Исаев Александр Васильевич. Раздел 1. Введение

Исаев Александр Васильевич

Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ

АННОТАЦИЯ

Эта книга рассказывает прежде всего о красоте, гармонии и совершенстве мира натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Разумеется, что я - далеко не первый, кто со священным трепетом относится к миру чисел. Здесь прежде всего следует назвать Пифагора (570 - 490 гг. до н. э.), который по преданию первым назвал себя философом, то есть 'любителем мудрости'. Он же впервые назвал вселенную космосом, то есть 'прекрасным порядком'. Предметом его учения был мир как стройное целое, подчиненное законам гармонии и числа. Мировая гармония, в которой заключается закон мироздания, есть единство во множестве и множество в единстве. Как мыслить эту истину? Непосредственным ответом на это является число: в нём объединяется множество, оно есть начало всякой меры. Так называемые пифагорейцы, взявшись за математические науки, первые подвинули их вперёд; вскормленные на этих науках, они признали математические начала за начала всего существующего. Из таких начал, естественно, первыми являются числа. В числах усматривали они множество аналогий или подобий с вещами. Далее они наводили в числах свойства и отношения музыкальной гармонии, и так как все прочие вещи по своей природе являлись им подобием чисел, числа же - первыми из всей природы, то они и признали, что элементы числа суть элементы всего сущего, и что все небо есть гармония и число (Аристотель, Met., I, 5).

Моё 'учение' можно назвать пифагореизмом XXI века, поскольку в мире чисел я нахожу некие 'отражения' самых последних открытий в физике, например, теории струн, которая пытается объединить в себе микромир элементарных частиц с законами бескрайнего космоса. А моё ключевое 'ноу-хау' - отождествление ряда натуральных чисел с потоком квантов времени (планковских времен) - также было просто невозможно во времена Пифагора. Моё 'учение' похоже на пифагореизм в том смысле, что отчасти оно также подпадает под определения такого понятия, как... 'религия'. И, несмотря на 'гробовое молчание' со стороны профессионалов (физиков и математиков), я продолжаю просто верить в могущество мира чисел, в тот для меня совершенно очевидный факт, что мир чисел 'отражает' фундаментальные основы мироздания.

Излагаемый мной материал доступен очень многим, начиная со школьников старших классов. Более того, моя книга полезна даже тем, кто якобы 'не любит' математику, поскольку ещё великий английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон (ок. 1214-1294) сказал: 'Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества'. А вот читатели, знакомые хотя бы с общеизвестной программой 'Excel', вполне могут не только проверить мои многочисленные гипотезы, но и сами смогут выполнять подобные исследования мира чисел на компьютере. И если раньше читатель, наверняка, оценивал мои труды словами 'Всё это - чепуха' (моя первая книга вышла в свет в 1998 г.), то теперь уже угадывается более осторожная оценка: 'В этом что-то есть'. Остается только надеется, что в скором будущем очень многие скажут о подобных исследованиях мира чисел, что, мол, 'Это всё - так очевидно!'...

1. ИЗРЕЧЕНИЯ ВЕЛИКИХ

В данной главе собраны изречения великих людей о мире чисел (и математике в целом). Именно в подобных пророческих словах я черпаю силы для своих дальнейших трудов, поскольку круг моего общения, практически, равен нулю, и даже в Интернете у меня почти не находится единомышленников. Ну а профессионалы (физики и математики), увы, просто... отмалчиваются в части мои исследований, гипотез, текстов...;

Пифагор (ок. 570-500 до н. э.)
'Бог - это число'. 'Самое мудрое - число'. 'Числу же все подобно'.
'Первообразы и первоначала не поддаются ясному изложению на словах, потому что их трудно уразуметь и трудно высказать, - оттого и приходится для ясности обучения прибегать к числам'.
'Все происходит не из числа, но сообразно с числом, ибо в числе - первичная упорядоченность..."

Роджер Бэкон (ок. 1214-1292)
'Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества'.

Леонардо да Винчи (1452-1519)
'Тот, кто порицает высшую точность математики, кормится за счет путаницы и никогда не отступится от уловок софистских наук, порождающих бесконечную болтовню'. ...
"Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук".

Леонард Эйлер (1707-1783)
'Из всех проблем, рассматриваемых в математике, нет таких, которые считались бы в настоящее время более бесплодными и лишенными предложений, чем проблемы, касающиеся природы чисел и их делителей.... В этом отношении нынешние математики сильно отличаются от древних, придававших гораздо большее значение исследованиям такого рода. ... Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой степени совершенства, если бы древние не посвятили столько сил развитию вопросов, которыми сегодня большинство пренебрегает из-за их мнимой бесплодности'.

Карл Гаусс (1777-1855)
'Математика - королева наук, а теория чисел - королева математики'.

Карл Якоби (1804-1851)
'... Единственной целью науки является возвеличить человеческий ум, и при таком подходе вопрос о числах столь же значителен, как вопрос о системе мира'.

Леопольд Кронекер (1823 - 1891)
'Целые числа сотворил господь бог, а все прочее - дело людских рук'.

Анри Пуанкаре(1854-1912)
'... для чего нужна математика? ...
Я должен установить различие между людьми, задающими подобные вопросы. Люди практические требуют от нас только способов наживы денег. Эти люди не заслуживают ответа. Скорее следовало бы их спросить, для чего накапливают они богатства и нужно ли тратить время на их приобретение и пренебрегать искусством и наукой, которые только и делают наш дух способным наслаждаться'.

Дж. Литлвуд (1885 -1977)
'Теперь уже всеми признано, что чистая математика может привести к неожиданным выводам и даже оказать влияние на повседневную жизнь.'
'Теория чисел, более чем какая-либо другая математическая дисциплина, беззащитна перед упреком, что некоторые из её проблем возникают в связи вопросами, которых вообще не следовало бы ставить. Я лично думаю, что опасность серьезна; в результате концентрированного обдумывания в течение разумного времени либо появляются новые идеи и методы, либо проблему приходится просто оставить. 'Совершенные числа' заведомо никогда никакой пользы не принесли, но они и не причинили особого вреда'.

А. С. Безикович (1891 -1970)
'Репутация математика основывается на числе плохих доказательств, которые он придумал. (Работы первооткрывателей неуклюжи)'.

Ричард Фейнман (1918 - 1988)
'... физическое представление о мире... составляет сейчас главную часть культуры нашей эпохи'.

2. МОИ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Сайты Интернета, вообще говоря, не рассчитаны на тексты с математическими символами, формулами, графиками. Даже простейшие символы разные сайты 'понимают' по-разному или вообще 'не понимают'. Это более чем странно, если учесть, что Истина написана явно на языке математики (см. выше изречения великих людей). Однако всё это - тема для отдельного серьезного разговора. Здесь я только добавлю, что мои тексты выглядят довольно странно для глаз профессионалов (физиков, математиков). Например, даже простейшие математические выражения я буду записывать, вообще говоря, так, как это делается в... формулах программы 'Excel':

10^3 - это число 10 в степени 3 (когда число 10 умножается на само себя 3 раза: 10∙10∙10 = 1000);

10^-35 - это число 10 в степени 'минус' 35 (то есть 1/10^35 - это единица, деленная на число 10^35);

N^0,5 - это число N в степени 0,5 (или в степени 1/2, то есть это - корень квадратный из числа N).

Эти и им подобные математические 'странности' просто позволяют мне размещать свои тексты на самых разных сайтах Интернета без лишних доработок (редактирования). А внимательный читатель довольно легко привыкает к подобным 'странностям' в тексте, особенно если его интересует прежде всего смысл самого текста...

+, -, =; - арифметические операции: 'сложение', 'вычитание', 'равно';

× (или 'х'), /,^ - 'умножение', 'деление', 'возведение в степень' ('крышка');

8E+60 = 8×10^60 экспоненциальный числовой формат (может быть на графиках в моей книге);

(R^2) - величина достоверности аппроксимации линии тренда на графике (в идеале устремляется к единице);

∞ - бесконечность (как противопоставление понятию конечного);

N → ∞ - означает, что величина N стремиться к бесконечности;

∑, П, √,∫ - сумма, произведение, корень квадратный, интеграл;

<, >, ≤, ≥ - 'меньше', 'больше', 'меньше (больше) или равно';

≡ - 'равно по определению', например n ≡ 1×2×3× ...×n;

n! - факториал, то есть n ≡ 1×2×3× ...×n (формула из комбинаторики);

≈ - символ приближенного равенства, например, "пи"^2 = 3,14^2 ≈ 10;

const - числовая константа (когда её значение для нас не существенно);

N = f(X) - величина N является некой функцией (f) от величины Х (это - аргумент данной функции);

lgN - логарифм десятичный числа N [строго говоря, надо писать lg(N)] - элементарная функция;

lnN - логарифм натуральный числа N [строго говоря, надо писать ln(N)] - элементарная функция;

lnlnN - двойной натуральный логарифм числа N [строго говоря, следует писать ln(ln(N))];

exp(N) - показательная функция с основанием е = 2, 718..., иначе говоря, exp(N) = e^N (число 'е' в степени N);

abs(N) - абсолютная величина (модуль) числа N, то есть число N без учета его знака ('плюс' или 'минус');

max, min - максимум, минимум (например, для некой величины Т можно записать: Tmin, Tmax);

lim - предел (функции, последовательности, и проч.);

А(N) - функция 'антье' (целая часть числа x), например, если x = 5,761, тогда А(x) = 5;

(а; b), [a; b], (a; b] - интервал, отрезок, полуинтервал (где a и b - некие целые числа, причём a < b);

~ (тильда) этот математический символ в моей книге имеет два значения:

- равенство порядков (например, число N ~ 10^3 может означать, скажем, как N = 630, так и N = 2050);

- знак асимптотического равенства (например, в законе K ~ N/lnN, о котором будет рассказано ниже).

3. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Возраст Вселенной - время, прошедшее с момента, когда появилась Вселенная (время, материя, звёзды, планеты и т. п.). Современная наука считает, что наша Вселенная появилась около 13,75 млрд. лет назад ('плюс-минус' 0,11 млрд. лет). Это оценка принята на основе одной из распространённых моделей Вселенной - так называемой стандартной космологической ΛCDM-модели. Так как уже в специальной теории относительности время зависит от движения наблюдателя, а в общей теории относительности - ещё и от положения, то нужно уточнить, что понимается в таком случае под возрастом Вселенной. В современном представлении возраст Вселенной - это максимальное время, которое измерили бы часы с момента Большого взрыва до настоящего времени, попади они сейчас нам в руки. Очевидно, что возраст Вселенной легко выразить в секундах:

13.750.000.000 лет ∙ 365 дней ∙ 24 часа ∙ 60 минут ∙ 60 секунд = 433.620.000.000.000.000 = 4,3∙10^17 секунд.

Радиус Вселенной - это путь, пройденный фотонами (квантами) света за всё время существования Вселенной (за 4,3∙10^17 секунд). Поскольку скорость света в вакууме известна (299792458 км/с), то умножив эту скорость на возраст Вселенной - мы получаем... радиус Вселенной: 1,3∙10^26 метров.

