# Метод Аль-Бируни, слон и малые углы

Ok Poloz

## Метод Аль-Бируни, слон и малые углы


* * *


## Информация. Абу Рейхан аль-Бируни


М-да... Колумбу, нашему Христфору, следовало бы учить арабский, тогда бы он знал, куда плывёт и сколько это может продлиться. Ещё за 400 лет до "открытия Америки" персидский(Хорезмийский ?) учёный Аль-Бируни предположил наличие материков на обратной стороне Земли. Вспоминайте Аль-Бируни, когда берёте в руки глобус, - это он создал первую модель Земли, вычислил её радиус и "заложил" основы гелиоцентризма. Он привёл в своём главном труде подробные экспериментальные и математические доказательства всех излагаемых положений гипотезы о движении Земли вокруг Солнца... Гипотезы о гелиоцентрической модели нашей Системы. Через 600 лет Галилео Галилей, опираясь именно на его труды, попробует доказать это западному сообществу и только чудом избежит костра инквизиции...


А теперь немного Истории.


...30 апреля 1030 года. Султан империи Газневидов, которая простиралась от северо-западного Ирана и Хорезма до индийского Пенджаба , великий завоеватель Махмуд Газневи оставил этот бренный мир и на престол вступил его сын... Ма ша Аллах!.. Образованный Масуд I ибн Махмуд Газневи разительно отличался от отца и благоволил учёному, щедро одаривая Аль-Бируни своими милостями, и тот в благодарность посвятил покровителю свой главный труд, в котором даётся описание общей картины мира, и назвал его "Канон Масуда по астрономии и звёздам". Тем самым имя Масуда увековечено в веках (кто бы о нём знал сейчас, если бы не Бируни?). Аль-Бируни говорил о Султане Масуде: "Он дал мне возможность целиком посвятить остаток жизни служению науке, позволив жить под сенью своего могущества..."


## Информация. Слоны


Африканские саванные слоны по праву считаются самыми крупными наземными животными на нашей планете. Взрослый самец может весить до 7 тонн и достигать роста в 4 метра.


Самец африканского лесного слона редко превышает 2,5 метра в высоту. Вес лесного слона составляет около 2,7 тонн.


Индийские(азиатские) слоны по размерам уступают африканским саванным слонам, однако их размеры тоже внушительны - старые особи (самцы) достигают веса в 5,4 тонны при росте 3,5 метра.


*Существуют ещё три разновидности азиатского слона: Шри-ланкийский, Суматранский и Борнейский. Но они редко достигают роста в 2 метра, поэтому гигантами в сравнении с "Африканцами" их назвать не представляется возможным...


## Информация. Малые углы


Хм... В принципе можно было бы мерить все углы в радианах, но на практике широко используется(гораздо чаще) градусное измерение углов, хотя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угловая минута и угловая секунда. Угловая минута - это 1/60 часть градуса; угловая секунда - это 1/60 часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и 16 секундам, то пишут: 129о34′16″.


Представление об угловой минуте дает такой факт: "разрешающая способность" человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой минуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом 1′ или меньше, на глаз воспринимаются как одна.


А что можно сказать о синусе и тангенсе малых углов? Если угол α мал, то длины высоты BC, дуги BD и отрезка BE, перпендикулярного AB, очень близки. Их длины - это sin α, радианная мера α и tg α. Стало быть, для малых углов синус, радианная мера и тангенс приблизительно равны друг другу.


Если α - малый угол, измеренный в радианах, то sin α ≈ α ≈ tg α.


Что с того, зачем эти информационные выкладки?


## Задача... С абстрактным условием


Длина экватора Земли, измеренная по окружности, составляет около 40 тысяч километров. Это знают все... Берём невесомую и нерастяжимую нить и обхватываем этой нитью условно принятый за идеальную окружность экватор.


Вопрос:


Если удлинить эту нить на 4 миллиметра (это, на минуточку, 1/10 000 000 000 часть длины экватора) и вытянуть вверх образовавшуюся "слабину", то пройдёт ли в образовавшийся "домик"-просвет слон?


Вот такая задачка, однако... Ничего не напоминает? Информацию о малых углах, например?


