а) Этимологический словарь Макса Фасмера Гай. I., род. п. гая "роща", укр., блр. гай, др.-русск. гаи, сербохорв. гаj, род. п.гаjа "лес", словен. gaj, чеш., слвц. haj, польск. gaj, в.-луж. haj, н.-луж. gaj. Скорее всего, связано с гоить "ухаживать, охранять"; ср. нов.-в.-н. Schonung 1. "пощада", 2. "лесной заповедник". Бернекер (ЭС 1, 291 и сл.) предполагает связь с гать, так же Брюкнер (KZ 46, 233), который объясняет слав. *gajь как "место, по которому можно пройти". Родство с нем. Gehege "ограда" невозможно, вопреки Брандту (РФВ 22, 118). Неправдоподобно также толкование Махека (LF 51, 242 и сл.) слав. *gajь "заговор, заклинание" > "место заклинания" и сравнение с др.-инд. gayati "поет", как и попытка Пеобр. (1, 116) отождествить гай 1 и гай 2 на том якобы основании, что небольшие лесочки - излюбленное место грачей. Голуб (57) объясняет гай аналогично, как первонач. "место заклинания" или "место, где кричат птицы". Лит. gojus заимств. из слав.; см. Скарджюс 76. Ср. также загаять. ** (Излишне предположение Менгеса ("Language", 20, 1944, стр. 67) о монгольском происхождении этого слова; см. еще Славский 1, 250. - Т.) ... (???)
б) Словарь русского языка XI-XVII вв., АН СССР, М., 1977; http://etymolog.ruslang.ru/doc/xi-xvii_4.pdf: Гай - роща, небольшой лес, 1665 г.
в) Срезневский, Измаил Иванович (1812-1880). Материалы для словаря древне-русскаго языка по письменным памятникам, с. 267; https://dlib.rsl.ru/viewer/01004012018#?page=267: "Гаи - лес, роща. Село с землею с гай и с дубравами. Жалов. грам. Гал. кн Льва 1301".
Прим. автора статьи. Вероятно в термине "гай" следует понимать долину реки (воду, хорошо орошаемую долину), т.к. земля и дубрава (лес) указаны.
2) Топонимика (данные не полные)
а) Россия
* Гай - деревня, Увинский район Удмуртия. Расположена на берегу (в узкой долине) реки Нылга, окружающие высоты под 200 м., зеркало воды 118 м. Показана на Топографической карте СССР 5 км 1984 г.
* Гай (Бол. Иргиз) - деревня, Большеглушицкий район Самарская обл. Расположена в долине реки Бол. Иргиз, есть небольшие лесные участки посаженные видимо в советское время, на старых картах - безлесная территория. Зафиксирована на Американской топографической карте СССР. Поволжье, Прикамье и Урал 1950 г.
* Гай - ныне урочище, ранее хутора в лощине с болотистым водным потоком, у реки Рожок, Почепский район Брянская обл. Показаны на Карте РККА N-36 (Г) 1 км. Брянская, Калужская и Орловская обл. 1941 г.
* Гай - хутор в Лабинском районе Краснодарского края, продолжение поселка Харьковский, впервые на Военно-топографической пятиверстной карте Кавказского края 1926 г. Топоним Гай появляется на L-37 карте СССР. Краснодар, Ростов-на-Дону, Майкоп, Ставрополь 1985 г.
* Гай (Гаи) - деревня Милославский район Рязанская обл., расположена на берегу реки Дон, пойменный луг. Показана на Карте Менде Рязанской губернии 1850 г. На Топографические карты СССР N-37 (В) 1:100000. Орловская область. Тульская и Липецкая обл. 1989 г.
* Гайва - город, Пермский округ Пермский край, расположена при впадении реки Гайва в реку Кама, речная долина. На ПГМ Пермского уезда Пермской губернии 1790 г. - Тайва, поселение Усть-Тайвин. На Карте Соликамского уезда Пермской губернии 1895 года - Гайва, поселение Усть Гайва. Карта Пермского уезда 1909 года - Гайва, Усть Гайва. Показана на O-40 карты СССР. Пермь. 1984 г., река протекает в долине между высотами под 150-180 м., зеркало воды - 114 м.
* Гайны - деревня Свердловская обл., расположена в лощине (долина) на берегу реки Бисерть. Показана на Карта Стрельбицкого. Восток Европейской части России 1871 г. - Бисерть Гаины. На Карте Пермской губернии 1889 г. Кривощекова - Гайны.
* Гайны - поселок, Гайнский район Пермского края, расположен на берегу реки Кама, сплошные леса. Упоминается в "Писцовые книги И. И. Яхонтова 1579 год". В то время в погосте Гайны было 17 дворов пашенных крестьян и 4 пустых пашни, а также 16 десятин леса пашенного. Показан на карте Стрельбицкого 1871 г. - Гаинское (Гайнское). Первоначально вероятно лощина (впадина) с источником проходящим через центр поселка, здесь старое кладбище.
