Аннотация: ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО 'ОМАРА ХАЙЙАМА 10 Алгебра Хаййама
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО 'ОМАРА ХАЙЙАМА
10 Алгебра Хаййама
Рассмотрим более подробно важнейшие из научных результатов Хаййама - его математические открытия. Известные нам математические результаты Хаййама относятся к трем направлениям: к алгебре, к теории параллельных, к теории отношений и учению о числе. Во всех этих направлениях Хаййам имел в странах ислама выдающихся предшественников и преемников. Во многом он отправлялся от классиков греческой и эллинистической науки - Аристотеля, Евклида, Аполлония, но вместе с тем он выступает как яркий представитель новой математики с ее мощной и определяющей вычислительно-алгоритмической компонентой (см. Юшкевич, в). Здесь мы дадим краткую характеристику математического творчества Хаййама, отсылая за подробностями к нашим комментариям к переводам его трактатов. Начнем с алгебры.
Первый трактат по алгебре на арабском языке написал около 830 г. Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми. Алгебраическое содержание его "Краткой книги об исчислении алгебры и алмукабалы" (в этой книге имеются также сведения об измерении фигур и большое собрание линейных задач на раздел наследств) можно разделить на два отдела. В книге изложены, с одной стороны, начала алгебраического исчисления - правила алгебраических преобразований и действий с одночленами и многочленами, включая правила "ал-джабр" и "ал-мукабала", необходимые для приведения уравнений к нормальным формам; последние два правила состоят в переносе вычитаемых членов уравнения в другую его часть, где они оказываются прибавляемыми, и во взаимном уничтожении равных членов в обеих частях уравнения. Помимо того, коэффициент при старшем члене уравнения всегда приводился к единице. С другой стороны, даются правила решения шести нормальных форм линейных и квадратных уравнений. Для каждой из трех форм трехчленных уравнений приведен своеобразный геометрический вывод правила решения. Все изложение - чисто словесное, без символики. Учитываются только положительные корни уравнений. Обе эти особенности присущи всем средневековым трудам по алгебре в странах Ближнего и Среднего Востока.
Трактат ал-Хорезми явился отправным пунктом развития алгебры в странах ислама, а позднее и в средневековой Европе. Наряду с ним большую роль сыграла "Книга об алгебре и алмукабале" Абу Камила, написанная в конце IX или начале X в. Абу Камил также ограничивается линейными и квадратными уравнениями. Но у него более развито алгебраическое исчисление, даны другие геометрические доказательства правил решения квадратных уравнений, основанные на предложениях II книги "Начал" Евклида, и приведено обширное собрание примеров. Примеры составляют главное богатство книги и требуют великолепного умения обращаться с иррациональностями, которые нередко входят в корни и даже в коэффициенты уравнений. У ал-Хорезми этого не было. Во второй половине X в. ал-Караджи в трактате Ал-фахри рассмотрел решение уравнений, квадратных относительно хn, а также еще домноженных на xm.
Во второй половине IX в. математики стран ислама включают в круг своих занятий кубические уравнения. Прежде всего ал-Махани попытался решить задачу Архимеда о делении данного шара плоскостью на сегменты с данным отношением объемов. Он свел задачу к "равенству куба и числа квадратам", но потерпел неудачу в решении. Лишь примерно через сто лет ал-Хазин и несколько спустя Ибн ал-Хайсам строят корень уравнения как (говоря по-современному) координату точки пересечения двух конических сечений, т.е. при помощи того же приема, который использовал Архимед, а за ним Дионисодор и Диокл. По-видимому, в то время восточные математики не были знакомы" с решениями в греческой литературе. Тщательный анализ задачи Архимеда произвел современник Ибн ал-Хайсама ал-Кухи, построивший еще две аналогичные задачи. Основное значение в привлечении более пристального внимания к кубическим уравнениям имело сведение к ним задачи о построении правильного девятиугольника и трисекции угла, применявшейся при вычислении тригонометрических таблиц. Эти задачи мы встречаем, например, у ал-Бируни в первой половине XI в. и тогда же у Абу-л-Джуда. В порядок дня становится разработка общего учения об уравнениях третьей степени.