Большой взрыв - это космологическая теория начала расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Современные представления теории Большого взрыва и теории горячей Вселенной сводятся к следующему. Вселенная возникла 13,75 млрд лет назад из некоторого начального 'сингулярного' состояния и с тех пор непрерывно расширяется и охлаждается. Согласно известным ограничениям по применимости современных физических теорий, наиболее ранним моментом, допускающим описание, считается момент Планковской эпохи с температурой примерно 10^32 K (Планковская температура) и плотностью около 10^93 г/куб.см (Планковская плотность). Ранняя Вселенная представляла собой высокооднородную и изотропную среду с необычайно высокой плотностью энергии, температурой и давлением. В результате расширения и охлаждения во Вселенной произошли фазовые переходы, аналогичные конденсации жидкости из газа, но применительно к элементарным частицам.

Приблизительно через 10^−35 секунды (это меньше мгновения!) после наступления Планковской эпохи фазовый переход вызвал экспоненциальное расширение Вселенной. Данный период получил название Космической инфляции. После окончания этого периода строительный материал Вселенной представлял собой кварк-глюонную плазму. По прошествии времени температура упала до значений, при которых стал возможен следующий фазовый переход, называемый бариогенезисом. На этом этапе кварки и глюоны объединились в барионы, такие как протоны и нейтроны. При этом одновременно происходило асимметричное образование как материи, которая превалировала, так и антиматерии, которые взаимно аннигилировали, превращаясь в излучение.

Дальнейшее падение температуры привело к следующему фазовому переходу - образованию физических сил и элементарных частиц в их современной форме. После чего наступила эпоха нуклеосинтеза, при которой протоны, объединяясь с нейтронами, образовали ядра дейтерия, гелия-4 и ещё нескольких лёгких изотопов. После дальнейшего падения температуры и расширения Вселенной наступил следующий переходный момент, при котором гравитация стала доминирующей силой. Через 380 тысяч лет после Большого взрыва температура снизилась настолько, что стало возможным существование атомов водорода (до этого процессы ионизации и рекомбинации протонов с электронами находились в равновесии). После эры рекомбинации материя стала прозрачной для излучения, которое, свободно распространяясь в пространстве, дошло до нас в виде реликтового излучения.

Экстраполяция наблюдаемого расширения Вселенной назад во времени приводит при использовании общей теории относительности и некоторых других альтернативных теорий гравитации к бесконечной плотности и температуре в конечный момент времени в прошлом. Более того, теория не даёт никакой возможности говорить о чём-либо, что предшествовало этому моменту (потому, что наша математическая модель пространства-времени в момент Большого взрыва теряет применимость: при этом теория вовсе не отрицает возможность существования чего-либо до Большого взрыва), а размеры Вселенной тогда равнялись нулю - она была сжата в точку. Это состояние называется космологической сингулярностью и сигнализирует о недостаточности описания Вселенной классической общей теорией относительности. Насколько близко к сингулярности можно экстраполировать известную физику, является предметом научных дебатов, но практически общепринято, что допланковскую эпоху рассматривать известными методами нельзя. Многие учёные полушутя-полусерьёзно называют космологическую сингулярность 'рождением' (или 'сотворением') Вселенной. Невозможность избежать сингулярности в космологических моделях общей теории относительности была доказана в числе прочих теорем о сингулярностях Роджером Пенроузом и Стивеном Хокингом в конце 1960-х годов. Её существование является одним из стимулов построения альтернативных и квантовых теорий гравитации, которые стараются разрешить эту проблему.

'Вообще говоря' - это выражение на строгом языке математики означает, что 'бывают случаи, когда это не так'. Например, можно с уверенностью сказать, что люди с гуманитарным образованием, вообще говоря, не станут читать данную мою книгу (увы, уже буквально следующий абзац может 'отпугнуть' таких читателей).

Математическая константа - величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических констант (см. далее), математические константы определены независимо от каких бы то ни было физических измерений. Ниже приведены свыше 20 общепринятых математических констант (в порядке возрастания их абсолютной величины), с точностью, вообще говоря, до 9-й цифры после запятой (у 12-ти констант известно гораздо больше значащих цифр). Надо полагать, что количество математических констант может увеличиваться со временем в связи с новыми исследованиями в математике.

-0,0000000027 константа де Брюйна - Ньюмана (теория чисел);

0,007874997 константа Хайтина (теория информации);

0,261497212 константа Мейсселя - Мертенса (теория чисел);

0,577215664 постоянная Эйлера - Маскерони (теория чисел);

0,660161815 константа простых близнецов (теория чисел);

0,70258 константа Эмбри - Трефтена (теория чисел);

0,764223653 константа Ландау - Рамануджана (теория чисел);

0,870588380 константа Бруна для простых четвёрок (теория чисел);

0,915965594 константа Каталана (комбинаторика);

1,08366 константа Лежандра (англ.) (теория чисел);

1,131988240 константа Висваната (теория чисел);

1,414213562 константа Пифагора, квадратный корень из 2 (обычная математика);

1,451369234 константа Рамануджана - Солднера (теория чисел);

1,606695152 константа Эрдёша - Борвейна (теория чисел);

1,618033988 золотое сечение или число Фидия (обычная математика);

1,732050807 константа Теодоруса, квадратный корень из 3 (обычная математика);

1,902160582 константа Бруна для простых близнецов (теория чисел);

2,502907875 константа Фейгенбаума (теория хаоса);

2,718281828 число 'е' или константа Непера, основание натурального логарифма (обычная математика);

3,058198247 константа Поля-Гаусса (теория чисел);

3,141592653 число 'пи', архимедова константа (обычная математика);

4,669201609 константа Фейгенбаума (теория хаоса);

6174 постоянная Капрекара (теория чисел).

Физические константы (фундаментальные физические постоянные)

В отличие от незыблемых (вечно неизменных) математических констант, физические константы, вероятно, могут... меняться(!) в ходе эволюции Вселенной - некие научные свидетельства этого (правда, ещё весьма спорные) появились в последние годы. Однако даже если физические константы и меняются со временем, то крайне медленно, и сколько-нибудь заметные изменения стоит ожидать лишь на масштабах порядка возраста Вселенной (около 13,75 млрд. лет). Иначе говоря, темпы изменения физических констант настолько мизерны, что они пока находятся за гранью технических возможностей экспериментальной науки. Трудно переоценить научное (в том числе философское) значение физических констант, ведь они характеризуют свойства нашего мира (Вселенной) в целом и возникают при математическом (и единственно верном!) описании окружающего мира с помощью теоретической физики. К фундаментальным физическим постоянным (их много и самых разных), в частности, относятся:

- гравитационная постоянная (G) [в круглых скобках - буквенное обозначение в рамках данной книги];

- постоянная Планка (h) [квант действия - основная константа квантовой теории, у её истоков стоял Макс Планк];

- элементарный электрический заряд (Е) [минимальная порция (квант) электрического заряда];

- планковский заряд (Qпл) [одна из основных единиц измерения планковской системы единиц];

- скорость света в вакууме (с), равная 299792458 км/с, причём в природе (во Вселенной) ничто не может двигаться быстрее, чем фотоны (кванты) света.

Планковская длина (элементарная длина)

С помощью трех физических констант (G, h, c) физики 'сконструировали' (по нехитрой формуле) новую физическую константу, которую назвали планковской длиной (Lпл):

Lпл = [h/(2пи)∙G/c^3]^(1/2) = 1,616∙10^-35 метра. (3.1)

По своим размерам планковская длина находится далеко за гранью человеческого воображения. Судите сами. Мы легко можем представить себе один миллиметр (мм) - это одна тысячная (1/1000) доля метра (м); то есть, с точки зрения математики, 1 мм - это 0,001 м или, иначе говоря, это 10 в 'минус' 3-й степени (10^-3) от длины метра. Самые 'зоркие' из нас, вероятно, могут представить себе даже один... микрон (мкм) - это одна миллионная ( 1/1000000) доля метра, то есть 1 мкм - это 10 в 'минус' 6-й степени (кстати, толщина человеческого волоса - в среднем 80 мкм, а на срезе такого волоса умельцы могут нарисовать даже... целую картину!). А теперь попробуйте представить себе долю метра, записанную как 10 в 'минус' 35-й степени - именно этому и равна планковская длина! Американский физик Брайан Грин (род. 1963 г.), один из наиболее известных специалистов по теории струн, в своей знаменитой научно-популярной книге 'Элегантная Вселенная...' приводит такое сравнение: если крошечный атом (цезия) увеличить до диаметра Вселенной (2,6∙10^26 м), то даже тогда планковская длина станет равной всего, лишь высоте среднего дерева (9 метров). Заметим, что среди атомов всех известных химических элементов атом цезия имеет наибольший диаметр порядка 4,5∙10^-10 м, а самый маленький атом - это атом гелия с диаметром около 6,4∙10^-11 м.

Планковское время (элементарный временной интервал)

Планковское время (Tпл) - это время, за которое фотоны (кванты) света преодолеют планковскую длину:

Tпл = Lпл/c = 5,391∙10^-44 секунды. (3.2)

Для краткости изложения вместо термина 'планковское время' мы часто будем использовать следующее обозначение: эви - элементарный временной интервал. Это минимальный временной интервал, который требуется для протекания любого мыслимого физического события. Причем, некоторые теории утверждают, что на этом уровне время уже квантуется, носит дискретный характер, хотя в обыденной жизни время представляется нам чем-то непрерывным (как 'река времени'). На сегодняшний день самый маленький экспериментально наблюдаемый промежуток времени составляет порядка аттосекунды (10^−18 секунды), что соответствует порядка 10^25 эви.

Все планковские величины (длина, время, масса и т.д.) - это также важнейшие физические константы.

Согласно теории Большого взрыва, мы ничего не можем сказать про Вселенную в начальный момент времени, хотя предполагается, что в ней присутствуют все фундаментальные взаимодействия, а также все виды материи и энергии. Пространство-время начинает расширяться из одной точки. Спустя один эви (одно планковское время) после этого события, согласно современной теоретической физике, гравитационные силы отделяются от остальных сил.

Время, прошедшее с момента Большого взрыва (13,75 млрд. лет = 4,3∙10^17 секунд), примерно равняется 8∙10^60 эви, или (в первом приближении) 10^61 эви.

Пространство-время - это основные формы существования материи, которые имеют решающее значение для построения физической картины мира, нашей Вселенной. В современной квантовой теории пространству и времени отводится центральная роль, существуют даже гипотезы, где видимое вещество (состоящее на 99,9% из атомов водорода и гелия) рассматривается не более как возмущение этой основной структуры. Средняя плотность видимого вещества во Вселенной оценивается как 1 атом водорода на куб пространства с ребром 2,6 м (это можно представить как один атом водорода в... небольшой комнатке), то есть наша Вселенная - это почти 'пустое' пространство-время, которое, возможно (с точки зрения науки), дискретно (при самом глубоком рассмотрении - на уровне планковских размеров) и расширяется.

