Рыжков Александр. Диплом по электронике 1раздел

Рыжков Александр : другие произведения.

Диплом по электронике 1раздел

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]

Ссылки:

Оставить комментарий © Copyright Рыжков Александр (ferti7@zmail.ru) Размещен: 12/03/2002, изменен: 17/02/2009. 13k. Статистика. Статья:		Ваша оценка:

1 Оценка степени устойчивости в САУ с интервально-неопределенными параметрами

-- Постановка задачи синтеза САУ с интервально-неопределенными параметрами

В ряде промышленных САУ параметры управляемого объекта в процессе функционирования системы изменяются по априори неизвестным законам, но в известных диапазонах. Для таких САУ актуальна задача параметрического синтеза линейных регуляторов, обеспечивающих работу системы при любых возможных изменениях интервально-неопределенных параметров объекта.

Согласно [1,2], при проектировании систем с изменяющимися параметрами наиболее целесообразно использовать критерий максимальной степени устойчивости. При этом представляет интерес методика оценки устойчивости системы с интервально-неопределенными коэффициентами характеристического полинома [3], которая основана на максимизации минимальной степени устойчивости в некоторой вершине параметрического многогранника, образованного граничными значениями коэффициентов полинома. Использование такого многогранника при известных интервалах неопределенности параметров объекта приведет к занижению значения степени устойчивости САУ, т.к. область реального изменения коэффициентов полинома определяется входящими в эти коэффициенты интервально неопределенными параметрами объекта и располагается внутри указанного многогранника. При этом она отображается в пространство интервально-неопределенных параметров объекта в виде некоторой области Р_т, которая и может быть использована при выборе оптимальных параметров линейного регулятора САУ.

В большинстве существующих на эту тему исследований ставятся и, с помощью различных критериев и процедур, решаются задачи получения или максимизации области устойчивости системы т.е. области Р_т. Отличие же постановки задачи в данной работе будет заключаться в попытке найти соответствующие настройки регулятора обеспечащие максимально возможную степень устойчивости- системы, в наихудшем режиме функционирования, и более высокую степень устойчивости во всех остальных возможных режимах функционирования в пределах области Р_т.

-- Математическое описание САУ с интервально-неопределенными параметрами

Основным математическим описанием системы является ее передаточная функция, но в силу того, что в данном исследовании интерес представляет нахождение степени устойчивости ограничимся лишь характеристическим полиномом системы.

Примем, что характеристический полином САУ с интервально-неопределенными параметрами объекта и линейным регулятором имеет вид:

D(S)=a_n(T,K)Sⁿ+ a_n-1(T,K)S^n-1+...+ a₁(T,K)S+ a₀(T,K),

Где Т=Т_j-вектор интервально-неопределенных параметров объекта, T_jmin© T_j© T_jmax, j=1¤m;

K=K_n-вектор настраиваемых параметров регулятора.

Так как m- интервально-неопределенных параметров объекта заданы граничными значениями, то область Р_т, внутри которой вектор Т может изменяться произвольным образом, представляет собой параметрический многогранник P_т={Т_jT_jmin© T_j© T_jmax, j=1¤m }, содержащий 2^m вершин. Например, для системы с двумя интервально-неопределенными параметрами параметрический многогранник будет иметь вид прямоугольной области (рисунок 1.1).

Т₁

T_1max

T_1min

Т₂

0x08 graphic

T_2minT_2max

Рисунок 1.1 Параметрический многогранник.

В силу необходимости исследования всех 2^m вершин параметрического многогранника возникает необходимость использования гипотезы формального замораживания коэффициентов, что приводит к необходимости исследования не одного, а 2^m-характеристических полиномов, имеющих одинаковый общий вид, но содержащих различные значения параметров являющихся интервально-неопределенными.

1.3 Анализ устойчивости системы внутри параметрического многогранника

Как уже говорилось ранее, работа предполагает рассмотрение методики оценки устойчивости системы с интервально-неопределенными коэффициентами характеристического полинома, основанной на максимизации минимальной степени устойчивости системы в вершинах параметрического многогранника, образованного граничными значениями коэффициентов полинома. При этом область реального изменения коэффициентов полинома определяется входящими в эти коэффициенты интервально-неопределенными параметрами объекта и располагается внутри параметрического многогранника, отображаясь в пространство интервально-неопределенных параметров объекта в виде некоторой области Р_Т, используемой при выборе оптимальных параметров линейного регулятора САУ.

Пусть характеристический полином САУ с интервально-неопределенными параметрами объекта и линейным регулятором имеет вид:

D(S)=a_n(T,K)Sⁿ+ a_n-1(T,K)S^n-1+...+ a₁(T,K)S+ a₀(T,K).

