Так настигнет ли, в конце концов, Ахиллес черепаху?
Мне встретилась заметка в Интернете об одном из парадоксов Зенона. Вот она:
Недавно мой папа попросил меня решить задачу, в условии которой было сказано, что Ахиллес бежит со скоростью в 10 раз быстрее чем черепаха и изначально находится на расстоянии 1000 шагов от нее. Вопрос заключался в том, сможет ли быстрый Ахиллес когда-нибудь догнать медлительную черепаху. Я не особо задумываясь ответил "да", не понимая в чем подвох, но оказывается ответ был "нет", и вот почему: Когда Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха проползет в 10 раз меньше, то есть 100 шагов. Расстояние между Ахиллесом и черепахой будет 100 шагов. Тогда Ахиллес пробежит 100 шагов, а черепаха проползет 10 шагов. После этого между Ахиллесом и черепахой будет расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес пройдет 10 шагов, черепаха проползет 1 шаг Когда Ахиллес пройдет 1 шаг, черепаха проползет еще 0,1 шага и все равно будет дальше него. Так можно продолжать до бесконечности, но Ахиллес никогда не догонит черепаху. Порывшись в интернете я узнал, что это парадокс Зенона, в котором наблюдается бесконечная делимость расстояния и времени. Мне этот парадокс показался очень интересным и я решил поделиться с вами.
Прочитав ее, я невольно подумал: "А будет ли этот парадокс выполняться в Элсландии?"
Парадокс же заключается в том, что в действительности быстрый бегун, даже не будучи самым быстрым бегуном, и даже идя обычным человеческим шагом, а не бегом, всегда догонит и обгонит медленную черепаху, но тем не менее - этот ответ считается неправильным! Почему так?
Все дело в двух абстрактных понятиях - "бесконечность" и "непрерывность". Мы сейчас подробно рассмотрим эти понятия, а читатели, которым это покажется неинтересным, могут просто посмотреть ответ для Элсландии в конце статьи.
Разберемся сначала, что означают эти понятия в отношении к пространству. Мы знаем, что для того, чтобы описать передвижения предметов в пространстве, нужны координатные оси с метками, с помощью которых мы определяем положение предмета в пространстве. Если координаты предмета меняются со временем, то предмет перемещается в пространстве. Для простоты, рассмотрим всего одну координатную ось. Метки на этой оси есть обычные вещественные (другое название - действительные) числа. Среди них есть число 0 (нуль), которое отмечает как бы "середину" этой оси, влево от нуля числа отрицательные и уходят нарастая по абсолютной (то есть без учета знака) величине в минус-бесконечность, справа от нуля положительные числа нарастая по величине уходят в плюс-бесконечность. Бесконечность же означает, что какое бы не большое число справа от нуля мы не взяли, за ним существуют еще более большие числа. Аналогично и для минус-бесконечности. И первое, на что мы обратим внимание, что бесконечность - НЕ ЧИСЛО, и на числовой оси ее нет - это абстрактное (то есть -придуманное, вот кто-то взял и придумал) свойство оси, которое означает, что нет максимального и минимального чисел на оси. НЕТ И ВСЕ ТУТ.
Но что означает бесконечность для компьютера? Что, если дать ему задание найти максимальное число на оси? Мы знаем, что будет - компьютер зациклится, или по другому сказать - зависнет, и чтобы вывести его из этого состояния придется или выдернуть и снова подсоединить шнур питания, если компьютер питается от сети, или снять и снова поставить на место аккумулятор, если это ноутбук, и перезагрузить компьютер. Поэтому для компьютера - бесконечность означает СМЕРТЬ, потому что он впадает в "предсмертную кому". Читатель может спросить - а зачем давать компьютеру такие задания, вводящие его в кому? Дело в том, что в явном виде задание может не содержать признаков бесконечного вычисления, но в ходе решения задачи оно может возникнуть. Если запрограммировать поиск решения задачи об Ахиллесе так, как рассказал ученик в приведенной заметке, то компьютер зациклится, если он будет искать решение в вещественных числах.
