Исаев Александр Васильевич

Тайны многоугольников

Немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777-1855), считается одним из величайших математиков всех времён, "королём математиков". Ещё в 19 лет Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма (3, 5, 17, 257, 65537), то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Столь замечательное открытие произвело на юного Гаусса такое впечатление, что он сразу отказался от филологической карьеры, и решил посвятить свою жизнь математике. Гаусс и позднее смотрел на это первое из своих открытий с особенной гордостью. После смерти Гаусса в Гёттингене была воздвигнута его бронзовая статуя, с пьедесталом в форме правильного 17-угольника (который впервые смог построить сам Гаусс).

Из открытия Гаусса следует, что правильный многоугольник можно построить при помощи циркуля и линейки (это очень важные слова и об этом ещё будет сказано ниже), если число его сторон (G) выражается следующей формулой (теорема Гаусса - Ванцеля):

G = (2^n)(3^a)(5^b)(17^c)(257^d)(65537^f),                                                    (1)

где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... - показатель степени (любое натуральное число),  а показатели степени a, b, c, d, f - принимают значения 1 или 0, при этом 1 - "включает" соответствующее простое число Ферма в формуле (1), а 0 - его "включает", поскольку любое число в степени 0 всегда равно единице (такое правило принято в математике). Поскольку показатель степени n может быть бесконечно большим (натуральным) числом, то и количество сторон у правильного многоугольника неограниченно велико (число G может быть бесконечно большим). Например, формула (1) "разрешает" указанное построение правильного 51-угольника, поскольку мы можем записать:  G = (2^0)(3^1)(5^0)(17^1)(257^0)(65537^0) = 1*3*1*17*1*1 = 51. А вот, например, указанное построение правильного 7-угольника, формула (1) "запрещает", то есть не при каких (из указанных выше) значениях n, a, b, c, d, f - формула (1) не выдаст нам G = 7. Занятно, что в Википедии в статье "Правильный многоугольник", рассказывающей в основном именно о теореме Гаусса - Ванцеля, приведен единственный рисунок и на нём изображен правильный... семиугольник. Однако, повторяю, что правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки. Указанные построения - это особый раздел евклидовой геометрии (известный с античных времён), в которых циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности: линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор (и такая идеализация инструментов весьма существенна с точки зрения математики - предельно строгой в своих рассуждениях науки). Так вот, правильный семиугольник все же можно построить, но только с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям). Из формулы (1) ясно следует, что многоугольники Гаусса - Ванцеля, (ещё раз) построенные с помощью циркуля и линейки, могут иметь лишь следующее число сторон: G = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, и т.д. (до бесконечности).

Из формулы (1) при n = 0 (когда 2^n = 2^0 = 1) мы получаем 32 всевозможных сочетания степенных показателей a, b, c, d, f, то есть 32 - это результат размышлений над чисто комбинаторной задачей. Ниже приведен "графический образ" решения данной задачи - выписаны первые 16 сочетаний показателей a, b, c, d, f (их значений соответственно), а если в первой колонке заменить все 0 на 1, то мы получим и последующие 16 сочетаний. Это позволяет легко вычислить первые 32 значения параметра G.

0 0000

0 0001

0 0010

0 0011

0 0100

0 0101

0 0110

0 0111

0 1000

0 1001

0 1010

0 1011

0 1100

0 1101

0 1110

0 1111

Найденные таким образом 32 сочетания (числовых значений a, b, c, d, f), после подстановки их в формулу (1), дают нам 32, скажем, базовых, значения G (после их сортировки по возрастанию): 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295. Здесь также уместно заметить, что число 32 не только в (виртуальном) мире натуральных чисел, но и в реальной природе также обладает некой "магией", и вот тому "доказательства": 32 варианта расположения атомов вокруг узла решетки (см. кристаллографию); почти 32 скопления галактик в крупнейшем из сверхскоплений (галактик); 32 зуба у человека; 33-34 позвонка в позвоночнике человека; (26 костей в стопе ноги и 27 костей в кисти руки человека); 32 краски на палитре художника (это разумный максимум цветов); до 33 основных языков насчитывается на нашей планете; до 33 букв содержат большинство алфавитов на планете; 33 термина указывают темп в музыке; 33 значимых религии на планете; 33 года - "возраст Христа" (расцвет человека); 39 спутников у Юпитера (это максимум в Солнечной системе); 46 хромосом в структуре ДНК; и т.д. (см. в Википедии статью "32 (число)", сами дополните список подобных примеров "магии" числа 32).

Всё остальное (бесконечное!) множество "разрешенных" значений G мы получаем путем умножения 32 базовых значений на число 2^1 = 2, на число 2^2 = 4, на число 2^3 = 8, на число 2^4 = 16, и т.д. - именно так мы и получаем все возможные количества сторон (G) по формуле (1). При этом встает вопрос о том, каким значением G имеет смысл ограничиться (в наших исследования)? В рамках виртуальной космологии ответ будет следующим. Радиус видимой нами Вселенной можно принять равным R = 8*10^60 планковских длин (планковскую длину квант света проходят за планковское время), значит, длина (гипотетической) наибольшей окружности во Вселенной будет порядка 2*ПИ*R = 2*3,14*R = 5*10^61 планковских длин. Поэтому в первом приближении можно полагать, что всю нашу Вселенную может "охватить" правильный многоугольник, у которого число сторон порядка G = 5*10^61, поскольку сторона любого мыслимого  многоугольника, очевидно, не может быть меньше планковской длины - этот запрет накладывает современная нам теоретическая физика. Если все возможные многоугольники Гаусса - Ванцеля, "генерируемые" формулой (1), отсортировать по возрастанию параметра G, то мы получим "всего лишь" 6060 многоугольников (не так уж и много по сравнению с колоссальным числом 5*10^61), у наибольшего из которых число сторон будет равно G = (2^177)(3^1)(5^1)(17^0)(257^1)(65537^1) = 4,8*10^61 (разумеется, что это округленное значение G). Следующим будет 6061-й многоугольник с числом сторон G = (2^197)(3^1)(5^1)(17^1)(257^0)(65537^0) = 5,1*10^61. При этом можно озадачиться следующим вопросом: число 6060 (или более осторожно - около 6000) также обладает некой "магией" в реальной природе?