Математики стран ислама получили первый толчок к занятиям кубическими уравнениями от греков, но продвинулись много далее. Эллинистические ученые ограничились рассмотрением нескольких частных задач, изолированных от других проблем математики. Если не считать извлечения кубического корня, то кубические уравнения не получили у них приложений. Вопрос об их числовых решениях не был даже поставлен. Задача Архимеда надолго осталась случайным эпизодом. Совсем другой характер приобретает учение о кубических уравнениях в странах ислама. Здесь это учение входит в виде большой новой главы в алгебру. Ученые изобретают способы приближенного вычисления корней и, пользуясь античным геометрическим методом, создают общую теорию. Насколько известно, первый опыт такой теории принадлежал Абу-л-Джуду. Сочинение Абу-л-Джуда не дошло до нас. Согласно Хаййаму анализ Абу-л-Джуда был далек от полноты. Заметим, что Хаййам познакомился с книгой Абу-л-Джуда после того, как написал свой "Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы" (см. стр. 108).
Алгебраический трактат Хаййама можно разбить по порядку на пять разделов: 1) введение, 2) решение уравнений 1-й и 2-й степени, 3) решение уравнений 3-й степени, 4) сведение к предыдущим видам уравнений, содержащих величину, обратную неизвестной, и 5) дополнение (в тексте трактата такого деления на разделы не имеется).
Во введении мы впервые находим определение предмета и метода алгебры. "Искусство алгебры и алмукабалы, - сказано там, - есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть или количество или отношение..." (см. стр. 70-71). Таким образом, предмет алгебры - это неизвестная величина, дискретная (ибо "абсолютное число" означает число натуральное) или же непрерывная (измеримыми величинами Хаййам называет линии, поверхности, тела и время). Неизвестные и данные величины могут быть и отвлеченными отношениями. "Отнесение" неизвестных величин к известным есть составление уравнения. Немного далее Хаййам говорит: "Алгебраические решения производятся при помощи уравнения, т.е., как это хорошо известно, приравнения одних степеней другим" (см. стр. 71). Словом, алгебра определяется как наука об уравнениях и именно о тех уравнениях, которые в настоящее время называются алгебраическими. Мы впервые здесь находим и термин "алгебраисты" - ал-джабриййуна (см. там же).
Задачей алгебры является определение как числовых, так и геометрических неизвестных. Здесь Хаййам свидетельствует, что математики стран ислама занимались поисками числового решения кубического уравнения, т.е. решения в радикалах, но тщетно. О различных видах уравнений 3-й степени он пишет: "Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это для случая, когда имеется не только три первых степени, а именно число, вещь и квадрат" (см. стр. 72). Такое решение кубического уравнения было найдено итальянцами в начале XVI в., через 400 лет после смерти Хаййама.
Далее производится классификация уравнений первых трех степеней, основанная на том же принципе, что у ал-Хорезми: выделяются всевозможные приведенные формы уравнений с положительными коэффициентами, кроме тех, которые заведомо не имеют положительных корней. Всего нормальных форм 25, из них 14 кубических уравнений, не приводящихся к квадратным или линейным делением на неизвестную или ее квадрат. Это - одно двучленное уравнение, шесть трехчленных, четыре четырехчленных, в которых сумма трех членов равна четвертому, и три четырехчленных, в которых имеет место равенство между суммами пар членов. Значение классификации в том, что применительно к каждой нормальной форме подбирается соответствующее построение. О том, как приводить уравнения к нормальной форме, Хаййам не говорит, - предполагается, что читатель знаком с элементарной алгеброй того времени.