* Гайгово - деревня, Лодейнопольский район Ленинградская обл. Расположена на выходе из лощины с водным потоком (небольшая долина, впадина) в долине (на берегу) реки Оять. У северной окраины поселения показан холм. Ивр. ГАЙ - долина + ГИВА, ГАВА возвышение, холм, курган. Показана на Топографической карте Санкт-Петербургской губ. Пятиверстка. Шуберт 1834 г.; Карта РККА Карелии 2 км. 1941 г.
* Гайков - ранее деревня, ныне урочище Рельевский район Воронежская обл. Расположена в лощине (ранее овраг) с водным потоком. Показана на Карте РККА M-37 (А) 1 км. Курская, Белгородская, Воронежская и Харьковская обл. 1941 г.; M-37 карты СССР. Воронеж, Курск, Белгород, Харьков, Луганск 1984 г.
* Гайново - деревня, Удомельский район Тверская обл. Расположена на берегу озера Съюча при впадении речки Съюча - низина, впадина. Карта Шуберта 1834 - Гайнева, Карта Менде Тверской губернии 1853 г. - ГайКова. Карта Стрельбицкого 1871 - ГайКова; Карта уездов Тверской губернии 1886 г. - ГайНово.
* Гаево/а - поселок, Алапаевский район Свердловская обл. Расположен на берегу реки Тагил в узкой речной долине, в лощине, между высотами под 150 м., зеркало воды 87 м. Показан на Карте Стрельбицкого. Восток Европейской части России 1871 и издания 1919-1921. Восток. Сплошные леса.
* Гаево - село, Фатежский район Курская область. Расположен в узкой речной долине р. Реут (крупный овраг-балка), между высотами под 218 м., зеркало воды 175 м. Показано на карте Шуберта 1832 г. как Покровское Гаево. На Трехверстовке Орловской области. Военно-топографической карте 1870 г. На Карте РККА N-36 (Г) 1 км. Брянская, Калужская и Орловская обл. 1941 г. - Гаево.
* Гаево - деревня, Жарковский район Тверская обл., расположена между 4 озерами и 2 водными потоками, небольшое сухое пространство, низина. Местность озерно-речная, луга, болотистая и лесная. Показана на карте Шуберта 1832 г.; Карта РККА N-36 (А) 0.5 - 1 км. Смоленская область. Витебская область Беларуси 1941 г.
* Гаево - село, Каслинский район Челябинская область, расположино в низине на берегу озера Куяшыш. Лесная, озерно-болотистая местность. Показано на карте Стрельбицкого 1871 г., на карте Стрельбицкого издания 1921 г. - Гаевское.
* Гаево - деревня, Пустошкинский район Псковская область. Сплошной лес, болота, водный поток, низина. Показана на карте Стрельбицкого 1871 г.
* Александров Гай - село, Александровско-Гайский район Саратовская обл. Безлесная равнина, расположено на берегу (в долине) реки Бол. Узень. Показано на Генеральной карте части России разделенные на губернии 1799 г.; Подробная карта Российской Империи и близлежащих заграничных владений. Столистовая карта 1816 г.
* Зеленый Гай - деревня, Дмитриевский район Курская область, расположена в лесной и болотисной пойме реки Свапа, пойменные луга. Показано на Карта РККА N-36 (Г) 1 км. Брянская, Калужская и Орловская обл. 1941 г, ранее на картах не фиксировалась.
** Зеленый Гай (10) - поселения в Воронежской, Курской (Рыльский р-он), Белгородской, Оренбургской и Брянской (2), Волгоградской, Тамбовской области.
б) Белоруссия и Украина
Гай - 3 деревня в Минской и Могилёвской области. Гай - 11 населенных пунктов: Днепропетровская, Житомирская, Киевская, Ровенская, Сумская, Черкасская, Черновицкая, Черниговская область, осн. XVII-XIX вв.
*Зеленый Гай (Украина) - 59 населенных пунктов в различных областях.
3) Топоним и имя. Национальный корпус русского языка
* Приходо-расходные книги Приказа тайных дел. Книга 1665-1666 гг.: "Тогожь числа. По указу великого государя, подряженъ сокольникъ Гай Ѳедюкинъ поставить в селѣ Измайлове изъ Даниловскихъ сараевъ поставить тритцать тысячь кирпичю жженого по нынешнему по зимнему пути".
* Т. Г. Шевченко. Наймичка (1844): "Так вот на этой-то равнине, между угрюмыми могилами и пестрыми нивами, зеленеет небольшой гай (роща), как бы оазис в пустыне аравийской (красно сказано!)".
* А. С. Уваров. Русская символика (1864-1874): "Во-первых, мы, имеем олицетворения городов Иерихона, Гай и Гаваона. ...Город Гай держит свиток в левой руке и, опираясь на правую руку, с равнодушием смотрит на соглядатаев, посланных Иисусом Навином.