Получается рядовая, такая, задачка из школьного курса по геометрии/тригонометрии, которую сможет... Обязан просто... Решать в "рабочем порядке" ученик какого-то там класса нашей российской средней школы. Справедливости ради стоит отметить, что есть некоторые сложности с вычислением тригонометрических функций из-за того, что угол α неизвестен. Но ведь 1000 лет назад Аль-Бируни тоже не пользовался он-лайн калькулятором в своих вычислениях радиуса Земли!


Ну что же, давайте разбираться...


## Информация. Радиус Земли


М-да, не совсем "элипсоид"...


Истинная форма Земли на уровне точности в сотни метров уже не может быть представлена ни одной из математических фигур, и для её представления применяется понятие геоида. Геоид - условная поверхность равного потенциала (поверхность равновесия), совпадающая с поверхностью свободно покоящейся воды в открытом океане. Отклонения геоида от эллипсоида как правило не превышают 100 метров. Тем не менее, при условном представлении отклонений реальной формы Земли от аналитической фигуры, эти отклонения напоминают по форме грушу, - "шишка" на северном полюсе и "провал" в Антарктиде. Сложно? Да, сложно, но в наше время это особых проблем не вызывает.


С помощью современных методов определения координат, в том числе и высоты над уровнем моря (спутниковые навигационные системы, радиоинтерферометрические измерения и т. д.) реальная поверхность Земли описывается огромным массивом данных, при этом положение любого репера в трехмерном пространстве может быть определено с точностью до сантиметра и эту информацию можно использовать для расчета радиуса Земли в любой точке земного шара.


Но так было не всегда...


## Древнейшие определения размеров земли. Исторические факты*


*Интерпретация исторических фактов в данной главе (равно как и в последующих) может не соответствовать общепринятому научному мнению.


Ну да, конечно, первый... Эратосфен Киренский (276-194 гг. до н. э.) - величайший ум античности... Скафис и гномон для вычисления длины окружности Земли, Армиллярная сфера, угол наклона Эклиптики в 23,5о и тропики, - северный и южный... Однако существуют "НО"...


...О, Гермес Трисмегист, троекратно великий учитель,

Бог наук и искусств и души роковой искуситель!

Ты мне передал власть возрождать то, что сердце забыло!

(К. Бальмонт "К Гермесу Трисмегисту")


Одной из наиболее сложных и малоисследованных проблем истории астрономии и геодезии является установление происхождения и точности результатов древнейших определений размеров Земли. Самым древним (из сохранившихся источников), в котором приводится результат определения размеров Земли, является труд древнегреческого учёного Аристотеля (384-322 гг. до н. э.) "О небе". Вот что он пишет:


...Математики, пытающиеся вычислить длину земной окружности, называют цифру около 400 000 стадиев...


*Аристотель довольно беззаботно берёт эту цифру у "математиков", не объясняя, каким образом она была выведена. Скорее всего, Аристотель и не знал, как был получен этот результат, потому как получились явно завышенные результаты даже для древних греков: если исходить из стадия "от Эратосфена" в 157,7 метров (самый короткий стадий из "древнегреческих" - у Ксенофонта (430-356гг. до н. э.), - 150 м), то окружность в 400 000 стадиев будет равна 63 000 км (вместо двойной длины меридиана в 40 009 км).


Вернёмся к Эратосфену, к нашему, Киренскому... Античные учёные, сообщая о третьем(!) по счёту результате определения в III в. до н. э. длины окружности Земли в 250 000 стадиев, однако не забыли отметить, что он получен Эратосфеном, причём имена авторов более ранних определений умалчивают!


*Очевидно потому, что эти вычисления были выполнены не греческими, а восточными (скажем так), - египетскими, или же вавилонскими учёными. Традиция принижения заслуг египетских и вавилонских учёных в развитии научных знаний уходит в далёкое прошлое. Так, например, один из античных авторов Страбон (64/63гг. до н. э. - 23/24гг. н. э.)созданную древнеегипетскими учёными Гелиопольскую астрономическую обсерваторию близ Каира, без всяких оснований называет "Евдоксовой". Однако известно, что эта обсерватория, в которой Евдокс Книдский (408-355 гг. до н. э.)всего лишь "обучался астрономии" и "определял движения некоторых светил", была создана древнеегипетскими учёными.