Расширение Вселенной - это явление, предсказываемое общей теорией относительности и состоящее в однородном и изотропном расширении космического пространства в масштабах всей Вселенной. Экспериментально расширение Вселенной наблюдается в виде выполнения закона Хаббла. Началом расширения Вселенной наука считает так называемый Большой взрыв. Расширение Вселенной - всего лишь гипотеза с большим числом допущений. Одно из них - расчет скорости изменения расположения объектов во Вселенной на основе наблюдений при помощи различных телескопов. Однако это не значит, что наблюдаемый закон движения можно экстраполировать на другие периоды времени.

В соответствии с теорией относительности, Вселенная имеет три пространственных измерения и одно временное измерение. Концепция пространства-времени сыграла исторически ключевую роль в создании геометрической теории гравитации. В рамках общей теории относительности гравитационное поле сводится к проявлениям геометрии четырехмерного пространства-времени, которое в этой теории не является плоским.

Количество измерений, необходимых для описания Вселенной, окончательно не определено. Теория струн (суперструн), например, требовала наличия 10 (считая время), а теперь даже 11 измерений (в рамках М-теории). Предполагается, что дополнительные (ненаблюдаемые) 6 или 7 измерений свёрнуты (компактифицированы) до планковских размеров, так что экспериментально они пока не могут быть обнаружены. Ожидается, тем не менее, что эти измерения каким-то образом проявляют себя в макроскопическом масштабе.

Большой отрезок - это отрезок натурального ряда [0; N*], содержащий столько целых чисел, сколько планковских времен (эви) содержится в возрасте Вселенной. То есть Большой отрезок это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., N*, где N* = 8×10^60 - условная (примерная) граница Большого отрезка, поскольку точный возраст Вселенной не известен (см. выше). Для самых грубых оценок можно полагать, что N* = 10^61.

Большой отрезок имеет дискретную структуру, ведь мы рассматриваем целые числа (0, 1, 2, 3, 4, ...), причём последние, можно сказать,... 'расширяются': 0, 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ... . И если каждую единицу отождествлять с планковским временем (эви), то тогда натуральный ряд воплощает собой простейшую математическую модель пространства-времени - это ключевая гипотеза моей теории (виртуальной космологии). Разумеется, эта гипотеза весьма спорная, однако само по себе отождествление ('математической') единицы с ('физическим') планковским временем (эви) - идея вполне плодотворная, ведь благодаря этому натуральный ряд и сухие математические законы (теории чисел) словно 'оживают' во времени и в нашем воображении... Это, как минимум, может служить делу популяризации основ математики среди самых широких читательских кругов.

Виртуальная космология - это одно из последних названий моей теории, которая зарождалась в 1997 г. Именно тогда я начал проводить всевозможные исследования натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... с помощью персонального компьютера (ПК), причём построение и анализ графиков - стали главным инструментом для проникновения в тайны мира чисел. Вот почему наработанный таким путем материал я назвал - графической теорией натуральных чисел (ГТНЧ) или мирами Исаева (все натуральные числа я 'поделил' на разные миры, см. об этом ниже). В отличие от общеизвестной теории чисел (довольно сложного раздела высшей математики), ГТНЧ была общедоступна для самой широкой аудитории. Замечу, что умение работать в электронной таблице 'Excel', и, тем более, умение написать несложную программку для ПК - сулит всякому любознательному читателю множество 'открытий чудных' в бесконечных и таинственных недрах натурального ряда. Например, у меня таких 'открытий' набралось на 9 книжек, которые изданы за мой счёт в 1997 - 2006 гг. (в Интернет я вышел только в конце 2009 г.).

В 2007-2008 гг. я открыл для себя любопытную аналитическую связь действительных чисел из интервалов (0; 1) и (1; 2) с остальными (большими) действительными и натуральными числами. Поэтому название 'ГТНЧ' стало уже 'тесным', и зародилось новое название для моей теории - 'виртуальная космология' (или опять же - миры Исаева, но теперь уже, скорее, в философском смысле: как моё мировоззрение, как пифагореизм XXI века и т.п.).

Разумеется, что виртуальная космология не должна противоречить общепризнанной математике и физике, но, в виду явно недостаточной компетентности автора, такое, увы, может иметь место в моих книгах. Кроме того, следует напомнить читателю прописную истину: любая новая теория просто обречена на ошибки.

Характерная особенность виртуальной космологии в том, что она сплошь и рядом апеллирует к реальному физическому миру в крайне сомнительных и, вместе с тем, любопытных, интригующих рефлекциях.

Рефлекция (от позднелат. reflexio - отражение) - труднообъяснимое 'отражение' миром чисел реальной (физической) действительности (реальной структуры пространства-времени, структуры Вселенной). Мной придуманный термин 'рефлекция' призван подчеркнуть проблематичность моих аналогий: не чёткие отражения, а 'Бог знает что...' - какие-то рефлекции. Скептики могут считать, что рефлекции - это всего лишь... рефлексии автора, но это, как мне кажется, далеко не худшее применение нашего разума...

Мои рефлекции - это попытка доказать, что абстрактный мир чисел и реальный физический мир - изоморфны (хотя бы отчасти, если такое вообще возможно). Понятие 'изоморфизм' можно пояснить на примере следующего утверждения: количество разбиений выпуклого семиугольника на треугольники равно количеству вариантов расстановки скобок для 6 букв. То есть триангуляция многоугольников изоморфна (подобна) задаче расстановки скобок (приводящей к числам Каталана).

Рефлекции не образуют единой картины, они могут даже противоречить друг другу. Но в них есть нечто притягательное и, наверняка, поучительное для пытливого ума. Кроме того, рефлекции просто дополняют любопытными научными фактами основной текст книги (если отбросить все мои 'фантазии'). Например, много рефлекций посвящено постоянной тонкой структуры, которая сама по себе - одна из загадочных тайн физики.

Сингулярность как место, где ещё не начинается действие известных нам законов, в натуральном ряде, безусловно, существует - это его начало. Именно там 'не работают' почти все формулы классической теории чисел и моей ГТНЧ: формулы там либо вообще не имеют смысла (скажем, получаем деление на нуль), либо дают огромную относительную погрешность (см. ниже).

Сингулярность в мире натуральных чисел это, во-первых, интервал между нулём и единицей (0; 1); а во-вторых, это некий отрезок [1; Nс], где Nс - число, до сих пор вызывающее у меня вопросы. Скорее всего, Nс меньше числа 10^17 (эви), то есть сингулярность в ГТНЧ явно меньше аттометра (10^-18 метра или 10^-27 секунды).

Любопытно, что если физики в своих экспериментах мечтают опуститься ниже аттометра, то в ГТНЧ наоборот - можно только мечтать о компьютерах, способных легко оперировать числами порядка 10^17 и более того. Ведь это пока недоступно даже самому мощному компьютеру (IBM, 2004 г.), выполняющему 7,1×10^13 операций в секунду. А вот в мире чисел сингулярность - 'как на ладони', поэтому и возникает соблазн найти в начале натурального ряда 'отражения' физического мира, его сингулярности.

Относительная погрешность (ОП) приближения B*. Так мы будем называть следующее выражение:

ОП = (B - B*)/B*, (3.4)

где B* - найденное нами приближенное значение величины B. Как правило, величина B является неизвестной нам функцией f от аргумента N, то есть B = f(N). Но вместо истинной функции f (которой может вообще не существовать!) нам удается найти только некое грубое приближение - функцию B* = f*(N). После чего мы оцениваем ОП (обычно в %) и принимаем решение о пригодности функции f* для наших оценок в рамках виртуальной космологии. Такой инженерный подход абсолютно неприемлем с точки зрения классической теории чисел, но следует помнить, что задача виртуальной космологии на первом этапе - это получение хотя бы неких качественных результатов и оценок в пределах Большого отрезка.

Эви-конвертация

Поскольку за планковское время (за 1 эви) фотоны света проходят путь равный 1,6×10^-35 м (планковскую длину), то единицу натурального ряда можно отождествлять не только с 'квантом' времени, но и с 'квантом' длины (с планковским размером). Тогда весь Большой отрезок окажется равным характерному размеру Вселенной:

(1,6×10^-35 м)×(8×10^60 эви) = 1,3×10^26 м.

Таким образом, работая в рамках ГТНЧ полезно помнить, что каждая ('математическая') единица, 'формирующая' натуральный ряд, 'равна' (символизирует собой) 1 эви = 5,4×10^-44 сек = 1,6×10^-35 м.

Очевидно, что подобно Большому отрезку любой другой отрезок натурального ряда (любой длины) с помощью эви можно перевести в промежутки времени (в секунды) или в отрезки длины (в метры). Подобный перевод мы и будем называть эви-конвертацией.

Малый отрезок - это отрезок [1; 10^20]. После эви-конвертации его длина будет эквивалентна:

5,4×10^-44×10^20 = 10^-23 секунды,

то есть Малый отрезок можно отождествлять с ядерным временем или с характерным размером протона - частицы первостепенной важности для ядерной физики (например, протон входит в состав ядра любого атома). Ядерное время - это время за которое свет пересечет протон. Физически это наименьший интервал времени, который требуется, чтобы протон наблюдался как единое целое.

Центральный отрезок - это отрезок [1; 10^35]. После эви-конвертации центральный отрезок будет равен 1,616 м, что, практически, соответствует среднему росту человека на планете и может являться характерным размером мира 'человеческих' масштабов. Отрезок условно назван 'центральным', так как в логарифмической шкале число 10^35 находится почти в центре Большого отрезка (современной нам эпохи, которую символизирует число 10^61). Заметим, что общую картину мироздания позволяет увидеть именно логарифмическая шкала (и никакая другая), при этом рост человека оказывается почти в центре мироздания (в центре глобальной шкалы всех масштабов Вселенной).

Нетрудно убедиться, что отрезку в 1,616 м соответствует (после эви-конвертации) время Tц = 5,4∙10^-9 секунды. Интересно, что время Тц для человека является чем-то вроде секунды для Вселенной, так, если принять продолжительность жизни человека за 92 года, то этот промежуток вмещает около 5,4∙10^17 Тц, то есть столько же, сколько секунд содержится в возрасте Вселенной (см. выше). Чтобы представить себе время Тц уместно сказать, что: время реакции человека на независимые дискретные раздражители - не менее 0,15 секунды; время одного разряда при ритмических сериях в нервных клетках доходит до 10^-4 секунды. Для сравнения: время химических превращений при взрыве - порядка 10^-5 секунды; средняя продолжительность жизни квазичастиц в твердом теле и в жидком гелии - от 10^-2 до 10^-8 секунды.

Предельный отрезок - это отрезок [1; 10^308], который после эви-конвертации можно трактовать как 10^257 лет - для нас это самая настоящая вечность. Числа, превосходящие 10^308, просто выходят за диапазон допустимых значений, с которыми работает обычный персональный компьютер. Дойдя до числа 10^308, такой компьютер просто прекращает счет и выдает специальное сообщение, например, '#ЧИСЛО!'.

