Исаев Александр Васильевич

"Легитимность"... виртуальной космологии

Молодой Гаусс уже в 19 лет смог доказать замечательную теорему: если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма (3, 5, 17, 257, 65537), то его можно построить при помощи циркуля и линейки (подробно об этом см. в моей статье "Тайны многоугольников"). Позже, уже став признанным "королем математиков", Карл Гаусс (1777-1855) настолько высоко оценил своё первое открытие, что даже завещал сделать пьедестал своей могилы в форме... правильного 17-угольника (впервые построенного Гауссом). Как известно, Гаусс был не только великим математиком, но также и астрономом, и физиком, то есть это был человек с широчайшим научным кругозором. В связи с этим возникает любопытный вопрос: а почему интуиция столь гениального человека по-особому выделила, по сути дела, именно... простые числа Ферма? Возможно, Гаусс почувствовал, что речь идет об очевидной "точке соприкосновения" виртуального мира чисел и реального (физического) мира? Во всяком случае, лично мне хочется верить именно в это, поскольку сам я с 1998 года пытаюсь доказать (в своих книгах и статьях), что мир натуральных чисел - это некое наипростейшее "зеркало" реального мира (описывающих его самых фундаментальных законов). Ниже представлена моя очередная попытка доказать данное (разумеется, весьма и весьма спорное) утверждение.   

Итак, числа Ферма описываются нехитрой формулой:

N = 2^(2^m) + 1,                                                                                (1)

где m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... (до бесконечности). Формула (1) выдает бесконечную последовательность N = 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297,..., в которой пять первых чисел (выделенных жирным шрифтом) являются простыми числами.  Напомню, что простые числа (P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...) делятся только на самих себя и на единицу; иначе говоря, у них только два целых делителя (1 и само число P), а в рамках виртуальной космологии мы говорим, что тип (Т) всех простых чисел равен 2 (записываем так: Т = 2). Напомню также, что любое натуральное число N "строится" исключительно из простых чисел, подобно тому, как любое видимое вещество во Вселенной строится из атомов (элементов таблицы Менделеева). Например, уже шестое число Ферма (при m = 5) является составным числом - оно "строится" (путем перемножения) из двух простых чисел: 641*6700417 = 4294967297 (и никакое произведение других простых чисел не даст нам числа 4294967297), то есть шестое число Ферма имеет тип Т = 4, поскольку у шестого числа именно четыре целых делителя: 1, 641, 6700417, 4294967297. По состоянию на январь 2012 года математиками доказано, что при m = 5, 6, 7,..., 35 формула (1) выдает исключительно составные числа N; иначе говоря, вплоть до умопомрачительного числа порядка N = 10^10.343.311.892 других простых чисел Ферма не существует. Наличие других простых чисел Ферма (кроме пяти известных чисел: N = 3, 5, 17, 257, 65537) - является так называемой открытой проблемой в теории чисел (раздел высшей математики). И здесь уместно заметить, что теория чисел содержит множество самых разных открытых проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. При этом у математиков многие открытые проблемы (как и с числами Ферма) выходят далеко за рамки Большого отрезка, ограниченного "всего лишь" числом N = 8*10^60 - это условное количество планковских времен в возрасте Вселенной, то есть Большой отрезок - "главная арена" в рамках моей виртуальной космологии. Отчасти поэтому профессиональные математики не признают мои исследования, и, тем более, мой "инженерный" подход (вообще говоря, далекой от "настоящей" аналитики). С другой стороны, профессиональные физики никак не хотят проникнуться сакральным смыслом мира (якобы "примитивных") натуральных чисел. Хотя, возможно, именно этот сакральный смысл и почувствовал Карл Гаусс?