Тогда при условии a_n(T,K) 0, он может быть представлен в следующем виде:

D(S)=Sⁿ+ b_n(T,K)S^n-1+...+ b₂(T,K)S+ b₁(T,K), (1.1)

где b_i(T,K)= a_i-1(T,K)/ a_n(T,K), i=1¤n.

Так как m параметров объекта заданы граничными значениями, то область Р_Т, внутри которой вектор Т может изменяться произвольным образом, представляет собой параметрический многогранник:

P_т={Т_jT_jmin© T_j© T_jmax, j=1¤m }, (1.2)

Содержащий 2^m вершин. Обозначим вектор вершин этого многогранника через Т^В. Используя гипотезу формального замораживания коэффициентов (1.1) при условии несущественного изменения переменных параметров за время переходного процесса, рассмотрим САУ как многорежимную систему. Синтез параметров регулятора в этом случае предполагает нахождение таких его настроек, которые гарантируют заданные показатели качества в наихудшем режиме. Под наихудшим режимом САУ будем понимать такой набор значений интервально-неопределенных параметров объекта, при которых степень устойчивости системы минимальна. При определенных условиях для нахождения наихудшего режима нет необходимости сканировать всю область внутри многогранника Р_Т, а достаточно лишь проверить его вершины Т^В. Действительно согласно [4] для характеристического полинома (1.2) функция =(b_n,...,b₁) обладает свойством выпуклости по переменным b_i в диапазоне [b_imin;b_imax] минимум указанной функции обеспечивается крайними значениями коэффициентов b_i. Если зависимости b_i(T_j), i=1¤n, j=1¤m являются монотонными функциями на интервалах [T_jmin, T_jmax], то крайние значения переменных параметров T_j объекта соответствуют крайним значениям коэффициентов b_i полинома (1.1). Следовательно, функция принимает минимальные значения при крайних значениях T_j, являющихся координатами вершин Т^В параметрического многогранника Р_Т (1.2).

Для нахождения оптимальных значений параметров К линейного регулятора необходимо решить задачу: осуществить максимизацию по К наихудшего значения степени устойчивости _min в вершинах Т^В параметрического многогранника Р_Т:

_min=min_T^B (T^B,K)max_K. (1.3)

Известно, что для успешного решения оптимизационной задачи важно знать характер целевой функции. Если характеристический полином САУ имеет вид (1.1), то функция (К) во всех режимах является унимодальной при условии монотонности зависимостей b_i(K_n), i=1¤n, n=1¤l. Действительно, по аналогии с интервально-неопределенными параметрами объекта для любого диапазона изменения настраиваемого параметра регулятора минимальная степень устойчивости САУ будет при одном из его крайних значений. Поэтому у степени устойчивости системы в любом режиме нет локальных максимумов, также как их нет и у целевой функции. А, следовательно, максимум степени устойчивости находимый в процессе оптимизации всегда является единственным - искомым.

Единственность максимума степени устойчивости можно хорошо отразить приведя корневой годограф, являющийся, по сути, схемой перемещения корней характеристического полинома системы при изменении ее настроечных параметров. В качестве примера приведем схематично (без расчета конкретной системы) корневой годограф устойчивой системы четвертого порядка из [5] (рисунок 1.2а). Здесь видно, что при движении корня Р₃ по вещественной оси от 0 к -, до определенного момента происходит рост степени устойчивости, одновременно корни Р₁ и Р₂ сдвигаются в противоположном направлении, т.е. по направлению к мнимой оси, тем самым ограничивая рост степени устойчивости определенной величиной. Корень Р₄ в то же время сдвигается в сторону -, а следовательно особого влияния на величину максимальной степени устойчивости не оказывает. Исходя из всего вышеприведенного можно сделать вывод, что в идеальном случае максимум величины степени устойчивости достигается в тот момент когда все корни Р₁,Р₂ и Р₃ оказываются на одной линии (рисунок 1.2б).

j j

Р₁

Р₄ 0 Р₄ Р₃

Р₃

Р₂ Р₂

(1.2а) (1.2б)

Рисунок 1.2 а)корневой годограф системы четвертого порядка;

б)достижение оптимума степени устойчивости.

После прохождения корнями уровня оптимального значения степени устойчивости, происходит уменьшение величины степени устойчивости и одновременно резкое увеличение колебательности, т.к. ближайшей к мнимой оси становится пара комплексно-сопряженных корней. Исходя из этих соображений, можно однозначно утверждать, что функция степени устойчивости унимодальна, т.е. имеет только один единственный максимум.

Оставить комментарий
Размещен: 12/03/2002, изменен: 17/02/2009. 13k. Статистика.
Статья:

Связаться с программистом сайта.
Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"
Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"