Определение. Любое преобразование объекта в ранговом пространстве относительно какого-то наблюдателя называется ранговой операцией.
Можно дать другое определение. Операции, изменяющие область рассмотрения объектов, называются ранговыми.
Все ранговые операции сводятся к трём видам:
1. рангование - факторизация,
2. релдикулярность - полнота,
3. переходы L: - G: или G: - L: ранговые, реловые и релдикулярные.
Кроме указанных операций, связанных с самой спецификой рангов, имеют место и "обычные" теоретико-множественные операции с рангами и состояниями (сумма, разность, пересечение рангов и т.д.). Поскольку операции изменяют исходную область рассмотрения, то результат этих операция является рангом по отношению к исходным объектам относительно наблюдателя. Все ранговые операции называются так потому, что действуют они только в ранговом пространстве - в пространствах относительности соответствующих наблюдателей.
Замечание. Ранговая операция есть таковая только относительно одного и того же наблюдателя.
Любая ранговая операция как результат есть объект, и, как и всякий объект в ранговом формализме, этот результат рассматривается с двух разных позиций - в локале и в глобале. Так, например, сумма двух рангов в локале есть "внутренняя" сумма рангов. Очевидно, что такая сумма основывается на принципе общности. И в результате получается ранг, который является суммой двух рангов "внутреннее". Внешняя же сумма двух рангов - это сумма, не основывающаяся на принципе общности. То же самое относится и к любым ранговым операциям в рамках рангового формализма.
Ранг операций
Поскольку ранговые операции сами являются объектами, то к ним можно отнести всё, что можно применить к объектам в рамках ранговой теории. Каждая операция рассматривается в рамках соответствующего "микроскопа", далее, каждая операция представляет собой ранг, у которого имеют место свои состояния, имеющие ту или иную сигнатуру бытия. Далее, любая ранговая операция имеет релдикулярного "двойника" в рамках соответствующего релдикулярного ранга.
В зависимости от сигнатуры бытия и в зависимости от применяемого "микроскопа", в котором и рассматривается соответствующая операция, одна и та же ранговая операция может относительно наблюдателя рассматриваться по-разному, она будет, например, либо суммой, либо разностью в "микроскопе" "сумма-разность рангов". Все противоположные друг другу операции - релдикулярны, в том числе теоретико-множественные и логические операции.
В следующем пункте увидим, что любое преобразование в ранговом пространстве, сводящееся к ранговой операции, относительно наблюдателя порождает так называемое событие.
Рангование и факторизация. Любая операция, проводящая к возрастанию области рассмотрения - это рангование. Напротив, операция, приводящая к сужению области рассмотрения, есть факторизация. Рангование и факторизация перемещают само присутствие наблюдателя на один уровень выше или ниже, соответственно, на соответствующем фактор-дереве.
Рангование-факторизация - это релдикулярный ранг, его состояниями являются операция рангования, другим состоянием этого ранга является операция факторизации. Что является потенциалом такого релдикулярного ранга?
Представим себе в ранговом пространстве два фактор-дерева: фактор-дерево рангования и фактор-дерево факторизации. Если мысленно соединим оба эти два дерева кронами друг с другом, совместив, таким образом, объекты, которые присутствуют относительно наблюдателя (на каком-то уровне каждого из фактор-деревьев). В этом случае легко видим, что фактор-дерево факторизации и фактор-дерево рангования отличаются друг от друга главным образом направлением "потока" ординалов. Для рангования, например, наблюдатель движется "вверх" этого объединённого фактор-дерева, а для факторизации - движется "вниз". Разумеется, что направления "вверх" - "вниз" условные, их вводим исключительно чтобы подчеркнуть противоположность двух направлений, вдоль которых наблюдателю необходимо двигаться при совершении факторизации или рангования. Потенциалом такого релдикулярного ранга "рангование-факторизация" являются условные направления движения в ранговом пространстве наблюдателя вдоль ординалов по объединённому фактор-дереву.
Мы можем ввести имя для релдикулярного ранга, о котором здесь ведётся речь: "рангофакторизация", тогда, обобщённое фактор-дерево будет являться разложением операции рангофакторизации по ординалам.
"Микроскоп" в таком релдикулярном ранге выполняет роль "настроенности" наблюдателя производить либо рангование, либо факторизацию, но ни то ни другое одновременно. Точность указанного "микроскопа" есть "глубина" рангования или же "глубина" факторизации. В ранговом пространстве на объединённом фактор-дереве такая точность проявляет себя как число уровней в фактор-дереве, на которые наблюдатель смещается при совершении одной из этих двух операций, начиная от некоторого исходного уровня.
Операции рангования и факторизации являются операциями с так называемым ненулевым изменением области рассмотрения, поскольку при ранговании или факторизации происходит изменение (расширение или сужение) области рассмотрения относительно наблюдателя.