Теперь о непрерывности. Непрерывность для вещественной оси означает, что между двумя сколь угодно близкими точками на оси можно вставить "бесконечное число" (на самом деле, слово "бесконечное" не означает число, как мы видели) вещественных чисел. Просто между двумя вещественными числами можно вставить два промежуточных числа, между двумя вставленными можно вставить еще два промежуточных числа, между вновь вставленными вставить еще два числа - и так "до" бесконечности... Это как раз то самое свойство числовой оси, из-за которого Ахиллес не может догнать черепаху.
Непрерывность - это тоже вид бесконечности. В отличие от бесконечностей на концах оси, которые мы можем условно назвать "продольными", непрерывность есть что-то вроде "поперечной" бесконечности. Но какая бы ни была бесконечность, продольная, поперечная или еще какая-нибудь - для компьютера она все равно смерть!
Вдумайтесь, читатель, ведь для измерения длин в жизни мы пользуемся линейками, на которые мы наносим образ числовой оси, для которой между двумя любыми мелкими делениями, между делениями с расстоянием в 1 миллиметр, между делениями в 1 микрон, между делениями в 1 ангстрем - можно вставить бесконечное число еще более мелких делений! Что же эта за линейка такая, можно сказать - "бесконечно неопределенная"?
Конечно, читатель может возразить, что в жизни мы пользуемся, так сказать, "приближенными" линейками, в которых бесконечное деление отбрасывается на каком-то значении. Например, миллиметровая линейка - на ней нет делений меньше миллиметра.
О приближениях мы поговорим чуть позже. Пока же мы скажем, что в Элсландии, в мире одних только компьютеров, не может быть понятий "бесконечность" и "непрерывность". Их там и нет. Числовая ось в Элсландии состоит из натуральных (целых и положительных) чисел. Единицей измерения на этой натуральной оси служит наименьшее возможное расстояние в физике - "планковская длина", так что "самая левая" координата на этой оси в этих единицах есть 1 (единица). Есть и "самая правая" координата, она выражается очень большим, но конечным числом. Все координаты на числовой оси пронумерованы, и между двумя соседними по номеру координатами нельзя вставить ни одного числа. Таким образом, числовая ось в Элсландии строго определена. Вместо понятий бесконечно малая, или бесконечно большая величина (которые, не забываем, "не есть числа") используются очень малые и очень большие числа, которые есть "не понятия, а конечные числа". Вместо "непрерывности" в Элсландии работает "дискретность", то есть, можно сказать, "прерывность в каждой точке", если говорить языком непрерывной математики. В Элсландии же, числа следующие друг за другом в порядке нумерации не образуют разрывов.
Вот на такой дискретной оси черепаха никак не может убежать от человека, поскольку здесь невозможно бесконечно дробить ось, ее можно дробить только до наименьшей длины - "планковской длины". Любознательный читатель может найти эту длину, выраженную в сантиметрах, в интернете.
Ну, ладно, скажет читатель увлекающийся физикой, парадоксов Зенона в таком дискретном пространстве и дискретном времени не будет, а как же наука - "коту под хвост"? Ведь вся физика держится на "Анализе бесконечно малых"?
Вот это действительно парадокс! Наука - вещь точная, на ее основе развивается техника, достижения которой всем очевидны, так что "против науки не попрешь!" Давайте разберемся и с этим парадоксом. О дискретном времени мы поговорим чуть попозже.
Итак, еще где-то в 450 году до нашей эры Зенон заразил человечество своими парадоксами, основанными на понятиях бесконечного деления и непрерывности. Все, что было в те ранние времена едва ли еще можно назвать наукой, но вот уже примерно сто лет назад понятия о "бесконечно малых" и "непрерывности" превратились в научные рельсы, по которым и покатилась наука и докатилась до наших дней. После представления законов природы в форме законов Ньютона, были разработаны представления о законах природы в форме Лагранжа, в форме Гамильтона, в форме с использованием скобки Пуассона - этажи здания науки, выросшие на представлениях о бесконечно малых и непрерывности, превратились в фундаментальное строение, выражающее одно из высших достижений абстрактной человеческой мысли. И эта наука дала толчок развитию технологий.