Математиками уже доказано, что при m = 5, 6, 7, 8  формула (1) выдает числа N, у которых  тип Т = 4, причем при m = 8 имеем N = 10^77 (около того), то есть уже девятое число Ферма лежит далеко за пределами Большого отрезка. Кстати, в этом проявляется очередная "магия семёрки" в рамках Большого отрезка (см. мои статьи про "магию" числа 7), а за его пределами - "магия семерки" исчезает (и бесследно?), что также подтверждает правомочность виртуальной космологии. Вероятно, и у всех последующих чисел Ферма тип (Т) будет относительно небольшим, скажем, Т = 4, 6, 8,..., но, с точки зрения виртуальной космологии, это уже не должно волновать даже... саму Вселенную, не говоря уже о человеческой цивилизации, весь "долгий век" которой - лишь крохотный миг в биографии Вселенной. Ситуация такова, словно виртуальный мир чисел посредством простых чисел Ферма (3, 5, 17, 257, 65537) как бы "очерчивает" некие временные границы существования разумной жизни во Вселенной, условные символы которой - "циркуль и линейка" (в контексте теоремы Гаусса).

Чтобы ясно понимать, насколько мал тип (Т) у чисел Ферма, достаточно знать из теории чисел, скажем, формулу Дирихле. Эта формула гласит, что средний арифметический тип (Ts) всех натуральных чисел на отрезке от 1 до N (включительно) устремляется к следующему красивому выражению:

Ts = lnN + 2C - 1,                                                                         (2)

где С = 0,577215... - постоянная Эйлера-Маскерони (фундаментальная математическая константа). При этом Ts можно рассматривать не только как параметр отрезка [1; N], но и как параметр самого числа N (правой границы указанного отрезка). В этом смысле любое натуральное число N имеет свой параметр Ts, например, для чисел W = 2; 4; 16; 256; 65536 мы соответственно получим Ts = 1,5000;  2,0000;  3,1250;  5,7266;  11,2453 - убедитесь в этом сами, складывая типы (Т) первых натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), поскольку формула (2) в начале натурального ряда (в области его "сингулярности") работает весьма плохо. С другой стороны, для достаточно больших чисел N в качестве оценки можно полагать Ts = lnN (не учитываем малую "поправку" 2С - 1 = 0,1544... ). Так, например, в конце Большого отрезка мы получаем Ts = ln(8*10^60) = ln8 + 60*ln10 = 140 (округляем до целого числа). То есть, в конце Большого отрезка средний тип достигает значения порядка Ts = 140 (для справок: в конце Большого отрезка максимально возможный тип Tmax = 7*10^11, то есть у некоторых натуральных чисел N может быть порядка и-триллиона целых делителей), а вот у чисел Ферма тип всего лишь равен Т = 4 (и всегда, вплоть до бесконечности, Tmin = 2 будет у простых чисел).

А теперь мы посмотрим, что произойдет, если из формулы (1)... убрать единицу. Очевидно, при этом мы получим совсем уже элементарную формулу:

W = 2^(2^m),                                                                                (3)

которая (при m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...) выдает бесконечную последовательность натуральных чисел: W = 2; 4; 16; 256; 65536; (4,29*10^9); (1,84*10^19); (3,40*10^38); (1,15*10^77);... . При этом теория чисел точно указывает нам тип данных чисел (количество их целых делителей): Т = 2*m + 1, то есть для чисел W мы получим соответственно: Т = 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257,... . И нетрудно заметить, что эти значения лишь ненамного превосходят средний (арифметический) тип этих же чисел (см. выше значения Ts для чисел W): T/Ts =  1,3333;  1,5000;  1,6000;  1,5716;  1,5117;  1,4774;  1,4601;  1,4514. Таким образом, с ростом W отношение T/Ts устремляется к значению 1/ln2 = 1,4426..., поскольку для чисел W верны следующие оценки: Ts = lnW = ln(2^(2^m)) = (2^m)*ln2;   T/Ts = (2*m +1)/[(2^m)*ln2] = 1/ln2 (при m стремящемся к бесконечности). Здесь уместно заметить, что пресловутое "золотое сечение" ("магическое" число 1,618), вероятно, является "бледной тенью" отношения T/Ts и ему подобных отношений (численно, скажем, из диапазона 1,4...1,8), которых обнаруживается довольно много в рамках виртуальной космологии. То есть в математической структуре реального пространства-времени "зашито" много важных параметров, численно близких (в среднем) к значению 1,618, поэтому природа "приучила" человека воспринимать данный (чисто математический) факт как проявление некой... "божественной гармонии". Даже уже сказанного достаточно для предположения о том, что формула (3) выдает довольно важную последовательность натуральных чисел W (и не только из-за их предельной близости к числам Ферма), служащими, вероятно, некими "реперными точками" Большого отрезка (наравне с простыми числами Ферма).