"Второй по времени" результат определения длины окружности Земли приведён в трудах Архимеда (287-212 гг. до н. э.):


...некоторые пытались доказать, что она составляет приблизительно 300 000 стадиев...


*Это сообщение вызывает самые различные предположения относительно источника (снова неизвестного!), которым воспользовался Архимед. Несомненно, что это не мог быть результат, принадлежавший Эратосфену (250 000 стадиев). Вероятнее всего Архимед использовал тот же источник информации, что и Аристотель, выразив полученный восточными учёными результат в 9 000 фарсахов (фарсах, он же фарсанх, он же парасанг) в другой метрологической системе. Соотношение между фарсахом и греческим стадием в древности в наше время известно, - 1:331/3. Кстати, у Аристотеля длина окружности Земли в фарсахах составляет 12 000. Остаётся только добавить, что "древневосточная" мера длины - фарсах составляет 12 000 локтей... Сколько там было, в этом "локте" сантиметров, 50 или меньше - не столь важно, важно число 12 000... Сложности перевода, однако?!


Кто там ещё остался из древнейших греков (из тех, кто "постоянно на слуху")? Пифагор?


Согласно представлениям современных исследователей античности, Пифагор (570-490 гг. до н. э.) не написал ни единого сочинения. Информация о жизни и учении Пифагора основана на сведениях из написанных через столетия(!) после его смерти источников...


## Египет или Вавилон, - но точно, не греки!


*К идее шарообразности Земли египтяне пришли значительно раньше греков. Так, в Лейденском демотическом папирусе Богиня Солнца говорит:


...Смотри, Земля передо мной, как коробка, - это значит, что земли бога передо мною, как круглый мяч...


Хм... Если египтяне знали о том, что Земля имеет шарообразную форму, то при достаточно высоком уровне развития у них астрономии и геометрии, они могли (как впоследствии и греки) придти к определению её размеров. В древнеегипетских текстах действительно утверждается, что Тот (Гермес) - "Бог, измеривший эту Землю".


Понятие "полуденной линии" (меридиана) было известно жрецам, закрепившим на местности углы пирамиды Хеопса. Проверка высокоточными геодезическими методами показала, что истинный азимут западной стороны пирамиды Хеопса составляет в настоящее время 359о57′30″. Приблизительно с такой же точностью ориентированы и другие египетские пирамиды.


Известно, что к 747 г. до н. э. относится начало так называемой "Эры Набонассара", в течение которой в Вавилоне велись весьма интенсивные астрономические наблюдения. Вопрос о сферичности самой Земли также занимал умы вавилонских астрономов (в отличие от вавилонской науки, вавилонская мифология представляла Землю в виде округлой, ступенчатой горы, погруженной в океан и накрытой сверху твёрдым небесным сводом, похожим на полукруглую, опрокинутую вверх дном чашку) и, более того, они считали, что человек, шагающий без остановки со скоростью 30 стадиев в час (5км/ч) может обойти шарообразную Землю за год. Таким образом получается, что по их мнению периметр Земли равен 365"24"5=43 800 км. М-да... Греческие учёные очень высоко оценили результаты астрономических наблюдений вавилонских и египетских жрецов (и не только наблюдений, надо понимать). Так, например, Гипсикл (III в. до н, э.), Гиппарх (II в. до н. э.) и другие греческие астрономы широко пользовались результатами, полученными вавилонскими и египетскими жрецами. По существу без всяких поправок...


## Мнение скептика. Скафис Эратосфена


Седьмой год правления царя Верхнего и Нижнего Египта Птолемея III Эвергета, второй день месяца Упет-Ренпет.

В этот день ближе к полудню на площади перед Александрийской Библиотекой царила необычная для этого места суета. Восемь "хемуу" в набедренных повязках принесли на двух шестах что-то очень тяжелое, завёрнутое в грубую льняную ткань, отвязали верёвки от шестов для переноски, сдёрнули ткань с чего-то полукруглого на трёх ножках и отступили шагов на пять, ожидая дальнейших указаний. Высокий мужчина с начинающей седеть курчавой бородой в белоснежной тунике с греческим орнаментом по краю подошёл к каменной чаше, осмотрел её со всех сторон, заглянул внутрь и довольно улыбнулся.

