Исаев Александр Васильевич

Размеры ВСЕХ астероидов и крупных метеороидов

В данной статье говорится о размерах ВСЕХ астероидов и всех крупных метеороидах (размером свыше 2,6 м). Помимо любопытных фактов из астрономии, здесь показано, как "работает" тильда-функция (тильда), найденная мною в мире... натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...). То есть я "иллюстрирую" конкретное приложение виртуальной космологии (тильда - это её "инструмент") к важным и интересным вопросам реальной астрономии.    

Астероид - небольшое небесное тело, преимущественно неправильной формы ("глыба"), с наибольшим габаритным размером от 532 км до 30 м (согласно Википедии, или до 50...10 м - согласно другим источникам), которое движется по орбите вокруг Солнца (подобно "маленькой" планете). Небесные тела размером меньше 30 м называют метеороидами (это "маленькие" астероиды), а космические частицы размером от 0,1 мм до нескольких... молекул называют космической пылью. Ученые полагают, что каждый год на Землю падает около 2.000 тонн метеоритов (это метеороиды, упавшие на планету) и оседает около 40.000 тонн космической пыли (порядка 666 грузовых ж/д вагонов).

Потенциально опасными объектами (ПОО) считаются все астероиды, которые могут (из-за параметров своих орбит) в обозримом будущем приблизиться к Земле на расстояние, меньшее 0,05 астрономических единиц (а.е.), где 1 а.е. = 149.597.871 км - это среднее расстояние от Земли до Солнца (между их центрами масс). При такой "встрече" в космосе опасным будет всякий астероид, имеющий поперечник свыше 150 метров, поскольку астероиды меньшей величины будут полностью разрушены в атмосфере Земли и серьёзного ущерба не причинят. Судя по геологическим данным Земли (где разведано несколько сотен ударных кратеров), столкновения с крупными небесными телами в истории нашей планеты случались неоднократно. Именно падением одного крупного метеорита некоторые учёные объясняют массовое исчезновение живых организмов (около 250 миллионов лет назад); удар другого метеорита якобы привёл к вымиранию динозавров (около 65 миллионов лет назад). Одним из наиболее известных опасных астероидов является Апофис (размером 270 м), опасное сближение которого с Землёй возможно в 2036 году. Вероятность столкновения с Апофесом составляет 1:250000 (см. Википедию), что близко к вероятности угадать 5 номеров в Спортлото "5 из 36" - при заполнении одной карточки (с двумя разными вариантами заполнения) вероятность равна 1:188496.

Главный пояс астероидов - так называется область космического пространства Солнечной системы, расположенная между орбитами Марса и Юпитера, которая является местом "обитания" подавляющего большинства астероидов, метеороидов и космической пыли (местом расположения их почти круговых орбит вокруг Солнца). Главный пояс - это "приплюснутый бублик" космического пространства, с многочисленными "вкраплениями" небольших объектов - астероидов и метеороидов (а, проще говоря, глыб, камней и пыли). Этот "бублик" настолько тонкий (разумеется, в космических масштабах), что в первом приближении главный пояс можно представить просто как... плоское кольцо, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно: r = 2,2 а.е., R = 3,6 а.е., то есть эти радиуса в 2,2 - 3,6 раз больше расстояния от Земли до Солнца.

Какое количество (К) объектов "населяют" главный пояс? Мы предположим, что их там почти... триллион штук - и это хотя бы потому, что именно столько звезд (разных "солнц") содержится в каждой из крупнейших галактик (скажем, в такой как наша Галактика, называемая "Млечный Путь") и именно столько самых разных галактик содержится в видимой части Вселенной. Короче говоря, мы будем полагать, что в главном поясе "обитает" К = 700.000.000.000 объектов, то есть К = 7*10^11 или и-триллион объектов (см. мои статьи "И-триллион и гибель цивилизации", "И-триллион - новая физическая константа?").