Наконец в своих рассуждениях мы подошли к тому, ради чего, собственно говоря, и была задумана данная статья. Так вот, оказывается, что рассмотренную выше последовательность натуральных чисел W = 2; 4; 16; 256; 65536; (4,29*10^9); (1,84*10^19); (3,40*10^38);... можно представить не только в виде формулы (3), но и в виде так называемого рекуррентного соотошения:

Х = х^2,                                                                                    (4)

согласно которому каждое последующее число (Х - "большое") равно квадрату (то есть второй степени) предыдущего числа (х - "малое"). Рекуррентная формула (4) работает следующим образом (в качестве дополнительного пояснения): х = 2; X = 2^2 = 4 (первый шаг);   х = 4; X = 4^2 = 16 (второй шаг);   х = 16; X = 16^2 = 256 (третий шаг);   х = 256; X = 256^2 = 65536 (четвертый шаг); и так далее (до бесконечности).

Многие из читателей, наверное, слышали про фракталы - геометрические фигуры, обладающие свойством самоподобия (когда фигура составлена из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком). Причем фракталы - это далеко не только математические образы-"игрушки", ведь достаточно сказать, что первые многоклеточные живые организмы на нашей планете (которые зарождались в океанах и морях 1,5-2 млрд лет назад) по своему внешнему виду были близки именно к простейшим... фракталам. Образно говоря, самый великий эксперимент по формированию живой материи Творец (он же - Его Величество Случай) начинал, "держа перед глазами" чисто... математические конструкции. И, вероятно, для многих читателей будет настоящим откровением узнать, что для формирования сколь угодно сложных (замысловатых, самых "вычурных") фракталов вполне достаточно "работы", например, следующего наипростейшего (и в этом - свой парадокс) рекуррентного соотношения:  

S = s^2 + D,                                                                                    (5)

где S ("большое"), s ("малое"), D = p + iq - это комплексные числа (i - мнимая единица, для которой по определению полагают: i^2 = - 1), причем все вычисления начинаются со значения s = 0 (при любых вещественных значениях p и q). То есть первым шагом вычислений по формуле (5) будет такой результат: S =  x + iy, где x = p и y = q. Каждый последующий шаг описываются следующим образом:

X = x^2 - y^2 + p,      Y = 2xy + q ,                                                         (6)

то есть каждое последующее число (Х и Y - "большое") равно некому выражению от предыдущих значение (х и у - "малое"). Чтобы понять работу рекуррентной формулы (5), эквивалентной формулам (6), возьмите конкретные числовые значения, скажем, p = - 0,52200 и q = 0,49985, а потом вычислите первую пару значений X и Y по формулам (6) - это легко сделать в таблице "Excel". Далее вычисляйте последующие, скажем, 32000 пар значений X, Y и по ним постройте график Y = f(X) (в той же программе "Excel") - перед вами возникнет графический образ "пылающего солнца" (график постройте из самых мелких точек). А если затем вы измените число D, подставив, в исходные данные вашей таблицы, например, p = - 0,51 и q = 0,49, то увидите графический образ "спиральной галактики". Таким образом, вы наглядно убедитесь ("почувствуете"), что простейшая рекуррентная формула (5), действительно, способна порождать весьма и весьма замысловатые "образы" (от которых до настоящих  фракталов - уже "рукой подать").

А теперь сравните между собой рекуррентные формулы (4) и (5) - они имеют, фактически,... одинаковую математическую природу? Разумеется, что понятие о комплексных числах - это куда более сложное (и фантастически загадочное) понятие, нежели понятие о натуральных числах (проще которых уже нельзя ничего представить в своём воображении). Тем не менее, даже выше сказанного, как мне представляется, вполне достаточно, чтобы допустить своеобразную "легитимность" виртуальной космологии, главный тезис которой парадоксален (до безумия): мир натуральных чисел - это наипростейшее "зеркало" реального пространства-времени (его некоторых математических конструкций).