В самой нижней точке чаши находилось сквозное отверстие, закрытое пробкой. Мужчина выдернул её и подозвал одного из двух своих "шемсу" с набором инструментов. Выбрал шаблон причудливой формы в виде половины колеса со спицами, вставил шипом на середине полуокружности шаблона в отверстие и проверил плотность прилегания внутренней поверхности каменной полусферы к шаблону, удовлетворённо кивнул и отдал короткое указание своему молодому помощнику-"шемсу". Сам же вернулся к своему второму, пожилому помощнику, который к тому времени расстелил коврик, установил стульчик и теперь усердно обметал всё это метёлкой-кисточкой. Мужчина в тоге скинул сандалии, сразу услужливо подобранные пожилым "шемсу", уселся на стульчик и блаженно вытянул ноги...

...Вскоре рабы-"хемуу" под руководством молодого "шемсу" до краев заполнили водой скафис, установленный в центре освещенной солнцем площади. Отрегулировали наклон чаши толщиной подкладок под опорами - по урезу воды плоскость полусферы привели в строго горизонтальное положение и выдернули пробку на дне чаши. Строго по направлению радиуса полусферы закрепили в отверстии шпиль. Молодой "шемсу" проверил циркулем-измерителем вертикальность шпиля, проверил с помощью шнура и его высоту (чтобы не выступал за края чаши) и, ожидая следующих указаний, подошёл к Эратосфену. Эратосфен... Именно такое имя носил мужчина с седеющей курчавой бородой, - Эратосфен Киренский, глава Александрийской библиотеки, учитель-наставник детей царя обеих земель Египта царя Птолемея III...


Седьмой год правления царя Верхнего и Нижнего Египта Птолемея III Эвергета, второй день месяца Упет-Ренпет - это 19 июня 240 г. до н. э.. В этот день Эратосфен провёл наблюдения, результаты которых позволили ему определить размеры Земли. Для наблюдений Эратосфен использовал скафис - солнечные часы в виде полусферы на трех опорах. Отмечая краской точки края тени, которые отбрасывал шпиль-гномон на внутреннюю поверхность полусферы через равные промежутки времени, Эратосфен определил самую короткую дугу-тень. С помощью циркуля-измерителя отрезок тени откладывался на большой окружности скафиса...


*Сама по себе идея до гениальности проста и изящна... Чего ж проще, посчитать количество малых дуг и умножить на соответствующее малой дуге скафиса расстояние на Земле. Гениальность древнего грека просто "зашкаливает", - всё так. Однако, как уже выше отмечалось, существуют "НО"...


Для "успешности" данного эксперимента и точности последующих вычислений требуется соблюдение немаловажных условий, - предпосылок (скажем так) теоретического характера и технических возможностей, обеспечивающих эту самую точность. В противном случае изумительная точность определения Эратосфеном размеров Земли, которой восторгаются современные исследователи античности, выглядит как удачное стечение обстоятельств (взаимной компенсацией ошибок, допущенных при измерениях и вычислениях)... Или того хуже, - подгонкой под заранее известный результат. Ну, не представляется возможности восхищаться банальной подгонкой, как гениально она бы не выглядела!


С теоретической составляющей у Эратосфена всё было на достаточно высоком уровне. Усовершенствованные ещё в VI веке до н. э. Милетским мудрецом Анаксимандром (611 - 546 гг. до н. э.) вавилонские солнечные часы, простейшая Армилярная сфера с наклонной осью вращения и наличием на ней обручей-тропиков (авторство сей конструкции весьма часто приписывают учителю Анаксимандра - Фалесу (635-548 гг. до н. э.) из Милета же) и вполне известное, как уже отмечалось выше, в то время понятие меридиана ("полуденной линии").


О том, что Земля круглая, а солнце весьма большое, но оч-чень далеко, было известно ещё вавилонским жрецам-халдеям (читай - и Эратосфену также). В способности Эратосфена повторить опыт Фалеса по определению высоты египетской пирамиды, осмыслить и применить на практике для своей цели известную нам ещё со школьной скамьи знаменитую теорему сомневаться не приходится...