Зная количество (К) объектов в главном поясе, мы можем оценить среднюю "плотность" их расположения относительно друг друга. Проделаем указанную оценку. Площадь плоского кольца (главного пояса), очевидно, будет равна S = 3,14*(R^2 - r^2) =  5,7*10^17 кв.км (квадратных километров). Значит, в среднем на каждый объект приходится такая площадь: S/K =  (5,7*10^17)/(7*10^11) = 815.565 кв.км, которую можно представить условно как круг радиусом 510 км, что, практически, совпадает с размером... самого большого астероида. Однако столь крупных астероидов исчезающе мало (см. ниже), поэтому можно утверждать, что в главном поясе объекты очень сильно рассеяны (находятся очень далеко друг от друга). Именно этим и объясняется тот факт, что ни один космический аппарат, пролетавший через главный пояс астероидов, не был повреждён ими. Вероятность не то что столкновения, а просто случайного незапланированного сближения космического аппарата с каким-нибудь астероидом сейчас оценивается менее чем один к миллиарду (1:1000000000).

По состоянию на 6 сентября 2011 в базах данных астрономов насчитывалось 84.993.238 объектов Солнечной системы, у 560.021 из них точно определены орбиты и им присвоен официальный номер (15615 объектов имели официально утверждённые наименования). В главном поясе самым крупным астероидом считалась Церера, имеющая диаметр около 950 км (столь массивные объекты согласно законам физики уже имеют почти правильную сферическую форму). Однако с 24 августа 2006 года Церера получила статус карликовой планеты (то есть астрономы перестали считать Цереру астероидом). Два других крупнейших астероида (2 Паллада и 4 Веста) имеют размер около 500 км. Общая масса всех астероидов главного пояса оценивается в (3,0-3,6)*10^21 кг, что составляет всего около 4% от массы Луны. Причем масса Цереры (32% от массы главного пояса), вместе с тремя другими крупнейшими астероидами - это 51% от массы главного пояса, то есть абсолютное большинство астероидов имеют ничтожную, по астрономическим меркам, массу.

Что известно о распределении астероидов в части их размеров? Например, из Википедии (из статьи "Пояс астероидов" и прочих статей) можно узнать только следующее исходные данные:

- астероидов размером от 532 км до 185 км - 12 штук (их характеристики есть в Википедии);

- астероидов размером свыше 100 км - около 200 штук;

- астероидов размером свыше 15 км - около 1000 штук;

- астероидов размером свыше 1 км - от 700.000 до 1.700.000 штук;

- объектов размером свыше 30 м - "несколько миллионов и более" штук (свыше 85 млн? - см. выше).

Учитывая выше сказанное, найдем распределение... ВСЕХ объектов главного пояса (астероидов и крупных метеороидов) по их размерам. То есть мы ответим на следующий вопрос: какое количество объектов из любого (интересующего нас) интервала размеров находится в главном поясе? Для этого мы воспользуемся тильда-функцией (или просто тильдой), о которой подробно сказано в моей статье "Закон распределения богатства" (ЗРБ). Разумеется, что речь идет о весьма и весьма грубых оценках в части распределения астероидов по их размерам. Более того, главная цель данной статьи - это не конкретные цифры по астероидам, а иллюстрация возможного применения тильды (ЗРБ) к решению подобных задач (о распределении физических величин в природе).

Итак, если верить моей виртуальной космологии распределение диаметров (D) объектов по возрастанию их порядковых номеров n можно относительно неплохо описать с помощью тильда-функции:

D = S*exp{-A*[ln(К/n)]^p},                                                                  (1)

по сути дела, формула (1) гласит: D = f(n), то есть D - это тильда-функция (f) от аргумента n.

Подробно расшифрую "конструкцию" моей тильда-функции (для данной конкретной задачи):

D - диаметр объекта (км), порядковый номер которого равен n, при этом надо помнить всю условность термина "диаметр" (скорее, это "средний" размер объекта), поскольку объекты далеки от сферической формы, это бесформенные астероиды или метеороиды (огромные глыбы и камни самых разных размеров);

S = 10^W - "богатство" рассматриваемых объектов, где W - любое положительное число. Параметром S (его показателем степени W) мы можем варьировать ("играть"), чтобы получить наиболее правдоподобное тильда-распределение диаметров. По сути дела, тильда-функция "назначает" (распределяет) каждому порядковому номеру n соответствующий ("свой") диаметр D в виде определенной части (доли) от некого гипотетического "богатства" S (его физический смысл не всегда очевиден).