Предпосылкой изучения трактата, как отмечает сам автор, является хорошее знание "Начал" и "Данных" Евклида и двух первых книг "Конических сечений" Аполлония. Труды Евклида нужны для геометрического вывода правил решения квадратных уравнений, а сочинение Аполлония требуется для теории кубических уравнений. И тут Хаййам, впервые в истории математики, заявляет, что уравнения третьей степени, вообще говоря, не решаются при помощи циркуля и линейки. Он пишет: "Доказательство этих видов может быть произведено только при помощи свойств конических сечений" (см. стр. 74). В 1637 г. с подобным утверждением вновь выступил Р.Декарт (см. Декарт, стр. 105), а еще двести лет спустя, в 1837 г., это было доказано П.Л.Ванцелем.
Мы не будем задерживаться на разделе о линейных и квадратных уравнениях, не содержащем чего-либо примечательного и нового. Основным является третий раздел трактата, где дано построение корней каждой из 14 нормальных форм уравнений третьей степени при помощи надлежаще подобранных конических сечений, вернее тех их частей, которые дают положительные корни. Еще Ф.Вёпке, первый издатель алгебраического трактата Хаййама, выяснил, что подбор конических сечений произведен здесь вполне систематически. Следующая схема (Woepcke, стр. 14-15) кратко и наглядно выражает этот подбор. Допустим, что ϰ, λ, μ, ν, ξ, η принимают значения +1 и -1 и ϰ, кроме того, в одном случае может быть равно 0. Тогда пары конических сечений, служащие Хаййаму для построения решений нормальных форм уравнений, принадлежат к трем системам, именно:
При их помощи строятся решения уравнений:
х2 + ϰbх + λа = 0
При их помощи строятся решения уравнений:
х3 + ϰλcх2 + ϰа = 0,
причем k берется равным либо ∛а, либо с.
При их помощи строятся решения уравнений:
которые после деления на х ± a/b приводятся к уравнениям:
х3 + ρсх2 + σbх + τа = 0,
где ρ, σ, τ равны +1 или -1.
Построение решений каждого вида сопровождается разбором его "случаев". Рассматривая условия пересечения или касания соответствующих конических сечений, Хаййам строит геометрическую теорию распределения положительных корней кубических уравнений. Он выясняет, всегда ли задача возможна, т.е. имеет положительное решение, существует ли у данного вида только один случай (единственный корень, причем сюда относятся и двойные корни: понятия о кратных корнях тогда еще не было) или же различные случаи (один или два корня). Иногда устанавливаются границы положительных корней в зависимости от коэффициентов. Для ряда уравнений, как показывает Хаййам, "имеется многообразие случаев", именно: они могут либо вовсе не иметь корня, либо иметь один корень, либо два; нашим отрицательным и мнимым корням соответствуют "невозможные случаи". Таковы уравнения x3+a= bх, х3+а=сх2, х3 + сх2 + а = bх, х3 + bх + а = сх2, х3 + а = сх2 + bх. При этом Хаййам сделал важное открытие: возможность двух корней кубического уравнения.
Анализ Хаййама, однако, не всегда полон и указанные им границы между "случаями" видов не всегда точны. Иногда его вводит в заблуждение чертеж, являющийся для него главным средством исследования. Особенно досадно, что это произошло с уравнением "куб и ребра равны квадратам и числу", т.е. х3 + bх = сх2 + а. Здесь Хаййам не заметил, что гипербола и окружность, которыми он пользуется, могут пересечься в четырех точках, и потому прошел мимо возможности трех различных корней кубического уравнения (абсцисса одной точки пересечения здесь не удовлетворяет уравнению). Возможно, что Хаййам не сделал бы этого досадного упущения, если бы привлек IV книгу "Конических сечений" Аполлония, где тщательно исследован вопрос о наибольшем возможном числе точек пересечения конических сечений. Впрочем, обнаружить этот случай на чертеже нелегко.