М-да... А вот неточности "технического плана" и другие факты некорректности наблюдений/вычислений Эратосфена при определении двойной длины меридиана Земли хорошо известны:


- Сиены и Александрия НЕ находятся на одном меридиане, т.е. одинаковой Долготе (разница более, чем в 2о). Хм, и ещё... "Славный" город Сиены... Сейчас это место называется Асуан, а древние египтяне именовали город Сунну. Расположен он у первого катаракта реки Нил, на правом берегу, рядом с островом Элефантина. Греческие сведения о летнем солнцестоянии в Сиенах, скорее всего основывались на египетских источниках. И да, Полюс Мира стоит в тех местах под углом 24о07′ к горизонту, а северный тропик в те времена был на широте 23о44′22″ Северной Широты, т.е. на 42 км южнее. Древние греки НЕ знали о перемещении тропиков за счет изменения наклонения экватора к эклиптике. В наше время тропик двигается к экватору - к югу, и на острове Элефантина он был очень давно - в 3317 г. до н.э., в "легендарные времена" архаического периода истории Древнего Египта.


- Некоторое время позже Эратосфен прибавляет к 250000 стадиям еще 2000, скорее всего, с целью добиться делимости числа на 360. Либо из-за неистребимой тяги древних греков к числам с нулями (1/360 часть окружности в этом случае получается равной 700 стадиев), либо (что по существу то же самое) чтобы привести в соответствие с вавилонской системой деления круга. И есть ещё версия: малая дуга отложилась на большой окружности скафиса 50 раз и... ещё чуть-чуть...


- Число 5000 стадиев... Целое, такое, понимаете ли, число в 5000 стадиев... Сейчас километр, - он и "в Африке" километр. А тогда системы СИ не было, и греки измеряли расстояние Стадиями. Стадий греческий, 178 метров - расстояние в 600 ступней Геракла ("нормальная" такая ступня 45-го размера)... Но были и другие стадии, длиной от 150 до 200 метров. Часто приходится гадать, каким стадием пользовался тот или иной мудрец. Поэтому, когда мы переводим результаты Эратосфена в привычные нам километры, то, конечно, рискуем ошибиться.


## Аль-Бируни. Метод понижения горизонта


...827 год. Багдадский халиф Аль-Мамун приказал своим придворным астрономам начать работы по определению размеров земного шара. Они имели целью уточнить размеры Земли, найденные Эратосфеном, так как оказалось неизвестным соотношение между древнегреческими и арабскими единицами длины. В работах, проводившихся с обстоятельностью и размахом, свойственными багдадскому двору, участвовали две группы учёных. После долгих поисков подходящей местности выбор пал на плоскую равнину Джебель Синджар в междуречье Тигра и Евфрата. Линейная длина дуги меридиана измерялась исключительно трудоёмким, но точным способом - с помощью колышков и мерной верёвки. Угловая величина измеренной таким образом дуги была установлена до этого наблюдением меридианных высот звёзд. В результате была непосредственно измерена длина дуги 1о земного меридиана.


В одной из двух групп астрономов при определении длины 1о дуги земного меридиана на равнине Синджар принимал участие багдадский астроном и математик Санад ибн Али аль-Яхуди. За своё деятельное участие в работах перешедший в ислам иудей был назначен руководителем построенной двумя годами позже обсерватории в квартале Шаммасия при багдадском "Доме мудрости". Именно Санад ибн Али аль-Яхуди предложил принципиально новый способ вычисления размеров Земли, при котором с высокой горы, возвышающейся над морем, определяется понижение горизонта по отношению к горизонтали. Наблюдатель должен находиться на вершине горы. Высота горы над поверхностью Земли (высота точки наблюдения) h. Наблюдателем непосредственно из точки наблюдения инструментально измеряется угол между горизонтальной плоскостью и направлением на наиболее далёкую видимую точку горизонта α... В результате получается следующая формула, по которой можно найти радиус Земли R:


R=(R+h)"cos α


Разумеется, для чистоты эксперимента требуется, чтобы видимый горизонт был бы максимально ровным/открытым (то есть, лучше всего для подобных измерений подходит какая-нибудь гора, с которой открывается вид на море/океан).