К = 700.000.000.000 - количество всех объектов главного пояса астероидов (то есть мы будем полагать, что в главном поясе находится и-триллион объектов - про эту гипотезу уже говорилось выше).

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...., (К - 1) - порядковый номер объекта, причем тильда-функция все эти объекты располагает по возрастанию диаметров D; при этом ясно, что для самого большого объекта (с номером n = K) формула (1) просто перестает работать - мы всегда получаем D = S, чего быть не может (но это хорошо отражает главную "тенденцию" тильда-функции - она, образно говоря, стремится передать всё богатство природы в единственные руки - самому богатому члену).

exp{Х} - экспоненциальная функция или экспонента (это e^Х, то есть число e = 2,718... в степени Х);

A - коэффициент тильда-функции (зависит от конкретной рассматриваемой нами задачи, см. ниже);

ln(К/n) - логарифм натуральный от аргумента, которым в тильда-функции является отношение К/n;

p - показатель степени в тильда-функции (зависит от рассматриваемой нами задачи, см. ниже).

Нахождение параметров р и А тильда-функции

Эти два параметра легко вычислить, если нам известны две достоверные (реперные) точки искомой тильда-функции. В качестве реперных точек мы выбираем следующие:

- пусть астероидов с диаметром Dm = 15 км насчитывается M = 1000 штук (см. выше исходные данные);

- пусть астероидов с диаметром Dz = 1 км насчитывается Z = 1.700.000 штук (ясно, что количеством Z также можно "поиграть" из диапазона 700.000 до 1.700.000, см. выше исходные данные).

Теперь мы можем вычислить две пары вспомогательных значений: (x1, y1) и (x2, y2):

x1 = ln[K/(K - Z)] = ln[1/(1 - Z/K)] = - ln(1- Z/K),

x2 = ln[K/(K - M)] = ln[1/(1 - M/K)] = - ln(1- M/K),

y1 = ln[S/ln(Dz)] = lnS - ln(Dz) = W*ln10 - ln(Dz),    

y2 = ln[S/ln(Dm)] = lnS - ln(Dm) = W*ln10 - ln(Dm).    

Зная пары (x1, y1) и (x2, y2), мы вычисляем параметры тильда-функции (задачка для школьника):  

p = ln(y1/y2)/ln(x1/x2),    A = (y2)/[(x2)^p].                                                      (2)                                                                                    

Таким образом, зная две правдоподобные точки (Z, Dz,  и M, Dm) искомого распределения, а также параметры  К = 700.000.000.000 и S = 10^308 (то есть берем W = 308) - мы по формулам (2) вычисляем остальные параметры тильда-функции: р = 0,0005143...;  А = 713,9276.... То есть тильда найдена.

Объясню, почему я взял W = 308, то есть взял крайне большое "богатство" S = 10^W = 10^308. При прочих равных условиях (скажем, при указанных выше К и Z, Dz, M, Dm) с ростом W происходит рост всех диаметров D (с любым порядковым номером n = 1, 2, 3, ..., К - 1). В том числе растет как минимальный диаметр Dmin (с номером n = 1), так и максимальный диаметр Dmax (с номером n = K - 1). Причем, можно сказать, что при W = 308 указанный рост достигает своего "насыщения": Dmin = 0,0026 км = 2,6 м,  Dmax = 184 км, то есть при дальнейшем увеличении W - рост диаметров почти прекращается (для сравнения: при W = 10^14 мы получим: Dmin = 2,7 м и Dmax = 190 км). Любопытно, что 10^308 - это наибольшее число, которое "понимает" (и показывает нам) обычный персональный компьютер (ПК). То есть, скажем, если набрать в ячейке программы "Excel" число 10^309, то обескураженный ПК "ответит" нам таким сообщением: "#ЧИСЛО!". Значит, огромное число 10^308 - это... "бесконечность" для компьютера.