Геометрическая теория использовалась для предварительного исследования уравнений с числовыми коэффициентами. В дополнении к трактату Хаййам говорит, что стремился соединить полноту изложения с краткостью и поэтому не добавил числовых примеров каждого вида и его случаев. "Я ограничился изложением общих правил, - говорит Хаййам, - так как я доверяю уму учащегося, и тот, кто хорошо усвоил этот трактат, не будет остановлен ни частными примерами, ни их общими закономерностями" (см. стр.109). В том же дополнении Хаййам разбирает одну ошибку в данном Абу-л-Джудом анализе уравнения задачи Архимеда х3 + а = сх2. Эту ошибку Хаййам показывает на примере уравнения х3 + 144 = 10 х2. Он разбирает еще другой пример х3 + 413 = 80 х2; правда, тут он сам допускает ошибку, опять-таки в результате доверия к неполноценному чертежу (см. прим.174 к алгебраическому трактату Хаййама).
Исследования по геометрической теории алгебраических уравнений были на Востоке продолжены. В "Ключе арифметики", законченном в 1427 г., Джамшид ал-Каши, ссылаясь на сообщение иранского ученого Камал ад-Дина Хасана ал-Фарси, жившего в XII-XIV вв., говорит, что "Шараф ад-Дин ал-Мас'уди определил девятнадцать задач, кроме известных шести, и доказал свойства определения их неизвестных в тех случаях, когда это возможно" (см. ал-Каши, стр.142). Ал-Мас'уди жил в XII-XIII вв. в Тусе, он - один из учителей Насир ад-Дина ат-Туси. Как видно, ал-Каши не был непосредственно знаком с алгеброй ал-Мас'удй. Мы также ничего, сверх сказанного, не знаем об этом сочинении, посвященном тому же предмету, что и алгебра Хаййама. Основываясь на знакомстве ат-Туси с трудами Хаййама, можно лишь высказать предположение, что ал-Мас'уди знал алгебру Хаййама.
Математики стран ислама стремились распространить геометрический метод и на уравнения четвертой степени. До нас дошел один пример такого числового уравнения, решенный неизвестным ученым при помощи гиперболы и окружности (см. прим.164 к алгебраическому трактату Хаййама). Аналогично решение одной интересной задачи геометрической оптики у Ибн ал-Хайсама. Задача эта, сводящаяся к уравнению 4-й степени, такова: из двух данных точек в плоскости данного круга провести две прямые, пересекающиеся в точке окружности и образующие в этой точке равные углы с проведенным в нее радиусом. Хаййам говорит, что Ибн ал-Хайсам дал также построение четырех средних пропорциональных между двумя данными величинами, т.е. решение двучленного уравнения 5-й степени (см. стр. 106-107); построение это пока не обнаружено. Согласно ал-Каши, до него не было общей теории уравнений 4-й степени и ему принадлежит ее первая разработка: "Для случая, когда родов пять (т.е. от чисел до 4-й степени), мы открыли способ определения неизвестных в этих семидесяти задачах, которых не касался никто ни из древних, ни из современников" (см. ал-Каши, стр.192). На самом деле таких уравнений, могущих иметь положительные корни, не 70, а 65. Больше об этой работе ал-Каши мы ничего не знаем; возможно, что она не была закончена.
Сведения о работах по кубическим уравнениям проникали и в страны арабского Запада. Выдающийся тунисский историк XIV в. Ибн Халдун, человек широкого и глубокого образования, характеризуя в своем "Введении" алгебру и рассказав об ал-Хорезми и Абу Камиле, писал: "До нас дошло, что некоторые великие ученые Востока распространили число уравнений за эти шесть видов, доведя их более чем до двадцати, и нашли для них надежные решения при помощи геометрических доказательств" (см.: Ebn-Khaldoun, стр.98). Однако, в сочинениях западноарабских математиков нет не только развития учения о кубических уравнениях, но даже упоминания соответствующих результатов математиков Востока.