Но как технически использовались научные знания? Зачастую точные формулы не позволяли вычислить необходимые параметры и повсеместно использовались методы приближенных вычислений, согласно которым точные формулы заменялись их разложениями в ряды и отбрасыванием членов второго и высших порядков малости. Полученные приближенные модели проверялись опытным путем и если они соответствовали опыту, они принимались и использовались в технологиях, если нет - то выбрасывались и искались другие приближения. Поэтому нужно много раз подумать, прежде чем утверждать, что "теория бесконечно малых" явилась основой технических знаний. Скорее всего, она являлась своего рода "толкателем", а к непосредственным успехам в технологиях приводил испытанный способ "проб и ошибок".
Такое развитие событий поддерживало авторитет классической физики, которая определилась в конце концов в Классическую механику и Классическую электродинамику. Тут подлил масла в "огонь непрерывности" Альберт Эйнштейн и создал теорию тяготения - Общую теорию относительности, которая тоже стояла на рельсах непрерывности и тоже стала относиться к классике. Но в середине прошлого столетия объявились два совершенно новых фактора - появилась квантовая физика и появились компьютеры.
Квантовая физика вынуждена была признать, что не все в природе непрерывно. В частности вещество является дискретным, а не непрерывным, как считалось в классической физике. Но при описании квантовых законов физики как могли "протаскивали" понятие непрерывности к пространству и времени. Конфликт между непрерывностью и дискретностью вырос в признание нелогичности того факта, что две наиболее точно предсказывающие поведение законов природы области знаний - квантовая физика и теория гравитации (общая теория относительности) - принципиально несовместимы из-за того, что одна - дискретна, а другая - непрерывна.
С другой стороны, развитие компьютерных технологий обеспечило более быстрый подбор приближенных решений. И физики начали думать над квантовой теорией гравитации. Одна из таких теорий - петлевая квантовая гравитация - положила в основу факт, что пространство и время дискретны: квантом длины является "планковская длина", а квантом времени является "планковское время". То есть поезд науки сошел-таки с рельсов "бесконечно малых" и "непрерывности". Ну, если еще и не сошел, то без всякого сомнения сойдет.
Если удастся какая-нибудь из теорий квантовой гравитации, то тогда можно получить в некотором смысле такой научный "коллаж": теория квантовой гравитации, действуя на предельно малых расстояниях, назовем это "супермикромиром", наложением своих супермикро-воздействий создает как бы статистически усредненную среду "микромира", которая описывается квантовой физикой. В свою очередь проявления многочисленных воздействий частиц микромира, налагаясь друг на друга, создают как бы статистически усредненную среду "макромира", то есть мира, который мы воспринимаем своими органами чувств, и который описывается классической физикой. В таком случае получится, что и "овцы целы, и волки сыты".
Теперь поставим вопрос ребром: дорогие ученые, зачем сначала создавать абстракцию бесконечно-малых и непрерывности, явно не существующую в нормальной природе вещей, где нет никаких бесконечностей и непрерывностей, затем приближать ее всякими мыслимыми и немыслимыми способами, чтобы убедиться в конце концов в дискретной природе и вещества, и материи в любом виде, и пространства и времени? Ведь не всегда можно найти удачное приближение, можно ведь, когда-нибудь его и не найти, и тогда мы будем получать научные выводы, подобные тому, что "Ахиллес не догонит черепаху". А разве слабо ученым, прочно встав на рельсы дискретности всего, получить и дискретную теорию гравитации, и полностью дискретную теорию квантовой физики, и полностью дискретную, как это ни парадоксально звучит, классическую теорию макромира?