Дело в том, что моя виртуальная космология далеко не всегда ограничивается рамками Большого отрезка, то есть числами порядка 10^61 (эви), символизирующими современную нам эпоху. Теоретическая физика описывает будущее Вселенной вплоть до возраста 10^150 лет - это так называемый фотонный век: достижение Вселенной состояния предельно низкой энергии (?). Указанный фотонный век эквивалентен 10^200 (эви) - и это те числа, до которых иногда и я дохожу в рамках виртуальной космологии.

Важное замечание. По ходу изложения виртуальной космологии мной вводится много обозначений (букв из русского, английского и др. алфавитов). Часто эти обозначения имеют силу только внутри конкретной главы или конкретного параграфа, а иногда даже - только для конкретной формулы в параграфе. В других частях текста эти обозначения могут иметь иной смысл. Вообще, из-за стремления автора к лаконичному и широкодоступному тексту, предлагаемые обозначения, названия, да и сами рассуждения поначалу могут 'удивить', 'озадачить' читателя, но в ходе дальнейшего изложения многое 'становится на свои места'.

4. ПОСТОЯННАЯ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ

Все важнейшие физические константы (см. выше) имеют размерность. Например, планковскую длину физики специально так 'сконструировали' (скомбинировали величины G, h, c в виде формулы), чтобы планковская длина (как и всякая иная длина) имела размерность в метрах. Однако в части размерности констант в физике есть очень интересное исключение - это так называемая постоянная тонкой структуры (ПТС) - физическая константа, которая размерности... не имеет! Эту константу физики обычно обозначают первой буквой греческого алфавита ('альфа'), однако мы будем обозначать её именно как ПТС (из-за проблем с размещением 'альфы' на сайтах инернета).

ПТС является фундаментальной физической постоянной, характеризующей силу электромагнитного взаимодействия. Впервые она была описана в 1916 г. немецким физиком Арнольдом Зоммерфельдом в качестве меры релятивистских поправок при описании атомных спектральных линий в рамках модели атома Бора (поэтому ПТС иногда называют постоянной Зоммерфельда).

Постоянная тонкой структуры имеет целый ряд различных определений (формул) и интерпретаций.

Например, ПТС может быть определена как квадрат (то есть вторая степень) отношения элементарного электрического заряда (Е) к планковскому заряду (Qпл):

ПТС = (E/Qпл)^2 = 0,007 297 352 537 6. (4.1)

Часто используют значение 1/ПТС = 1/137,035 999 679 или (в первом приближении) 1/ПТС = 1/137.

Физическая интерпретация ПТС.

ПТС является отношением двух энергий:

1). Энергии, необходимой, чтобы преодолеть электростатическое отталкивание между двумя электронами, сблизив их с бесконечности до некоторого расстояния s, и

2). Энергии фотона (кванта света) с длиной волны 2∙'пи'∙s.

Исторически первой интерпретацией ПТС было отношение скорости электрона на первой круговой орбите в боровской модели атома к скорости света. Это отношение возникло в работах Зоммерфельда и определяет величину тонкого расщепления водородоподобных спектральных линий.

В квантовой электродинамике ПТС имеет значение константы взаимодействия, характеризующей силу взаимодействия между электрическими зарядами и фотонами. Её значение не может быть предсказано теоретически и вводится на основе экспериментальных данных. Постоянная тонкой структуры является одним из двадцати странных 'внешних параметров' стандартной модели в физике элементарных частиц.

Тот факт, что ПТС много меньше единицы, позволяет использовать в квантовой электродинамике теорию возмущений. Физические результаты в этой теории представляются в виде ряда по степеням ПТС, причём члены с возрастающими степенями ПТС становятся менее и менее важными. И наоборот, большая константа взаимодействия в квантовой хромодинамике делает вычисления с учётом сильного взаимодействия чрезвычайно сложными.

В теории электрослабого взаимодействия показывается, что значение ПТС (сила электромагнитного взаимодействия) зависит от характерной энергии рассматриваемого процесса. Утверждается, что ПТС логарифмически растёт с увеличением энергии. Наблюдаемое значение ПТС верно при энергиях порядка массы электрона. Характерная энергия не может принимать более низкие значения, так как электрон (как и позитрон) обладает самой маленькой массой среди заряженных частиц. Поэтому говорят, что 1/137 - это значение ПТС при нулевой энергии. Кроме того, тот факт, что по мере повышения характерных энергий электромагнитное взаимодействие приближается по силе к двум другим взаимодействиям, важен для теорий великого объединения.

Если бы предсказания квантовой электродинамики были верны, то ПТС принимала бы бесконечно большое значение при значении энергии, известном как полюс Ландау. Это ограничивает область применения квантовой электродинамики только областью применимости теории возмущений.

Насколько постоянна ПТС?

Физики всегда интересовались, действительно ли ПТС является постоянной, то есть всегда ли она имела такое значение за время существования Вселенной. Некоторые теории считают, что это не так. Первые экспериментальные проверки этого вопроса, среди которых наиболее интересны исследования спектральных линий далёких звёзд и исследования природного ядерного реактора в Окло, не выявили каких-либо изменений в ПТС.

Усовершенствования в методиках астрономических наблюдений дали основание считать, что ПТС, возможно, меняла своё значение с течением времени. Однако более детальные наблюдения квазаров, сделанные в апреле 2004 г. при помощи спектрографа UVES на Kueyen - одном из 8,2-метровых телескопов телескопа Европейской Южной обсерватории в г. Паранале (Чили), показали, что возможное изменение ПТС не может быть больше, чем 0,6 миллионной доли (0,6∙10^-6) за последние десять миллиардов лет. Поскольку это ограничение противоречит более ранним результатам, то вопрос о том, постоянна ли ПТС, считается открытым.

В 2010 году при помощи телескопа VLT получены новые указания на то, что данная константа может уменьшаться со временем. Тем не менее, уверенных подтверждений изменения ПТС по-прежнему нет.

Антропоцентрическое объяснение

Одно из объяснений величины ПТС включает в себя антропный принцип и гласит, что значение ПТС имеет именно такое значение, потому что иначе было бы невозможным существование стабильной материи и, следовательно, жизнь и разумные существа не смогли бы возникнуть, если бы величина ПТС была иной. Например, известно, что будь ПТС всего на 4 % больше, производство углерода внутри звёзд было бы невозможным. Если бы ПТС была больше, чем 0,1, то внутри звёзд не смогли бы протекать процессы термоядерного синтеза.

Нумерологические формулы

Под конец своей жизни известный английский астрофизик Артур Эддингтон (1882-1944) сконструировал нумерологическое 'доказательство', что 1/ПТС является точным целым числом, и даже соотносил его с числом Эддингтона, которое оценивает число барионов, во Вселенной. Однако эксперименты, проведенные позднее, показали, что 1/ПТС не является целым числом.

Возможна и ассоциация ПТС с предполагаемой размерностью пространства-времени: в одной из самых многообещающих теорий последнего времени - так называемой 'М-теории', развивающейся как обобщение теории суперструн и претендующей на описание всех физических взаимодействий и элементарных частиц - пространство-время полагается 11-мерным. При этом одно измерение на макроуровне воспринимается как время, еще три - как макроскопические пространственные измерения, остальные семь (см. главу 'Магия числа 7') - это так называемые 'свернутые' (квантовые) измерения, ощущаемые только на микро-уровне. ПТС при этом объединяет числа 1, 3 и 7 с множителями, кратными десяти, причем 10 можно интерпретировать как суммарную размерность пространства в теории суперструн.

В недавней статье А. Ольчака приводится компактная и внятная формула, аппроксимирующая ПТС, которая связывается... с ключевой для динамики хаоса постоянной Фейгенбаума (Ф = 4,669...). Эта постоянная, в самых общих словах, характеризует скорость приближения решений нелинейных динамических систем к состоянию 'неустойчивости в каждой точке' или 'динамического хаоса'.

Величина ПТС весьма точно вычисляется, как корень простого уравнения (где 'пи' = 3,14...):

1/ПТС = 137 + Ф/(1/ПТС - Ф∙'пи'/2). (4.2)

Следует также заметить, что с точки зрения современной квантовой электродинамики ПТС является бегущей константой связи, то есть зависит от энергетического масштаба взаимодействия. Этот факт лишает большей части физического смысла попытки сконструировать нумерологическую формулу для какого-то конкретного (в частности - нулевого, если речь идёт о значении ) передаваемого импульса.

ПТС в виртуальной космологии

ПТС, являясь безразмерной величиной, которая никак не соотносится ни с какой из известных математических констант, всегда являлась объектом восхищения для физиков. Ричард Фейнман (1918-1988), выдающийся американский физик-теоретик (один из создателей квантовой электродинамики), называл ПТС 'одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком'.

В рамках виртуальной космологии мы неоднократно будем 'обнаруживать' ПТС. При этом чаще всего мы будем получать некое число, близкое к числовому значению ПТС, по формулам виртуальной космологии, когда аргумент (целое число N) в этих формулах берется в конце Большого отрезка (N = 8∙10^60 эви или планковских времён), то есть в точке, символизирующей современную нам эпоху ('наше время').

5. КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА?

Натуральные числа - это самый элементарный и фундаментальный вид чисел, одно из основных понятий математики. Множество всех натуральных чисел N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., то есть целых положительных чисел, снабженных естественным порядком, называется натуральным рядом. Тот факт, что этот ряд в настоящее время начинается именно с нуля, подтверждает Роджер Пенроуз в своей замечательной книге 'Новый ум короля...' (на стр. 91). Натуральные числа появились ещё у древних людей в результате счёта предметов, и эти числа - первая абстрактная истина, открывшаяся человеку. Эта Истина вполне может оказаться и последней, из доступных человеку - настолько сложен и фундаментален мир чисел. Но с этим, наверняка, пока согласятся немногие...

Общее количество всех натуральных чисел равно бесконечному числу, которое мы будем называть - 'алеф-нуль' (это первая буква древнееврейского алфавита). Немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) доказал два парадоксальных утверждения, которые наше воображение, увы, 'отказывается' понимать:

1). Количество всех целых чисел (то есть натуральных чисел со знаком 'плюс' и со знаком 'минус') также равно... 'алеф-нуль' (а не в два раза больше, как нам 'подсказывает' интуиция).

2). Количество всех дробных чисел (дробей) также равно... 'алеф-нуль'.

Простые числа. Все натуральные числа N математики делят на две группы. К первой группе относят числа, имеющие ровно два делителя (1 и само число N) - эти числа называют простыми и их также бесконечно много: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... . О простых числах у нас впереди ещё будет особый и долгий разговор.

Ко второй группе относят все остальные числа, которые называют составными.

У математиков есть основания считать число N = 1 - совершенно особым числом (ни простым, ни составным).

Действительные числа (или вещественные числа) включают в себя рациональные и иррациональные числа.

Рациональные числа, то есть числа, представимые в виде отношения двух целых чисел m/n. Рациональные числа также представимы в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Период последней начинается сразу после запятой, если в несократимой дроби m/n знаменатель n не делится на 2 и на 5.

Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, 3/4 и 9/12 входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель n = 1, то число a = m/n является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).