Итак, мне не удалось построить тильда-функцию, у которой наибольший диаметр (Dmax) оказался бы равным размеру самого крупного реального астероида (532 км). Более того, полученная мною тильда "не видит" 12-ть наибольших астероидов (с размером от 532 км до 185 км), а также моя тильда "находит" только 5 астероидов с размером свыше 100 км (а на самом деле их около 200 штук). Однако напомню читателю, что моя тильда - это наипростейший математический инструмент ("заменитель" относительно сложного логнормального распределения, см. Википедию). Поэтому для тильды свойственно (и вполне  простительно) "не видеть" самые малые (самые "бедные") и самые большие (самые "богатые") члены реального распределения, которые являются аналогами легких и тяжелых делителей из мира натуральных чисел (где и была придумана сама тильда, см. мою статью "Закон распределения богатства").

На практике полезно ответить на такой вопрос: какое количество (Ko) объектов имеют диаметр свыше заданного диаметра D? Из тильда-функции (1) легко получаем следующий ответ:

Ko = K - n,   где n = K/exp{[(lnS - lnD)/A]^(1/p)}.                                              (3)

Например, какое количество (Ko) объектов главного пояса имеют диаметр свыше 150 м (D = 0,150 км), то есть представляют угрозу жизни на Земле при столкновении с ней. Так вот, согласно формуле (3), "опасных" метеороидов будет Ko = 306.267.582 штук. Разумеется, что столкнуться с Землей могут только некоторые из этих объектов (которые движутся по "опасным" орбитам). Ну и, конечно, надо ясно понимать, что формулы (1) и (3), даже в самом лучшем случае, указывают нам лишь правильный порядок числа. То есть в рассмотренном случае правильней будет сказать так: тильда показывает, что "опасных" объектов в главном поясе, вероятно, порядка 3*10^8 штук (порядка 300 миллионов).

Таким образом, в части распределения астероидов (метеороидов) по их размерам ("диаметрам") мы, скорее всего, получили (в лице тильды) всего лишь более или менее достоверную качественную (а не количественную) картину. Об этом не следует забывать. Тем не менее, ниже я приведу некоторые результаты расчета по формуле (3), вытекающие из найденной тильда-функции [К = 700.000.000.000; S = 10^308 (W = 308); р = 0,0005143...;  А = 713,9276...; n = 1, 2, 3,...., (К - 1); D - от 0,0026 км до 184 км]:

D (км)     Ko (количество объектов, у которых диаметр больше указанного D)

100,000   5                [количество астероидов, у которых размер свыше 100 км (здесь тильда "врет"!)];    

50,000    36  

15,000   1.000         [количество астероидов, у которых размер свыше 15 км (моя 1-я реперная точка)];     

10,000     3.051

5,000       20.513

3,276       65.500       (количество астероидов, которые "помещаются" в рамках таблицы "Excel");

2,000      253.960  

1,489       570.587     (примерно у такого количества астероидов точно определены орбиты)

1,000     1.700.000  [количество астероидов, у которых размер свыше 1 км (моя 2-я реперная точка)];  

0,500      11.358.544  

0,239       85.672.252          (примерно столько астероидов насчитывается в базах данных астрономов);

0,150      306.267.582         (количество "опасных" для Земли объектов, см. выше);  

0,050      6.135.175.173      [количество всех астероидов (согласно определению Британских ученых?)];    

0,030      24.405.149.282    [количество всех астероидов (согласно определению Российских ученых?)];  

0,010      355.515.953.963  [количество всех астероидов (согласно определению с размером 10 м)];     

0,0026    700.000.000.000   [количество объектов размером свыше 2,6 м - моя гипотеза (тильда)].   

Какую пользу приносит моя тильда-функция в части распределения астероидов (метеороидов) по их размерам? Вероятно, наиболее объективно об этом могут судить астрономы. Но и мнения остальных читателей мне будет любопытно узнать...