4) Обобщение и выводы
а) Перечисленные населенные пункты (многие не указанны) основаны примерно в XVII-XIX вв., меньшая часть в советский период. Большинство деревень расположены в лесной (массивы леса), болотисто-речной и озерной местности - мало общего с термином "роща", когда за околицой лес. В поймах или на берегах (в долинах) крупных, средних и малых рек, меньшая часть в балках (долина с задернованными склонами), лощинах (долина с пологими склонами) у оврагов (лощина с крутыми склонами) с водными потоками. Для уменьшения размыва склонов (почвы) балок-оврагов талыми и дождевыми водами, склоны задерновывали, обсаживали кустарником и деревьями, со временем вырастали малые лесные насаждения - рощи. Наверно нет ни одного населенного пункта, где бы не было искусственно высаженных лесополос или рощ с целью предотвращения эрозии земли - вторичное явление в жизни уже названного поселения.
б) Масса фактов указывают на положение поселения у водного потока, в долине речушки, речки, реки; по берегам рек были лесные участки, рощи, возникшие естественным путем или высаженные с целью укрепления русла реки, предохранение от заболачивания.
* Основное значение (смысл) топонима ГАЙ (и подобных) = долина реки, или просто долина (где есть водные потоки): балка, лощина, крупный овраг; обычное местонахождение поселений на местности. Отметим, что любое поселение зависит от источника воды, есть вода - в поселении возможна жизнедеятельность; вплоть до новейшего времени (до строительства дорог и ж/д траспорта) транспортные пути - реки или по натоптанным тропам вдоль рек.
Вывод
Гай, в значении "роща, небольшой лес" - вторичное явление, обустроенность уже созданного поселения, или местный, не главный ориентир.
Литературный (малороссийский) образ " гая" = "роща", закрепленный в Словаре Академии Российской 1789 г. (с. 16) и повторенный лингвистами XIX-XX вв., вытеснил главное значение значение - топонима "долина реки".
Содержание топонима (многочисленные примеры мы привели) не соответствует природной действительности - "роще" (не говоря уже о "крике галок") - вторичное, не главное явление.
Целесообразно рассмотреть топонимы Гай, Гаево и подобные в связи с библейскими образами и терминологией. Если в библейском лексиконе мы найдем термин ГАЙ имеющий содержание (смысл) ДОЛИНА, то наше предположение превратся в научный факт.
4) Терминология иврита и библейский образ
а) Википедия/Долина (впадина рельефа)
Долина (речная) - отрицательная, линейно-вытянутая форма рельефа с однообразным падением. Образуется обычно в результате эрозионной деятельности текучей воды. Речная вода, смывая берега и подошву, образует речную долину. ... Малыми формами речных долин являются промоины, балки, овраги, создаваемые непостоянными (периодическими) водотоками. ...
Поймы равнинных рек служат хорошими сенокосными угодьями; в безопасных от эрозии местах распахиваются, террасы также используются под посев всевозможных сельскохозяйственных культур, часто служат местом расположения населённых пунктов; склоны долин нередко бывают покрыты лесом.
б) Терминология
русск. ГАЙ = ивр. ГАЙ גַּיְא долина, крутая долина, узкое ущелье (долина реки), низменность.
Источник
* Лексикон по Стронгу и Дворецкому. Hомер Стронга: H1516. Оригинал: גַּיְא. Произношение: гай′ гай. Часть речи: Существительное. Этимология: вероятно от the same корень as H1466 (abbreviated) - долина.
* См. стронг иврита 1516 ГАЙ; http://lexiconcordance.com/hebrew/1516.html
* Штейнберг О.М. Еврейский и халдейский этимологический словарь к книгам Ветхого Завета, Вильно, 1878 г., с. 87.
б) Библейский образ
* 1 Паралипоменон 4:39: "Они доходили до Герары и до восточной стороны долины (ивр. ГАЙ), чтобы найти пастбища для стад своих".
* Неемия 2:13: "И проехал я ночью через ворота Долины (ивр. ГАЙ) перед источником Драконовым к воротам Навозным, и осмотрел я стены Иерусалима разрушенные и его ворота, сожженные огнем".
* Исаия 40:4: "всякий дол (ивр. ГАЙ, долина, ложбина) да наполнится, и всякая гора и холм да понизятся, кривизны выпрямятся и неровные пути сделаются гладкими".
* Захария 14:5: "И вы побежите в долину (ивр. ГАЙ) гор Моих, ибо долина (ГАЙ) гор будет простираться до Асила; и вы побежите, как бежали от землетрясения во дни Озии, царя Иудейского; и придет Господь Бог мой и все святые с Ним".
в) Библейская топонимика
Гай, גיא - местность, до которой израильтяне преследовали филистимлян после гибели Голиафа от руки Давида (I Сам., 17, 52).
Таким образом, в ходе присоединения "украинных" территорий говорящих на малороссийском диалекте русского языка (XVI- XVII вв.), главное библейское содержание термина "долина реки", претерпело изменение, получило второе значение - "роща, небольшой лес". Действительно, в долинах рек растут небольшие участки леса или рощи. Связь термина ГАЙ с содержанием "роща, лесок" было закреплена в Словаре Академии Российской 1789 г., затем продублирована в работах исследователей XIX-XX века, стала общепризнаной.