Иррациональные ('неразумные') числа, то есть числа, в десятичном разложении которых нет никакого периода. Все они разделяются на алгебраические числа, которые являются корнями многочлена an×x^n + ... + a1×x^1 + a0∙x^0 с целыми коэффициентами, и трансцендентные ('потусторонние') числа. Французский математик (и политический деятель) Эмиль Борель (1871-1956) установил, что 'почти все' действительные числа - это трансцендентные числа, ибо их нельзя 'пронумеровать' (в отличие от алгебраических чисел). Очень легко самому придумать множество иррациональных чисел, например, такое число как 0,1010010001..., но гораздо сложнее доказать, что некое конкретное число является именно иррациональным. Так было с числом 'пи' = 3,14159..., числом 'е' = 2,71828..., а для числа С = 0,57721... (постоянная Эйлера - Маскерони) - вопрос остаётся открытым. Ещё Теэтет Афинский (ок. 410-369 до н.э.) обосновал иррациональность всех чисел вида N^0,5 (корень квадратный из числа N) и N^(1/3) (корень кубический из числа N), где N - натуральное число, не являющееся точным квадратом (кубом).

Немецкий математик Адольф Гурвиц (1859-1919) и Эмиль Борель доказали, что для любого иррационального числа w существует бесконечно много приближений рациональными числами m/n, для которых выполняется неравенство |w - m/n| < 1/(n^2∙5^0,5), причем число 5^0,5 (корень квадратный из пяти) не может быть увеличено.

Корректное определение иррациональных чисел с помощью бесконечной последовательности приближений рациональными числами принадлежит к наивысшим достижениям человеческого разума, но вряд ли соответствует чему-нибудь реальному в физическом мире (где любое измерение неизменно сопряжено с ошибками).

Количество действительных чисел больше, чем натуральных. Причем этот вывод Кантора интуитивно понятен, ведь между двумя действительными числами (вне зависимости от их близости) существует третье действительное число. При этом совершенно не ясно, можно ли обоснованно утверждать то же самое о физических расстояниях или промежутках времени (действительные числа, как представляется, дают величины, необходимые для их измерения - отсюда и название 'действительные'). Действительные числа следует рассматривать скорее как некую математическую идеализацию, чем как реальную меру физически объективных величин. Действительные числа могут воплощать собой понятие 'непрерывность' (которое, очевидно, нарушается на очень малых пространственных и временных масштабах, то есть на уровне планковских длин и времен).

Если С (континуум) - это количество всех действительных чисел, а 'алеф-один' - бесконечное число следующее за 'алеф-нуль', то утверждение С = 'алеф-один' выражает знаменитую и нерешенную до сих пор математиками проблему (так называемую континуум-гипотеза).

Обратные числа (R, reverse) - так мы будем называть все действительные числа, находящиеся между нулем и единицей, то есть 0 < R < 1. Термину 'обратные' удачнее всего соответствуют так называемые аликвотные дроби, то есть дроби вида 1/N, где N - натуральное число. Ясно, что бесконечный ряд аликвотных дробей (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ...) не исчерпывает множества всех обратных чисел.

Сумма аликвотных дробей (Sa) находится с помощью формулы Эйлера для суммы так называемого гармонического ряда (сравните эту формулу с формулой Дирихле, см. ниже):

Sa = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/N = lnN + C + 'эпсилон'. (5.1)

где С = 0,577216... - постоянная Эйлера - Маскерони, а параметр 'эпсилон' устремляется к нулю, когда натуральное число N неограниченно растет. В конце Большого отрезка мы получаем Sa ≈ 140,81.

Любое положительное рациональное число представимо в виде суммы конечного числа аликвотных дробей с различными знаменателями, например: 2/43 = 1/22 + 1/946 = 1/30 + 1/86 + 1/645 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. Столь важный факт мы будем называть аликвотизацией рационального числа. В отличие от факторизации натуральных чисел (об этом будет рассказано ниже), аликвотизация - процедура многозначная (различных вариантов, вообще говоря, много), но её закономерности (они кем-то изучались?) также могут иметь глубокий смысл (хотя бы даже в рамках виртуальной космологии).

В Древнем Египте существовали таблицы, которые давали разложение дробей вида 2/N на аликвотные дроби (где N - все нечетные числа, скажем, до 331, как в папирусе Райнда). Поэтому мы назовем дроби вида 2/N - египетскими дробями. С помощью указанных таблиц решались многие практические задачи в течение тысячелетий (вплоть до средних веков!), хотя это требовало порой немалых ухищрений от древних математиков. Американский математик Дирк Ян Стройк (р. 1894), глубоко исследуя историю математики, пришел к такому выводу: 'египетская математика была скорее примитивного характера'. Однако лично я вполне допускаю, что аликвотные дроби могли быть и некой 'подсказкой' от неведомой ныне цивилизации, которую человечество, увы, так и не смогло постичь к настоящему времени.

Простые аликвотные дроби - так мы будем называть дроби вида 1/Р, где Р - некое простое число. Аналогично этому будем называть дробь вида 2/Р - простой египетской дробью. Очевидно, что любую египетскую дробь 2/N можно представить как произведение дробей вида 1/Рk и дроби 2/Р, а последняя - это сумма двух аликвотных дробей:

2/Р = 1/[(Р+1)/2] + 1/[P(Р+1)/2] = 1/[(Р-1)/2] - 1/[P(Р-1)/2] . (5.2)

Формула (5.2) отчасти объясняет многовариантность аликвотизации. Вероятно, у обратных чисел R 'внутренняя структура', в некотором смысле, многообразнее, чем у натуральных чисел N.

Среди первых 500 простых аликвотных дробей только две (1/2 и 1/5) - конечные и, вероятно, только 11 дробей - периодические: 1/3, 1/7, 1/11, 1/13, 1/37, 1/41, 1/73, 1/101, 1/137, 1/239, 1/271.

Сумму простых аликвотных дробей (Spa) можно найти с помощью формулы Гаусса-Мертенса [см. книгу В. Боро и др. 'Живые числа', стр.16]:

Spa = 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... + 1/Р = lnlnР + 0,261497... + 'эпсилон'. (5.3)

где

где 0,261497212... - константа Мейсселя - Мертенса (теория чисел), а параметр 'эпсилон' устремляется к нулю, когда простое число Р неограниченно растет. По моей оценке 'эпсилон' < C/Р^C, где С - где С = 0,577216... - постоянная Эйлера - Маскерони. В конце Большого отрезка мы получаем Spa ' 5,2048 (см. ниже 'Магия числа 7').

Важное замечание. Выше в формуле (5.1) нам уже встречался параметр 'эпсилон' (кстати, это просто 5-я буква греческого алфавита). И подобный параметр 'эпсилон' ещё не раз нам встретится в формулах общеизвестной теории чисел, причем во всех таких формулах 'эпсилон' устремляется к нулю, вообще говоря, по своим законам (с разной 'скоростью'). Но мы всякий раз будем обозначать этот параметр именно так - 'эпсилон'.

Комплексные числа - это числа вида z = x + i×y, где x и y - действительные числа, а i = (-1)^0,5 - мнимая единица, то есть число, квадрат которого равен... 'минус' 1. Действительные числа - частный случай комплексных чисел при у = 0. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в труде Дж. Кардано в 1545 г. Но их пользу признали далеко не сразу, так, спустя более ста лет великий Ньютон даже не включал их в понятие числа. В конце 19 века было доказано, что всякое расширение понятие числа за пределы поля комплексных чисел возможно только в случае отказа от каких-либо привычных свойств действий (гиперкомплексное число). 'Мнимые' числа не менее реальны, чем ставшие уже привычными 'действительные' числа; вневременная реальность комплексных чисел выходит далеко за пределы мыслительных процессов любого математика, ибо, как, например, утверждает Роджер Пенроуз, комплексные числа существуют... в мире Платона (см. ниже)!

В настоящее время комплексные числа являются неотъемлемой частью структуры квантовой механики (это один из столпов современной физики) и вследствие этого лежат в основе поведения самого мира, в котором мы живем. Кроме того, комплексные числа, безусловно, являют собой одно из великих чудес математики.

Последовательности целых чисел - их в математике сейчас насчитывается, вероятно, около... 200 тысяч! Как ни странно, первый 'Справочник по целочисленным последовательностям' был опубликован только в 1973 г., и первым, кто догадался это сделать был американский и английский математик Нейл Джеймс Александр Слоан (англ. Neil James Alexander Sloane; род. 1939 г.). В своём первом справочнике Слоан собрал и упорядочил более 2300 последовательностей, каждую из которых описывает рекуррентная и (или) точная формула, а также сопровождает список рекомендуемой литературы. В настоящее время Нейл Слоан (Слоун) является автором и хранителем сайта (онлайнового интернет-ресурса) 'Энциклопедия целочисленных последовательностей' (англ. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS).

В конце 2009 г. (18-20 октября) я поместил в OEIS семь бесконечных целочисленных последовательностей из моей ГТНЧ (которых не было! у Слоана среди 164537 последовательностей): А166688; А166689; А166690; А166691; А166693; А1666721; А1666722. При этом я ещё отправил лично Н. Слоану соответствующее письмо (на русском и ломанном анг. языке) про свои 'открытия', однако эта история не имела для меня никакого продолжения. К сказанному следует добавить, что моя теория (ГТНЧ, виртуальная космология) 'генерирует', практически,... бесконечный (!) ряд последовательностей. Более того, виртуальная космология, вероятно, 'отбирает' всякий философский смысл у проекта OEIS (если таковой смысл у него вообще был изначально).

Самая известная из бесконечных последовательностей - это числа Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...), в которых каждое число последовательности равно сумме двух предыдущих. Ещё здесь можно упомянуть числа Каталана: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, .... Эти числа не столь известны, как числа Фибоначчи, но они не менее значимы и возникают в самых неожиданных местах, особенно при решении комбинаторных задач. По некоторым компетентным оценкам числа Каталана - наиболее часто встречающаяся последовательность (!), однако, она всё еще недостаточно известна даже среди математиков.

Бесконечно много так называемых самопорожденных чисел, которые открыл индийский математик Д. Р. Капрекар в 1949 г. (про эти числа также мало кто знает). Есть последовательности, продолжение которых находится под вопросом (пока не известно), например, числа Ферма (гауссовы простые числа) 3, 5, 17, 257, 65537, ...(?); совершенные числа (числа Мерсенна); дружественные и общительные числа; циклические числа (142857, 285714, ...). Есть фигурные числа, почти целые числа, 'число зверя' (666) и т.д.

И, наверняка, есть ещё масса интересных последовательностей и самых разных чисел.

6. МАГИЯ ЧИСЛА 7

'Повсюду меня преследует один знак... - писал американский психолог Дж. Миллер. - Это число буквально следует за мной по пятам, я непрерывно сталкиваюсь с ним в своих делах, оно встает передо мной со страниц самых распространенных наших журналов. Оно принимает множество обличий, иногда оно немного больше, иногда меньше, но оно никогда не меняется настолько, чтобы его нельзя было узнать.' Этими словами Миллер начал свою известную статью 'Магия числа 7 ('плюс-минус' 2)' (то есть от 5 до 9). Он пришел к выводу, что человек способен с одного раза удержать в оперативной памяти в среднем семь 'кусков' информации:

семь букв алфавита;

пять (7 - 2 = 5) односложных слов;

восемь (7 + 1 = 8) десятичных цифр;

девять (7 + 2 = 9) двоичных цифр и т. д.

