.4),(2.13),(2.14) позволит сразу определить решение задачи, т.е. значения ^*, ^*, x^*. В противном случае для вновь получившейся задачи с добавленными ограничениями:

f₀(x)max_x,_, (2.15)

при условиях (2.3),(2.4),(2.12),(2.13) следует вновь выписать необходимые условия оптимальности. При этом полезно учесть, что производные R()/, I()/, R()/, I()/ также связаны уравнениями Коши-Римана. После несложных математических выкладок получаем:

²R(x,,)/²=0; (2.16)

²I(x,,)/²=0. (2.17)

Условия (2.16), (2.17) следует также добавить в постановку задачи. Подобная процедура должна быть продолжена до тех пор, пока полученная система уравнений вида:

R(x,,)=0; I(x,,)=0;

R(x,,)/=0; I(x,,)/=0;

(2.18)

²R(x,,)/²=0; ²I(x,,)/²=0.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

не позволит определить ^*, ^* и x^*. Для решения системы потребуется (n+2) уравнения из (2.18). Отметим, что аналитическое решение системы уравнений (2.18) возможно лишь для некоторых простейших случаев. Вообще же решение следует получать численными методами, при этом полезно использовать особенности уравнений, входящих в (2.18), для конкретных задач.

2.1.2 Задача о предельной степени устойчивости линейной стационарной динамической системы

Как пример практического применения полученных в разделе 2.1.1 рассмотрим задачу о достижении максимально возможной (предельной) степени устойчивости ^*в линейной динамической системе с передаточной функцией:

W(x,S)=A(x,S)/B(x,S) (2.19)

где S - комплексная переменная Лапласа, x - вектор параметров (коэффициентов) системы, доступных для изменения, А() и В() - некоторые функции от S и x.

Известно, что устойчивость системы (2.19) (как и другие собственные свойства) полностью определяется видом корней ее характеристического уравнения:

B(x,,)=0 (2.20)

после подстановки S=-+j. Геометрически и можно интерпретировать как мнимую и вещественную координаты ближайшего к мнимой оси корня (2.20) на комплексной плоскости корней.

Для рассматриваемой системы важной задачей является выбор таких значений составляющих x, при которых =^*. Кроме того, определение представляет самостоятельный интерес, так как дает возможность получить оценки скорости затухания переходных процессов в системе.

Задача о расчете системы (2.20) из условия достижения в ней ^* может быть представлена в форме:

max_x,_,; (2.21)

-™0; (2.22)

R(x,,)=0 (2.23)

I(x,,)=0 (2.24)

т.е. как задача о максимизации скаляра , не превосходящего , при заданных ограничениях на расположение корней характеристического уравнения (2.20).

Постановка задачи в форме (2.19) - (2.24) позволяет использовать для решения результаты, полученные в разделе 2.1.1, в частности - -систему уравнений (2.18).

2.2 Пример решения задачи максимизации степени устойчивости в стационарной САУ

Система регулирования (рисунок 2.1), состоит из объекта с передаточной функцией:

W_o(S)=K/S- Kexp(-S)/S,

и ПИ-регулятора с передаточной функцией:

W_ПИ(S)=z₁-z₀/S.

_h(t)

1,0

^t ^t

Рисунок 2.1 Система регулирования

Требуется выбрать z₁и z₀ обеспечивающие достижение ^* в замкнутой системе и апериодический характер переходного процесса. Последнее требование соответствует вещественности ближайшего к мнимой оси корня характеристического уравнения системы, т.е. выполнение условий ^*=0 и I()0. Поэтому необходимые условия оптимальности в данном случае примут форму:

R()=z₀(K-Kexp())+z₁(Kexp()-K)+²=0;

R()/=z₀(-Kexp())+z₁(Kexp()-K+Kexp())+2=0;

²R()/²=z₀(-K²exp())+z₁(2Kexp()+K²exp())+2=0.

Полученная система уравнений линейна относительно z₀ и z₁, поэтому решение может быть сведено к решению одного нелинейного уравнения относительно . Подобное уравнение может быть решено численно на ЭВМ. После определения минимального положительного ^* удобно применить известные формулы Крамера [10]. В результате для данной системы с К=0,5 и =4 получаем: ^*=0.7715; z₀^*=0.1273; z₁^*=0.0911.

При расчете ^* для типовых законов регулирования на первый взгляд кажется, что величина ^* для ПИД-закона больше чем для ПД- или П-регуляторов, т.к. W_ПИД(S)=z₀/p+z₁+z₂p и ПИД-регулятор при z₀=0 превращается в ПД, при z₀=0 и z₂=0 в П-регулятор. Расширение же множества допустимых решений задачи может только увеличить ^*. Однако если к системе предъявляется требование астатизма, т.е. z₀>0, то достижимая степень устойчивости для ПИ-регулятора оказывается, как правило, меньше, чем для П-регулятора, а ^* для ПИД- регулятора меньше, чем для ПД. Поясним причину этого факта.

Для объекта регулирования с передаточной функцией:

W_o(S)=Kexp(-S)/(b₀+b₁S+...+b_nSⁿ)=Kexp(-S)/B(S) (2.25)

при введении в закон регулирования интегральной составляющей z₀/S степень устойчивости для малых значений z₀ близка к нулю, а затем с ростом z₀ увеличивается до некоторого предела, определяемого условиями (2.23), (2.24). Действительно, перепишем условие R()=0 для объекта (2.22) и ПИД-регулятора в форме:

z₁=-B(-)/Kexp()+z₀/+z₂. (2.26)

При малых корень этого уравнения приблизительно равен:

₁—z₀/(z₁+b₀K).

Таким образом, степень устойчивости системы, а она равна минимальному из корней уравнения (2.26), при малых значениях z₀ сколь угодно близка к ₁. Если z₁ и z₂ найдены из условия предельной степени устойчивости для системы с ПД-регулятором, то введение астатизма в систему сначала (при малых z₀) скачком уменьшает степень устойчивости до ₁, в дальнейшем она возрастает до ^* (рисунок 2.2).

^*_ПД

^*_П_И_Д

z₀^* z₀

Рисунок 2.2 Влияние астатизма на ^* в типовых системах

Аналогично могут быть заданы другие условия на расположение корней характеристического уравнения, например, требование нахождения корней в заданной области D (рисунок 2.3), характеризующейся параметрами m=tg() и .

jIm

D Re

Рисунок 2.3 Ограничения налагаемые на расположение корней характеристического уравнения системы

Один из этих параметров может быть фиксирован, другой подлежать оптимизации. В качестве критерия может быть выбран и интегриральный функционал, зависящий от вектора x, экстремум которого требуется найти при заданном расположении корней.

W₀(S)

W_ПИ(S)

Комментарии: 3, последний от 17/01/2005.
Размещен: 12/03/2002, изменен: 17/02/2009. 19k. Статистика.
Статья:

Связаться с программистом сайта.
Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"
Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"