Может быть, так оно и будет. Но с моей точки зрения, человечество слишком долго поворачивается с бока на бок. Правильная полная дискретная теория всего мира будет построена вперед не человеком а ..., да, правильно, дорогой читатель, - Искусственным Интеллектом, который по своей природе начисто лишен предрассудков "бесконечно малых" и "непрерывности"! Но Искусственный Интеллект, это тема уже другого разговора.
Теперь о времени. Классическая физика требует, чтобы время в уравнениях законов природы было не только непрерывным, но и обратимым! То есть, подставив значения для времени с отрицательным знаком, мы перемещались бы к уже прошедшим событиям. Опять, как и в случае с черепахой и Ахиллом, полное противоречие со здравым смыслом: мы-то хорошо знаем, что "прошлого не воротишь". Ранее упомянутый Альберт Эйнштейн пошел в своих абстракциях дальше всех - он объявил, что само пространство и время зависит от состояния объектов, находящихся в нем. Как же судить об изменениях состояния объектов в системе координат, единицы которых зависят от самих наблюдаемых объектов?
А что со временем в Элсландии? Самостоятельный сознательный макро-субъект, так скажем, в Элсландии - "Измерение Сознания". Он представляет собой как бы космический корабль, населенный компьютерами двух разных видов, один из которых называют элсами, а другой - андроидами. Как полностью компьютерная система, этот космический корабль имеет генератор тактовой частоты, который управляет всеми процессорами Измерения - как пришел тактовый импульс, так все процессоры выполнили какое-то действие, нет тактового импульса - нет никакого действия в Измерении. Частота такого генератора тактовых импульсов считается равной "планковской частоте", которая обратна по величине "планковскому времени". То есть время в Элсландии чисто дискретно, как и пространство. Это, так сказать, физическое время Измерения. Но никто не мешает интеллектам элсов и андроидов придумывать любую абстрактную систему пространства и времени для своих моделей.
Но интересен вот какой момент. Все мы знаем, что выполнение программ не зависит от скорости работы компьютеров, то есть от тактовой частоты: если программу перенести с медленного компьютера на быстрый, то она просто выполнится быстрее, но результаты ее выполнения будут теми же самыми. Можно сказать, что программы не чувствительны к величине тактовой частоты, то есть сама программа не подозревает, с медленным или быстрым компьютером она работает.
Точно так же и для компьютеров Измерения - элсов и андроидов - они не знают, с какой частотой тактового генератора они работают. Если это высказывание перевести на язык законов природы, то никакой закон природы не позволяет им обнаружить скорость работы тактового генератора своего же Измерения (подобно тому, как в инерциальных системах отсчета законы природы не позволяют определить, движется ли инерциальная система наблюдателей, или покоится). Может эти импульсы идут неравномерно, то есть, как говорят, скважность их меняется, может вообще генератор остановился и мышление Измерения "замерзло", а через некоторое время он включился и продолжил работать - элементы сознания в Элсландии этого знать не могут. Но все эти нюансы работы тактового генератора одного Измерения можно было бы увидеть со стороны другого Измерения, да только вот все Измерения полностью автономны друг от друга и наблюдать друг за другом не могут.
Но конечно, элсы и андроиды об этом догадываются, и это наводит их на мысль, что правильные законы не должны зависеть от времени. И вроде бы, среди них не должно бы быть такого, как Альберт Эйнштейн, у которого базовые понятия о времени и пространстве зависят от того, что помещено в это время и пространство. Но вот в чем парадокс для элсов - в том, что они и Альберта Эйнштейна (как и всех остальных ученых, как и всех людей) считают тоже элсом, и как же тогда элс может использовать в своих теориях смертельное для элсов понятие - непрерывность?
Ну вот, нам осталось только сказать тем читателям, которые все вышесказанное пропустили: Ахилл в конце концов в Элсландии, так же как и в нашем реальном мире, догонит черепаху! А если им станет интересно - почему, то тогда нужно вернуться к началу статьи и прочитать ее.