'В кошельке этой памяти, - говорил Миллер, - помещается всего семь монет. Доллары это или центы, ей безразлично. Она интересуется не смыслом информации, а её чисто внешними характеристиками - цветом, формой, объемом. Смыслом интересуется долговременная память. Она определяет и оценивает содержимое кошелька'. Миллер наткнулся на семерку и в опытах со зрительным восприятием. (Правда, в течение нескольких миллионных долей секунды наш зрительный анализатор способен удерживать гораздо больше 'кусков' информации, чем позволяет миллеровский кошелек. В эти мгновения на периферии зрительной системы хранится вся предъявляемая человеку информация, сколько бы ее там ни было.) Потом 7 всплыла при исследованиях слухового восприятия: например, трудно схватить всю фразу целиком, если она содержит более 7 лингвистических ветвей.

Но почему природа часто 'выделяет' именно число 7? ('плюс-минус' 2 - этот 'допуск' для магического числа 7 мы будем всегда подразумевать, но писать 'допуск' дальше, вообще говоря, не станем).

Ни выше упомянутый Дж. Миллер, ни другие общепризнанные научные авторитеты, увы, не отвечают вразумительно на этот вопрос. Мне встретилось только следующее объяснение (психологов и биологов): в процессе эволюции наряду со многими психофизическими константами, вроде скорости распространения нервного импульса по нервному волокну (0,2 - 180 м/с), у человека выработалась и такая постоянная величина, как объем оперативной памяти. Тысячелетиями эта константа оказывала свое влияние на выработку житейского уклада, культурных традиций, религиозных и этических воззрений. Человеку было удобнее всего думать об одновременных вещах, если число их не превышало семи.

Вас, дорогой читатель, такое объяснение устраивает? Лично меня - явно не устраивает. Поэтому всё, что Вы прочли выше о магии числа 7 - просто примите к сведению, и сосредоточьтесь на том, что изложено ниже.

Итак, как мне представляется, тайну магической семерки нам может подсказать... мир чисел.

Во всяком случае, если бы Вы занялись исследованием мира чисел (подобно тому, что я делаю в рамках виртуальной космологии), то очень скоро увидели бы, что в мире чисел в конце Большого отрезка (который 'эквивалентен' современной нам эпохе) магия числа 7 абсолютно бесспорна - она буквально будет 'мозолить вам глаза'! Вот почему я полагаю, что видимая нами магия числа 7 (во 'внутренней' структуре натурального ряда) неким образом отражает фундаментальные (математические) особенности реальной структуры пространства-времени, которая и порождает магию числа 7 в реальном (физическом) мире. Множество примеров последнего приведено ниже. Причём, все эти примеры могут составить начало своеобразной коллекции, которую полезно разделять на две части:

1). Фундаментальная магия числа 7 - это примеры, которые не зависят (или почти не зависят) от воли человека, и если где-то (на экзопланетах) обитают 'зеленые человечки', то и они составят похожий перечень магии числа 7, поскольку законы физики едины во всех уголках Вселенной, на всех её планетах;

2). Эфемерная магия числа 7 - это примеры, которые являются плодом человеческой фантазии, его предпочтений, традиций, вкусов, привычек, и т.д. (иначе говоря, всё это - человек просто сам придумал, причём в силу... фундаментальной магии числа 7, которая объективно существует).

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ магия числа 7 (чисел 5, 6, 7, 8, 9)

Напоминаю, что подобные примеры - это объективная реальность, не зависящая от воли человека.

5 спинов может быть у частиц в микромире (0, ½, 1, 2, 3/2); 5 электрических зарядов может быть у частиц в рамках стандартной модели (популярная физическая теория); 5 (или 6) различных вариантов насчитывает М-теория (см. теорию струн); 5 видов осевой симметрии в кристаллах; 5-кратная симметрия в веществе; 5 способов расположения точек на плоскости в кристаллографии; 5 последовательностей звезд (их племен); 5 лагранжевых точек в системе Солнце-Юпитер-астероид; 5 главных зон Земли (ядро, мантия, кора, океан, атмосфера); 5 оболочек (геосфер) Земли; 5 функций крови; 5 функций эпителиальной ткани человека;

6 типов кварков; 6 топологических свойств пространства-времени; 'плюс-минус' 6 - этому равно число Эйлера (сумма размерностей групп гомологий многообразия) для пространств Калаби-Яу (в теории суперструн); 6 кристаллографических систем (триклинная, ...); 6 уровней в биологической систематике (вид, род, ...); 6 эратем в биографии Земли (геохронологии);

7 дополнительных измерений в теории суперструн; 7 'зарядов' у элементарных частиц; 7 базисных ячеек решеток в кристаллах; 7 'случайно' согласованных ФФК определили химический состав нашей Вселенной (и само наше существование); 7 чисел 'задают' Вселенную по И. Розенталю; 7 периодов и 8 групп в таблице Д.И. Менделеева (до 7 электронных оболочек может быть в атоме); удельная энергия связи всех ядер в среднем в 7 раз больше массы покоя пары электрон-протон; в среднем существует 7 (?) разновидностей любого вещества в кристаллическом состоянии;

7 спектральных классов звезд; в 7 раз отличаются диаметры белых карликов; 7 зон можно выделить на Солнце (по физике происходящих процессов); 7 оболочек насчитывают ученые внутри Солнца; 7 нестационарных образований в солнечной атмосфере; 7 веществ составляют 99,75% фотосферы Солнца; ...

7 основных компонент в Солнечной системе: Солнце, 9 планет, астероиды, (метеороиды), микрометеориды (потоки пыли), тела Койпера-Эджворта (Кентавры, кометы), магнитные поля, космические лучи; 7 - это среднее количество больших спутников у планет; 7 типов астероидов (соотношение их плотностей 7:1); 7 люков Кирквуда в поясе астероидов; 7 колец у Сатурна (9 у Плутона); 7 слоев в атмосфере Земли; 7 материков на Земле; 7 слоев выделяют в атмосфере Земли и 7 составляющих (оболочек) выделяют во внутреннем строении Земли и Солнца. ...

Человек: 7 видов (форм) клеток; 7 основных жизненных проявлений у клетки (размножение, ...); 7 структурных уровней (атомный, молекулярный, клеточный, тканевый, отдельные органы, системы органов, целостный организм); 7 структур в микростроении кости человека; 7 частей тела (голова, шея, туловище, по две ноги и руки); 7 пар ребер человека достигают его грудины; 7 близнецов (за один раз) родила женщина.

В среднем 7 'кусков' информации удерживает человек в оперативной памяти с одного раза (миллеровский кошелёк, см. выше). Удобнее всего думать не более, чем о 7 вещах (одновременно). 7 имеет отношение к зрительному и слуховому восприятию человека (трудно запомнить фразу, в которой более 7 лингвистических ветвей);

Семь сенсорных систем создала природа в человеке: зрительную систему, слуховую, вестибулярную, кожную (тактильную, температурную, болевую), двигательную, обонятельную и вкусовую.

Семь реанимационных точек существует на теле человека, воздействуя на которые можно 'легко' убить, либо оживить человека.

7 - таков коэффициент энцефализации (EQ) человека;

Семь возрастных периодов в психосексуальном развитии каждого человека выделяют ученые. Возрастные сроки окончания этих периодов соответствуют 1, 7, 12, 18, 26, 55, 70 годам [получается почти тильда-распределение (см. ниже) с параметрами S = 189; K = 7; A = 3,255; p = 0,521].

Более семи переменных в задаче - она практически неразрешима (шутливое утверждение, в котором большая доля истины).

Семь лет осталось до пенсии (чему бы возраст не равнялся) - и любой работник начинает терять хватку (из наблюдения остроумных людей).

Каждый седьмой француз содержит кошку или собаку (на 60 млн. населения Франции приходится 8,9 млн. домашних кошек и 8,2 млн. собак).

7 сигнальных систем в клетке растений;

8 глюонов и 8 глюонных полей в теоретической физике; 8 магических чисел (число протонов или нейтронов); 8÷10 фёдоровских групп для молекулярных кристаллов; 8R - радиус сферы в множестве Делоне; в 8 раз плотность Земли (максимум для твердых планет) больше плотности Сатурна (минимум в части твердых планет); 8 стадий происхождения человека (антропогенез); 8 костей в мозговом отделе черепа человека; 8 структурных единиц в скелете руки и ноги; от 8 главных причин умирают 99, 96% россиян; 8 главных источников энергии (нефть, уголь, ...); 8 бит - длина слова в информатике;

9 планет у Солнца; 9 колец у Урана; в 10 раз отличаются радиусы звезд главной последовательности;

ЭФЕМЕРНАЯ магия числа 7 (чисел 5, 6, 7, 8, 9)

Напоминаю, что подобные примеры магии числа 7 - это плоды сугубо человеческой фантазии

Здесь на первом месте следует поставить такое (очень полезное!) утверждение: всякие полезные классификации должны содержать в среднем 7 категорий и это относится абсолютно к любым областям наших знаний. Например:

5 условий демократии в математической политологии Арроу;

7 временных вех в хронологии Земли (6 эратем и возникновение планеты);

7 мировых цивилизаций насчитывают в истории человечества;

7 основных причин краха Римской империи;

9-ти балльная шкала ветрового волнения на море и т. д.

В части краха Римской империи можно добавить, что английский историк Эдуард Гиббон (1737-1794) проанализировал упадок Римской империи в 7 полновесных томах и выделил 7 основных причин её краха:

- борьба между имущими и неимущими;

- огромные расходы на политические компании (подкупы лиц, расхищение денег);

- бремя внешних обязательств (Рима в части романизации);

- отвращение к военной службе у солдат из обеспеченных семей;

- отсутствие творческого руководства;

- гибель римских принципов добродетели, чистоты, простоты;

- высокий процент разводов.

Падение Рима происходило 1700-1900 лет назад, но причины печального финала выглядят так, словно мы обсуждаем ситуации... в современной России, не так ли, уважаемый читатель? Всё это доказывает, что увлекательная 'наука' история нас... ничему не учит!

В части условий демократии в теории Арроу также добавлю следующее.