Сколько многоугольников Гаусса - Ванцеля, то есть "генерируемых" формулой (1), находится между значениями от G = 10^(B-1) (включительно) до G = 10^B? Ответ на этот вопрос довольно интересен и по-своему красив. При В = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 61, 62 речь идет о следующих интервалах значений: от G = 10^0 до G = 10^1; от G = 10^1 до G = 10^2;  от G = 10^2 до G = 10^3; ...; от G = 10^61 до G = 10^62. Показатель степени В можно также понимать в качестве номера соответствующего интервала. Здесь выявляются следующие закономерности. Первые 9 интервалов (при В = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) содержат следующее количество (К) многоугольников Гаусса - Ванцеля (количество значений параметра G в каждом из этих первых 9-ти интервалов): К = 7, 19, 28, 41, 52, 61, 74, 83, 93. То есть в интервале от G = 1 до G = 10 есть 7 многоугольников; в интервале от G = 10 до G = 100 есть 19 многоугольников; в интервале от G = 100 до G = 1000 есть 28 многоугольников; ... ; в интервале от G = 100.000.000 до G = 1.000.000.000 есть 93 многоугольника Гаусса-Ванцеля. Указанный рост параметра К можно довольно точно описать линейной функцией (линией тренда, полученной с помощью программы "Excel"):

К = 10,8*В - 3,1111.                                                                       (2)

Важное замечание. В первом интервале (при В = 1, где G растет  от 1 до 10) первые многоугольники Гаусса-Ванцеля - это многоугольники с числом сторон... G = 1 и G = 2. "Сходу" нельзя ни представить, ни объяснить столь "экзотические" многоугольники (с одной и двумя сторонами!), тем не менее, формула (1) их "выдает", поэтому будем с этим считаться, но пока не будем задавать вполне законный вопрос - а что бы это значило (G = 1 и G = 2)? Попробуйте сами пофантазировать на этот счёт.

В последующих 52-х интервалах (при В = 10, 11, 12, 13, ..., 60, 61) мы будем получать (на первый взгляд - число случайным образом?) значения исключительно из следующего ряда: К = 104, 106, 108, 110, 112. Для указанных 52-х значений К линию тренда можно описать такой формулой:

К = 106,61 - ПТС*В,                                                                        (3)

где ПТС = 0,00729735308 - постоянная тонкой структуры (она примерно равную числу 1/137). ПТС - самая загадочная (и безразмерная) фундаментальная физическая константа. Ричард Фейнман (1918-1988), выдающийся американский физик-теоретик, один из "отцов" квантовой электродинамики (объясняющей фундаментальные основы мироздания), лауреат Нобелевской премии по физике (1965 г), как-то назвал постоянную тонкой структуры - "одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком...". Ещё можно добавить, линия тренда (3) проходит чуть выше точки К = 106 и это единственное именно такое значение К (при В = 36) среди указанных 52-х значений К. При В = 60 и В = 61 имеем К = 108, а вот уже при В = 62 - мы получим К = 104.

Если ввести обозначения: Z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... - порядковый номер многоугольника Гаусса-Ванцеля (после сортировки их всех по возрастанию параметра G), то тогда для параметра G можно записать следующие приближенные формулы (законы роста G):

при Z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 500 получаем:  G = exp(0,955*Z^0,5),                                         (4)

при Z = 501, 502, 503, ..., 31000 получаем:  G = 45890*exp(0,02166085*Z).                          (5)

Эти формулы также подтверждают, что в начале (при Z = 1, 2, 3, ..., 500) происходит, вообще говоря, довольно бурный рост параметра G (он увеличивается почти на 9 порядков), и этот рост в 2-3 раза быстрее, чем по "классической" экспоненте, каковой является в частности и формула (5). После столь бурного роста (условно говоря, после Z = 500 и G = 2.155.905.152) параметр G растет, вообще говоря (то есть в среднем), близко к экспоненте (5). При этом у 94% всех значений, полученных по формуле (5) (при указанных Z) модуль относительной погрешности G не превысит 9,4%. И вполне возможно, что указанный (близкий к нему) экспоненциальный рост G происходит при бесконечном увеличении порядкового номера Z. Так, например, 32272-й многоугольник Гаусса-Ванцеля (при Z = 32272) содержит порядка G = 1,78*10^308 сторон - такой многоугольник-монстр даже и не пытайтесь представить в своём воображении...

В заключение привожу главный вопрос виртуальной космологии в части многоугольников Гаусса-Ванцеля - эти многоугольники (математические закономерности, описывающие их) имеют отношение к реальному (физическому) миру? Сам я на данный вопрос, как всегда, отвечаю утвердительно, хотя данная статья (тоже как обычно) не содержит очевидных доказательств...