Этот способ/метод Аль-Бируни и "привёл в исполнение". Известно, что измеренный аль-Бируни "угол наклона соединения Неба и Земли" (то есть угол α) составил 34′, а высота горы, с которой Аль-Бируни проводил свои измерения, рассчитывалась при помощи тригонометрических/триангуляционных методов (даже если склоны горы пологие и точно измерить расстояние от точки наблюдения до проекции вершины горы на земную поверхность нельзя, высоту горы всё же можно вычислить, необходимо только произвести ряд наблюдений с равнины, находящейся на небольшом удалении от горы):


...Я нашёл в земле индийцев гору, возвышающуюся над широкой равниной, поверхность которой гладка, как поверхность моря. Я искал на вершине горы видимое место встречи неба и земли, то есть круг горизонта, и обнаружил его в инструменте ниже линии восток - запад менее чем на треть и четверть градуса, это тридцать четыре минуты. Затем я определил высоту горы, установив высоту гребня в двух местах, которые вместе с основанием горы лежат на одной прямой линии, и нашёл, что она равна шестистам пятидесяти двум локтям и половине одной десятой локтя...


*Метод понижения горизонта, получивший имя Аль-Бируни (как первого, его применившего), прост и понятен и позволяет избежать ошибок, связанных с измерениями угловой величины "светила", несовпадением географической долготы точек наблюдения и, самое главное, - с неточностью в измерении длины дуги, соответствующей тем самым неточно измеренным градусам... Но возникают другие сложности: вычисление косинуса малого угла, неоднородность оптических свойств атмосферы в зависимости от высоты, преломление солнечного света (атмосферная рефракция). В результате опять приходится НЕ восхищаться точностью определения, а говорить о возможной версии с подгонкой "под заранее известный результат". Например, об использовании Абу Рейханом результатов геодезических партий Аль-Мамуна в Джебель Синджар, а теми, в свою очередь, - малоизвестных результатов Тадморских измерений, выполненных на рубеже I в. до н. э. - I в. н. э....


## Заключительная глава. "Считаем слонов"


М-да... Неточности и "системные ошибки"... НЕ внимание к "мелочам" (скажем так) могут привести совсем к противоположному результату. Рассмотрим это на примере изложенной выше задачи. Думается, Аль-Бируни подобной "чепухой" заниматься не стал бы, но всё-таки...


На главный вопрос задачи: "пройдёт/не пройдёт" можно ответить. Можно... Если посчитать необходимое удлинение для "конкретного" слона.


Принимаем:


Радиус Земли: 6,4"103 км, или 6,4"106 м;


Высота слона: 3,2 м;


Угол α нам не известен, поэтому длину дуги принимаем как среднеарифметическое между R"tg α и R"sin α


Но R"tg α = (R+h)"sin α


Тогда половина "искомого удлинения":


a/2 = (h"sin α )/2


А теперь самое интересное. Используя теорему Пифагора, записанную тригонометрическими символами, и принимая, что высота h слона в итоговой формуле (подкоренная часть) практически не влияет на результат (что не верно!), получаем следующую формулу:


Считается легко: a = 3,2 мм


Возможно 1000 лет назад такой ответ считался бы удовлетворительным, но при наличии такого сервиса 21-го века, как он-лайн калькулятор, задачка решается проще и быстрее. А самое главное, - точнее...


Экваториальный радиус Земли: 6378,1366 км, или 6378136,6 м


Прибавляем 3,2 метра: 6378139,8 м


cos α = 0,99999949828


arccos(0,99999949828) = 0.05739424605 градусов, или 0о3′27″, или 0,00100171856 радиан


tg α = tg (0,00100171856) = 0,00100171889


tg α - α (рад) = 0,001 001 718 89 - 0,00100171856 = 3,3 " 10−10


Половина "искомого удлинения":


a/2 = R " (tg α - α) = 0,00000000033 " 6378136,6 = 0,002104785078 м


Искомое удлинение:


a = 42095701,56 " 10−10 м, или 4,2 мм


Думается, Аль-Бируни (или всякие, там, разные Эратосфены), зная второй результат, первый уж как-нибудь "подогнали" бы...


И напоследок... "Посчитаем" такого вот слона, 6,4 метра "в холке"...


По первому варианту:


a = 6,4 " √2 = 9 мм


По второму:


cos α = 0,99999899657


arccos(0,99999899657) = 0,00141663698 радиан


tg α = 0,00141663792


a = 0,0119908968 м, или 12 мм


* * * * *