В начале Перестройки в СССР многие из нас уповали на демократические выборы, но, оказывается, и в них изначально присутствуют... изъяны. Существует так называемый нетразитивный парадокс с голосованием на выборах или парадокс Арроу, названный в честь К. Дж. Арроу, сыгравшего решающую роль в доказательстве 'теоремы о невозможности идеальной избирательной системы', за которую ему в числе других в 1972 г. была присуждена Нобелевская премия. Арроу выделил 5 условий, которые, по всеобщему мнению, существенны для демократии, при которой социальные решения принимаются путем голосований отдельных индивидуумов. Арроу доказал, что эти 5 условий логически противоречивы: не существует избирательной системы, которая бы не нарушала, по крайней мере, одно из 5 условий, то есть идеальная демократическая избирательная система... невозможна в принципе. В математической политологии открытие Арроу занимает такое же место, какое занимает в математической логике теорема Курта Гёделя (1906-1978) о невозможности построения непротиворечивой математической теории, содержащей аксиомы арифметики. (Например, когда человек говорит: 'Я лжец!', возникает парадокс - истинно или ложно это утверждение? Гёдель доказал, что в математике также существуют утверждения, которые истинны, но истинность их не может быть доказана.)

Парадоксы с голосованием возникают в ситуациях, когда решение принимается на основе выбора из двух альтернатив, выбираемых из множества трех и более элементов. Исследование подобных парадоксов выходит за рамки нашей книги, поэтому приведем пример только дефекта избирательной системы (парадоксы куда 'хитрее'). Пусть Ельцина активно поддерживало всего лишь 40% избирателей, но голоса его противников разделились между Зюгановым (30%) и Явлинским (30%), а в результате на выборах победил Ельцин (хотя 60% россиян были настроены против него), и с Россией случилось то, что случилось - 'нулевые' (потерянные для страны) годы в самом начале XXI века... Кстати, когда на реальных выборах возникает тупиковая ситуация, то население обычно избирает 'диктатора', который просто ломает сложившуюся ситуацию.

Магия числа 7 в жизни человека

Семь типов людей выделяют психологи: доминирующий, аналитический, эстетический, независимый, инертный, стабильный, спутниковый. По отношению к нововведениям (изменениям) в жизни людей разделяют на 7 следующих типов: новаторы, энтузиасты, рационалисты, нейтралы, скептики, консерваторы, ретрограды. Деловые качества человека различают по 7 шкалам: креативность (у человека-преобразователя, склонного изменять все вокруг себя), исполнительность, созерцательность, консервативность, авантюрность, деловитость, надежность.

Семь линий психологической 'обороны' человеком своего внутреннего мира от вторжения извне: биографические данные; качества личности (достоинства и недостатки); личностные ориентации; побудители действий и деятельности; область личных отношений с людьми; отношение к миру в целом и составляющим его системам; сопротивление, связанное с отношением к тому, кто намеревается раскрыть особенности и возможности человека.

Семь правил насчитывает метод мозговой атаки, предложенный в 1965 г. американским психологом А. Осборном для эффективной генерации идей при решении научных, технических, управленческих и других задач (при мозговой атаке, шесть человек за полчаса могут выдвинуть 150 идей!).

Семь суток содержит наша неделя, которая впервые вошла в употребление на Древнем Востоке, в Риме она с 1 века н. э. Семь периодов чаще всего мы выделяем в сутках: сумерки, утро, полдень, день, вечер, полночь, ночь.

Семь видов приемов включает в себя современный этикет: 'бокал вина' ('бокал шампанского'), 'завтрак', 'а ля фуршет' ('коктейль'), 'обед', 'обед-фуршет' ('шведский стол'), 'ужин', встреча за чайным или за кофейным столом.

Семь типов виноградных вин придумал человек: сухие, полусладкие, крепкие, десертные, ароматизированные, игристые и газированные.

Семилетняя школа существовала в СССР в 1920-50-е. Сейчас в России 3 млн. бездомных детей (средний уровень образования не более 7 классов?).

Семь основных уровней насчитывалось в организационном строении КПСС в эпоху 'развитого' социализма (от Съезда КПСС до первичных партийных организаций). 'Семибоярщина' - правительство России в 1610-12-е гг., состоящее из 7 членов Боярской думы. 'Семибанкирщина' и 7 олигархов было в России в августе 1998 г. Семь стран 'Большой Семерки' - богатейшие державы нашего времени ('Большая Восьмерка' с Россией - пока фикция). На 7 федеральных округов делится Россия (весна 2002 г.).

Семь цифр в номерах телефонов - и этого достаточно для большинства городов (позволяет иметь до 107 абонентов). Городов-миллионеров свыше 220 во всём мире, но даже им чаще всего хватает 10 млн. телефонных номеров (то есть семи цифр в номере).

Семь групп образуют дорожные знаки (согласно ГОСТам) в России.

Семерка (числа от 5 до 9) фигурирует во многих играх, например: танграм (состоит из 7 частей - танов); шахматы и шашки (на доске 8х8); игра в кости (6 граней кубика);футбол (минимум 7 человек от команды на поле); водное поло (7 человек от команды на поле); волейбол (6 игроков от команды на поле); баскетбол (5 игроков от команды на поле);

Языки человеческого общения и магическое число 7

Предполагается, что развитие речи началось не позже 20 тыс. лет назад. Уже неандертальцы имели голосовые связки пригодные для простейшей речи. В настоящее время человечество использует для общения не менее 4000 языков (точно не известно), которые разделяют на 8 основных языковых семей: индоевропейская (самая большая по количеству говорящих на ней людей, включает русский язык), китайско-тибетская, нигеро-конголезская, австронезийская, америндская, алтайская, дравидская, урало-алтайская. Еще выделяют 9 малых языковых семей, а также изолированные языки, т. е. без всяких связей с другими языками, например: японский, корейский, шумерский (самый старый из них), и т.д. Начиная с XVII в. придумано несколько сотен искусственных языков для облегчения международного общения. Самый популярный из них - эсперанто (1887 г.) имеет только 16 грамматических правил (и ни одного исключения), а язык солресол (начало XIX в.) основан на 7-нотных гаммах: до, ре, ми, фа, соль, ля, си, поэтому на солресоле можно не только сказать, но и спеть или просвистеть.

Больше всего в мире носителей разговорного китайского языка (гуойо) - 810 млн. человек, затем идет язык хинди (364 млн.) и английский язык (335 млн., хотя говорят на нем в мире больше всего), русский язык стоит на восьмом месте (156 млн.). Всего же можно выделить 33 основных языка мира, носителями которых являются 66,1% населения Земли, причем количества носителей этих языков близки к тильда-распределению с параметрами: S = 4096 (млн. человек); K = 33 (языка); A = 4,22; p = 0,164.

7 (или 8?) букв - такова средняя длина слова в русском языке; с 7 букв (п, с, о, в, н, р) начинаются 60% русских слов; 6 точек в шрифте Брайля (для слепых).

7 групп знаков препинания различают в русском письме и других современных письменностях латинской и кириллической графики;

Целый ряд слов ('семья', 'семя', 'всеми', 'в сём' и т. д.) порождены числом семь.

Семерками полны наши пословицы и поговорки: 'Семь раз отмерь, один отрежь'; 'Семеро одного не ждут'; 'Семь пятниц на неделе'; 'Семи пядей во лбу'; 'Седьмая вода на киселе'; 'За семь верст киселя хлебать'; 'Семь бед - один ответ (один 'Reset'- в современной трактовке)' и т. д. Семерка нередко встречается в сказках, былинах, легендах, мифах и т. п.

До 7 символов-изображений в каждом слове (или предложении?) содержит ещё не расшифрованный (или всё-таки расшифрованный?) фестский диск (ок. 1600 до н. э., найден в Фесте в начале ХХ века)

Искусства и магия числа 7

В эпоху средневековья в школах изучали 7 учебных предметов, под общим названием 'свободные искусства': грамматика, риторика, диалектика, арифметика, геометрия, астрономия, музыка.

В современном понимании искусство - это составная часть духовной культуры человечества, специфический вид познания окружающего мира, в котором выделяют 7 областей человеческой деятельности: пластические искусства, музыка, художественная литература, кинематограф (телеискусство), театр, хореография, эстрадно-цирковое искусство (в т. ч. некоторые виды спорта).

Различают 7 видов пластических искусств: скульптура, живопись, графика, архитектура, декоративно-прикладное искусство, художественное конструирование, фотоискусство. Количество основных стилей в пластических искусствах близко к 21 (искусство возрождения, классицизм, романтизм, и т. д.). В каждом виде искусств можно выделить около 7 подразделов, например в живописи: монументальную живопись, декорационную, декоративную, станковую (картины), иконопись, миниатюру, дизайн.

Живопись и магия числа 7

В живописи можно насчитать 7 жанров: пейзаж, портрет, натюрморт, интерьер, батальный жанр, исторический, бытовой. В классической живописи можно выделить 7 основных видов: масляная живопись (масло), акварель, темпера, пастель, гуашь, соус (сангина), карандаш (перо, уголь).

Живописец в своей работе использует 7 основных предметов: мольберт (этюдник, планшет); холст (картон, бумагу); палитру; краски; кисти (обычно 7-8 размеров или мастихин); растворитель (масло); лак (фиксативы).

Техника масляной живописи включает 7 основных понятий (приемов):

- использование фактуры холста (от крупнозернистой до мелкозернистой);

- подмалевок (предварительная моделировка формы всего 1-2 красками);

- рельефный подмалевок (почти скульптурная лепка формы мазком);

- техника алла-прима (работа 'по сырому', как правило за один сеанс);

- характер мазка (от 'зализанной' техники до нагромождения красок);

- многослойная живопись (каждый слой краски при этом просушивается);

- лессировка (тонкие, прозрачные слои красок по уже засохшим краскам).

Глаз обычного человека различает тысячи оттенков цветов, а глаз художника острее в десятки раз. Между тем старые мастера живописи пользовались всего 7-8 красками, создавая шедевры колорита. Обычно художнику достаточно иметь на своей палитре около 21 краски, хотя перечень всех красок может дойти до 200. На палитре рекомендуется смешивать не более 3-х красок (не считая белил, у которых совершенно особая роль), иначе получаются грязные 'замесы'. Вполне нормальная палитра содержит 8 красок: белила, стронциевая желтая, охра светлая, английская красная, краплак, изумрудная зеленая, ультрамарин, кость жженная. Кстати, в небесной радуге насчитывают 7 основных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. (Их порядок легко запомнить по фразе: 'Каждый охотник желает знать, где сидят фазаны'. На экране цветного телевизора полноцветное изображение формируется всего из 3-х цветов: красного, синего и зеленого - таковы законы физики и биологии.)

Музыка и магия числа 7

Музыка - это 'язык души' человека. В весьма тонком (но не переводимом на язык слов) выражении эмоций музыка не знает себе равных. Каждый человек, наверняка, слышал про 7-нотные диатонические гаммы: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Изучавшие музыку, знают 7 музыкальных символов: скрипичный ключ, басовый ключ, бемоль, диез, бекар, знак повторения, длительность нот; а также шесть названий нот: целая нота, половинная, 4-я, 8-я, 16-я, 32-я.

Для указания темпов в музыке служат около 33 терминов: адажио, аллегро, пиано, форте, и т. д. Стандартный состав симфонического оркестра включает 21 группу инструментов: скрипки, альты, виолончели, и т. д. Количество наименований музыкальных инструментов близко к 200, их все можно разделить на 5-7 основных групп: струнные, клавишные, деревянные духовые, медные духовые, ударные, .... Количество музыкальных форм (симфония, сюита, увертюра, менуэт, и т. д.) также приближается к числу 200. Кульминация многих музыкальных произведений приходится на точку 'золотого сечения' их общей продолжительности.

