Проекция на плоскость любого многообразия является евклидовым, плоским двухмерным многообразием. Судить об условной кривизне спроецированного на плоскость многообразия следует по его трёхмерному прообразу. С точки зрения внутреннего, двухмерного наблюдателя поверхность трёхмерного прообраза, двухмерное пространство поверхности, многообразие может быть полным эквивалентом евклидовой плоскости. В то же самое время с точки зрения внешнего, трёхмерного наблюдателя, наблюдателя в пространстве погружения это же многообразие может рассматриваться как искривлённое. Curvature illusion. The projection onto the plane of any manifold is a Euclidean, flat two-dimensional manifold. The conditional curvature of a manifold projected onto a plane should be judged by its three-dimensional preimage. From the point of view of an internal, two-dimensional observer, the surface of the three-dimensional pre-image, the two-dimensional space of the surface, the manifold can be a complete equivalent of the Euclidean plane. At the same time, from the point of view of an external, three-dimensional observer, an observer in the space of immersion, the same manifold can be considered as curved.
На искривлённых поверхностях не существует параллельных линий, следовательно, никакой перенос вектора не может быть параллельным. Под параллельным переносом вектора подразумевается эквиугловой перенос, то есть, перенос с сохранение угла между вектором и линией переноса. Такой условный параллельный перенос вектора не может служить индикатором кривизны пространства, в частности, на поверхности сферы. Перенос вектора по произвольной замкнутой траектории или по разным путям с сохранением угла к линии переноса может привести к изменению его направления в любом пространстве, в том числе на плоскости Евклида. Утверждение о принципиальной невозможности сравнения векторов является ошибочным. Определение понятия скорости удаления галактик по отношению к нам является чётким, определённым и в пределах доступной точности - однозначным. There are no parallel lines on curved surfaces, so no vector transfer can be parallel. Parallel transfer of a vector means equiangular transfer, that is, transfer with preservation of the angle between the vector and the transfer line. Such a conditional parallel transfer of a vector cannot serve as an indicator of the curvature of space, in particular, on the surface of a sphere. Transferring a vector along an arbitrary closed trajectory or along different paths while maintaining the angle to the transfer line can lead to a change in its direction in any space, including the Euclidean plane. The statement about the fundamental impossibility of comparing vectors is erroneous. The definition of the concept of the speed of removal of galaxies in relation to us is clear, definite and, within the limits of available accuracy, unambiguous.
В искривленном пространстве отсутствует понятие параллельных линий. Под параллельным переносом вектора подразумевается эквиугловой перенос, то есть, перенос с сохранение угла между вектором и геодезической переноса. Paradoxes of parallelism. In curved space, there is no concept of parallel lines. Parallel translation of a vector means equiangular translation, that is, translation with preservation of the angle between the vector and the translation geodesic
На искривлённых поверхностях не существует параллельных линий, следовательно, никакой перенос вектора не может быть параллельным. Под параллельным переносом вектора подразумевается эквиугловой перенос, то есть, перенос с сохранение угла между вектором и линией переноса. Такой условный параллельный перенос вектора не может служить индикатором кривизны пространства, в частности, на поверхности сферы. Перенос вектора по произвольной замкнутой траектории или по разным путям с сохранением угла к линии переноса может привести к изменению его направления в любом пространстве, в том числе на плоскости Евклида. There are no parallel lines on curved surfaces, so no vector transfer can be parallel. Parallel transfer of a vector means equiangular transfer, that is, transfer with preservation of the angle between the vector and the transfer line. Such a conditional parallel transfer of a vector cannot serve as an indicator of the curvature of space, in particular, on the surface of a sphere. Transferring a vector along an arbitrary closed trajectory or along different paths while maintaining the angle to the transfer line can lead to a change in its direction in any space, including the Euclidean plane.
Утверждение о принципиальной невозможности сравнения векторов является ошибочным. Определение понятия скорости удаления галактик по отношению к нам является чётким, определённым и в пределах доступной точности - однозначным. The statement about the fundamental impossibility of comparing vectors is erroneous. The definition of the concept of the speed of removal of galaxies in relation to us is clear, definite and, within the limits of available accuracy, unambiguous.
Рассмотрена задача построения эллипса по параметриче-ским уравнениям. Решена задача вращения эллипса вокруг его центра на любой угол. Решена задача проведения заданного эллипса через произвольную точку в области кольца с радиусами его полуосей. Существует единственный меридианальный эллипс (верхняя половина), проходящий через такую точку. The problem of constructing an ellipse from parametric equa-tions is considered. Solved the problem of rotating an ellipse around its center at any angle. The problem of drawing a given ellipse through an arbitrary point in the region of the ring with the radii of its semiaxes is solved. There is a single meridian ellipse (upper half) passing through such a point.
Рассмотрено бесконечное трёхмерное пространство отрицательной кривизны Лобачевского. Бесконечное пространство радиально деформировано, сжато до шара конечных размеров. Конструкция является симуляцией, то есть реально такое пространство невозможно. Шару присвоено название "Сфера Лобачевского". Для радиального сжатия может быть использована тангенциальная, степенная и другие конечные шкалы. Показано, что через любые три точки внутри шара может быть проведена лишь одна сфера, ортогональная к поверхности, абсолюту шара. Такая сфера является геодезической поверхностью внутри шара и через единственную точку может быть проведено любое число таких поверхностей. Пересечение не менее чем четырёх геодезических поверхностей создаёт тела, аналогичные телам в трёхмерном пространстве Евклида. В качестве иллюстраций приведены: скелетная схема гиперболического куба, куба в трёхмерном пространстве отрицательной кривизны; скелетные схемы тетраэдра, обычной сферы и гиперболического гиперкуба - тессеракта. An infinite three-dimensional space of negative curvature of Lobachevsky is considered. Infinite space is radially deformed, compressed to a ball of finite dimensions. The construct is a simulation, that is, in reality, such a space is impossible. The glob was named "Lobachevsky's Sphere". For radial compression, tangential, power and other finite scales can be used. It is shown that can be drawn through any three points inside the ball only one sphere , which is orthogonal to the surface of the ball, to the absolute of the ball. Such a sphere is a geodesic surface inside the sphere, and any number of such surfaces can be drawn through a single point. The intersection of at least four geodesic surfaces creates bodies similar to bodies in three-dimensional Euclidean space. As illustrations are given: skeletal diagram of a hyperbolic cube, that is, a cube in three-dimensional space of negative curvature; skeletal diagrams of a tetrahedron, an ordinary sphere and a hyperbolic hypercube - a tesseract.
Решена задача построения эллипса, проходящего через две точки. Решена задача вращения эллипса вокруг его центра на любой угол. Введены понятия диска Римана - симуляции эллиптического двухмерного пространства, и шара Римана - симуляции трёхмерного эллиптического пространства. Введено понятие геодезической поверхности. Разработаны алгоритмы и уравнения для построения геометрических фигур на диске Римана, из отрезков геодезических. Этот же алгоритм позволяет строить аксонометрии трёхмерных тел в эллиптическом пространстве шара Римана. Two-dimensional and three-dimensional elliptic spaces of positive curvature are investigated by the example of a disk (circle) and sphere (ball) of Riemann. The Riemann disk can be called a projection onto the plane of an elliptic two-dimensional space, in this case, a spherical surface. In two-dimensional spaces, geodesics are the shortest lines. Three-dimensional elliptic space of positive curvature presupposes the introduction of a special category of geodesics - geodesic surfaces. A solution is given to the problem of drawing an ellipse through two points on the Riemann disk. An algorithm for constructing a spheroid passing through three points in the ball of Riemann is investigated.