В Европе эти результаты стали известны, по-видимому, тогда, когда они были давно уже превзойдены европейцами. Алгебраический трактат Хаййама впервые упоминается в Европе в 1742 г. в предисловии к учебнику дифференциального исчисления Ж.Меермана. По этому поводу Ж.Э.Монтюкла в своей известной "Истории математики", заметив, что арабы пошли дальше квадратных уравнений, говорит, что в Лейдене имеется арабская рукопись, озаглавленная "Алгебра кубических уравнений" или "Решение телесных задач", и что автором ее является Омар бен-Ибрахим. "Таково, по крайней мере, заглавие, сообщаемое г. Меерманом в предисловии к его Specimen calculi fluxionalis; но, признаюсь, названия арабских книг, приводимые библиографами, по большей части столь искажены, что доверять этому предположению нельзя. Весьма жаль, - добавляет Монтюкла, - что никто из знающих арабский не имеет вкуса к математике и никто из владеющих математикой не имеет вкуса к арабской литературе" (см. Montucla, стр.383).
Геометрическое построение решений алгебраических уравнений было возрождено в Европе Р.Декартом как общий метод построения их корней, и потому как общий метод его "универсальной математики". Идея классификации уравнений для подбора соответствующих конических сечений, основная в теории кубических уравнений Хаййама, получила при этом своеобразное и чрезвычайно важное развитие. У Декарта она выступает как классификация всех алгебраических кривых, необходимая для их выбора при решении уравнений высших степеней. Введение отрицательных чисел сделало вместе с тем классификацию кубических уравнений Хаййама излишней. В знаменитой "Геометрии" (1637) Декарт обнимает одним построением при помощи параболы и окружности все действительные корни уравнения 4-й степени х4 = ± рх2 + qх + r; построение решений кубических уравнений получается при r = 0 (см. Декарт, стр.95-98; Юшкевич, стр.258 и 261). Оставляя в стороне вопрос об аналитикогеометрическом направлении "универсальной математики" Декарта, заметим, что в его "Геометрии" возрождаются и проблемы отделения и определения границ корней, более детальное исследование которых было дано вскоре Ф.Дебоном, а затем И.Ньютоном, М.Роллем, К.Маклореном и многими другими математиками, вплоть до нашего времени (теорема А.Гурвица об условии отрицательности действительной части комплексного корня и др.). На первый план выдвигаются собственно алгебраические методы исследования, но и геометрическое построение сохраняет известное подчиненное значение (см. Ньютон, примечания А.П.Юшкевича, стр.370-380, 428-433, 437-439).
В алгебраическом трактате Хаййам замечает, что он написал сочинение, в котором изложил способ извлечения корней любой степени из чисел. Как мы указывали (см. стр.37), этот трактат назывался, по-видимому, "Трудности арифметики". Весьма вероятно, что способ Хаййама был основан на так называемом правиле "бинома Ньютона" для произвольного натурального показателя. Впервые мы находим формулировку такого общего правила у ал-Каши, излагавшего его как открытие предшественников. Быть может, открытие правила принадлежит Хаййаму, но вообще ранняя история "бинома Ньютона" неясна (см. ал-Каши, комментарии А.П.Юшкевича и Б.А.Розенфельда, стр.333-334).
К арифметико-алгебраическому кругу вопросов примыкает и небольшое сочинение Хаййама "Весы мудростей", в котором решается классическая задача Архимеда об определении количеств золота и серебра в сплаве. Хаййам определяет веса в воздухе и воде двух произвольных слитков чистого золота и серебра, а также данного сплава, и приводит два решения. В одном решении используются приемы античной теории отношений. Другое решение, "более легкое для вычисления" (см. стр.150) - алгебраическое.
![рис.3 []](/img/j/ja_l_g/traktati0010/risunok003.jpg)
![рис.4 []](/img/j/ja_l_g/traktati0010/risunok004.jpg)
![рис.5 []](/img/j/ja_l_g/traktati0010/risunok005.jpg)
![рис.6 []](/img/j/ja_l_g/traktati0010/risunok006.jpg)