Магическое число 7 в мифах и религиях

Семь богов и богинь распоряжались судьбами шумеров (первая цивилизация на Земле), каждый орочский охотник знал, что основателей его рода было семеро. Семерку почитали все племена, и чем дальше в глубь веков, тем больше мы встречаем семерок, в том числе в узорах и наскальных фресках.

Семь мудрецов было у древних греков.

У пифагорейцев число '7' считалось мироправящим (божественным), требующим особого почитания, оно играет 'космическую' роль. В качестве всеопределяющей силы ('силы свершений') и творца всего('демиурга') число '7' есть судьба под именем kairos (критическое время). Число '7', судьба и kairos для пифагорейцев одно и то же.

Семь чудес света знал эллинский мир, из которых целиком сохранились только пирамиды.

Даже мой беглый просмотр Библии (которая состоит из Ветхого завета и Нового завета, признаваемого лишь христианством) показывает, что она не отличается особой оригинальностью в части числительных (об остальном и говорить даже не стоит) и многие сюжеты содержат всё то же магическое число 7.

Ветхий завет разделяется на 7 составляющих: пять книг Учения (по-еврейски Тора - Бытие, Исход, Левит, Числа, Второзаконие), Пророки и Писания. О 7 днях творения рассказывает нам книга Бытия и о 7 тучных и 7 тощих коровах, которые увидел во сне фараон. По еврейскому мифу Всемирный потоп истребил 'все сущее с лица земли', за исключением праведника Ноя с его семьей и пары 'от всякой плоти' - 7 пар чистых животных, 7 пар нечистых и 7 пар птиц (все они, якобы, спасаются на ковчеге, построенным Ноем по велению Божию).

Новый завет также разделяется на 7 составляющих: четыре Евангелия (от Матфея, от Марка, от Луки, от Иоанна), Деяния святых Апостолов, Послания (их 21) и Апокалипсис (Откровение Иоанна Богослова). В притчах Нового завета число 7 упоминается более чем в 25-ти случаях (исключая повторы). Например, 7 хлебов, которыми Иисус накормил народ; 7 заповедей (не убивай, не прелюбодействуй, не кради, не лжесвидетельствуй, почитай отца и мать, люби ближнего, раздай свое богатство нищим); 7 признаков мудрости, сходящей свыше (она чиста, мирна, скромна, послушлива, милосердна, беспристрастна, нелицемерна).

Религия, по мнению автора, стоит в одном ряду с искусством. Это тем более правдоподобно, если учесть всё великолепие религиозного антуража. А главное, несмотря на многовековую эволюцию, как искусство, так и религия мало чего достигли в познании сути бытия и в росте социального благополучия человечества. И в этой беспомощности их главное отличие от естественных (точных) наук. Ещё Ф. Энгельс (1820-1895) дал глубокое определение: '...Всякая религия является не чем иным, как фантастическим отражением в головах людей тех внешних сил, которые господствуют над ними в их повседневной жизни...'.

Религия возникла, по-видимому, в каменном веке около 40-50 тыс. лет назад. На сегодняшний день в мире можно выделить 7 основных религий: католицизм, протестантство, православие, ислам, индуизм, буддизм, иудаизм. Если вникать более детально, то, например, внутри одного христианства можно насчитать не менее 15 религий, кроме того, возникают 'новые' религии (сайентологи, кришнаиты и др.), и тогда общее количество всех религий составит около 33. Главная движущая сила, поддерживающая религию - это страстные желания человека найти окончательный смысл и цель в жизни. Однако интеллект подавляющего большинства людей просто не способен приобщиться к красоте и богатству сложных научных знаний, а для самоутверждения в религии вполне достаточно совсем слабого разума - в этом главная причина процветания религии (в части земных благ, процветает, разумеется, только церковная элита).

Религии в наши дни - это весьма надежный источник доходов, своеобразный бизнес немногих 'избранных'. Но самое главное - религия всегда помогала богачам управлять нищими массами, регулировать их поведение, поэтому власть всячески поддерживают религию. В современной России религия как никогда пришлась 'ко двору'. Большинство обездоленных, выкинутых на обочину жизни людей обращаются к религии, как к своему последнему утешению. Вероятно, за это мы должны быть благодарны тем, кто придумал религию...

7. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Пресловутое 'золотое сечение' обычно связывают с одним из двух иррациональных чисел:

(5^0,5 - 1)/2 = 0,618... - это положительный корень квадратного уравнения X^2 + X - 1 = 0;

(5^0,5 + 1)/2 = 1,618... - это число Фидия (см. ниже).

Золотому сечению традиционно приписывают некое таинственное значение. Однако, как мне представляется, золотое сечение просто близко к неким величинам (е^-0,5 = 0,606...; 'пи'^2/6 = 0,644...; е^0,5 = 1,648...; и т.д.), которые относительно часто 'генерируются' в мире чисел (в рамках виртуальной космологии, в мире Платона, см. ниже). То есть ощущение гармонии у нас возникает не от 'применения' золотого сечения, скажем, в архитектурных пропорциях, а из-за соответствия этих пропорций глубоким природным закономерностям, которые 'зашифрованы' в мире чисел (вот чем следует восхищаться!). Вероятно, природа просто 'приучила' человека воспринимать такое соответствие как идеальную гармонию. Разумеется, что это сугубо моя точка зрения на золотое сечение, о котором добавлю ещё несколько слов (общеизвестные факты).

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) - это деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Отношение частей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью (5^0,5 + 1)/2 = 1,618....

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в 'Началах' Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение 'божественной пропорцией'. Термин 'золотое сечение' (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных. Многие люди 'стремятся найти' золотое сечение во всём что между полутора и двумя.

Под 'правилом золотого сечения' в архитектуре и искусстве обычно понимаются асимметричные композиции, не обязательно содержащие золотое сечение математически.

Многие утверждают, что объекты, содержащие в себе 'золотое сечение', воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Обычно такие исследования не выдерживают строгой критики. В любом случае ко всем этим утверждениям следует относиться с осторожностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения. Есть основание считать, что значимость золотого сечения в искусстве преувеличена и основывается на ошибочных расчётах. Некоторые из таких утверждений:

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

Результаты исследования золотого сечения в музыке впервые изложены в докладе Эмилия Розенова (1903) и позднее развиты в его статье 'Закон золотого сечения в поэзии и музыке' (1925). Розенов показал действие данной пропорции в музыкальных формах эпохи Барокко и классицизма на примере произведений Баха, Моцарта, Бетховена.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов - например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции 'слишком вытянутыми'.

Примеры сознательного использования золотого сечения

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции 'золотого сечения'. Золотое сечение легло в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, главным образом в живописи, архитектуре античности и Возрождения. Кульминация многих музыкальных произведений часто приходится на точку золотого сечения их общей продолжительности. У художников в большинстве пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к 0,618; а, выбирая размеры самой картины (отношение высоты холста к ширине), художники часто были близки к числу 0,618. Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение в своих проектах.

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм 'Броненосец Потёмкин' по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Другим примером использования правила 'золотого сечения' в киноискусстве служит расположение основных компонентов кадра в особых точках - 'зрительных центрах'. Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

О золотом сечении много писал великий немецкий астроном - Иоганн Кеплер (1571-1630).

'Золотое сечение' и ряд Фибоначчи

Каждый, наверняка, слышал про 'ряд Фибоначчи' или 'числа Фибоначчи'. Так называется числовая последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждый член, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих. Считается, что впервые сформулировал задачу, приводящую к такому ряду итальянский математик Леонардо Пизанский (1180-1240), которого называли также Фибоначчи ('сын Боначчо'- 'сын добродушного'), и которому не было равного не только среди современников, но и три последующих столетия. А формулировка задачи, приводящей к числам Фибоначчи, выглядит следующим образом: сколько пар кроликов родится от одной пары в течение года, если: а) каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца становится производителем, и б) кролики не погибают.

Несложно доказать, что любое n-ое число Фибоначчи (Фn, где n = 1, 2, 3, 4, ...) определяется по точной формуле, которая позволяет получить любой n-й член последовательности, не обращаясь к предыдущим членам

Фn = [Fs^n - (-Fi)^n]/5^0,5 , (7.1)

где Fs и Fi - числа Фидия, которые являются корнями квадратного уравнения Х^2 - Х - 1 = 0 и соответственно равны:

Fs = (1 + 5^0,5)/2 = 1,618..., Fi = (5^0,5 - 1)/2 = 0,618... . (7.2)

Числа Fs и Fi различаются ровно на единицу: Fi = Fs - 1. Эти числа названы в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в. до н. э. Он руководил строительством храма Парфенон в Афинах, в пропорциях которого многократно присутствует число 0,618: Фидий делил отрезок L на две части таким образом, что большая его часть A являлась средним пропорциональным между всем отрезком и меньшей его частью (A = 0,618×L).

Пятиконечная звезда всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Недаром пифагорейцы именно её выбрали символом своего союза. Она считалась амулетом здоровья. В наши дни звезда красуется на флагах и гербах многих стран. А всё дело в том, что в этой фигуре 'заложено' число Fs = 1,618 (в виде удивительного постоянства отношений отрезков, составляющих пятиконечную звезду).

Формула (7.1) позволяют утверждать, что отношение двух соседних чисел Фибоначчи (3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ...) быстро устремляется к числу Fs, то есть ряд Фибоначчи хорошо 'накладывается' на экспоненциальную функцию c аргументом n = 1, 2, 3, 4, ... (и интенсивностью равной ln(Fs) = 0,4812...):

N = Gexp[n×ln(Fs)], где G = Fs/(1 + Fs^2) = 0,4472... . (7.3)

8. МИР ПЛАТОНА

Мир Платона - так мы будем называть мир фундаментальных математических истин, которые якобы могут существовать вне времени (вечно) и независимо от нас смертных. Знаменитый древне-греческий философ Платон (428 - 347 гг. до н. э.), очевидно, первым высказал данную мысль, правда, у Платона речь идет о любых истинах-идеях (в искусстве, поэзии, литературе, философии, политике и т. д., что, по-моему, уже весьма спорно). Ниже изложен взгляд на мир Платона одного из лучших умов нашего времени - Роджера Пенроуза (р. 1931 г.) - выдающегося учёного современности, активно работающего в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории (автор теории твисторов). О мире Платона Пенроуз пишет, в частности, в своем бестселлере 'Новый ум короля...' - именно из этой научно-популярной книги взяты мысли Пенроуза, приведенные мной ниже.

Мир Платона доступен нам исключительно посредством интеллекта (с помощью математических рассуждений и интуитивных догадок), это та реальность, с которой исследователи имеют дело в минуты творчества. Это царство чистой математики (её объектов), это 'божественная книга', в которой записаны все лучшие доказательства. И математикам иной раз приоткрывается та или иная её страница: в моменты прозрения разум просто соприкасается с объективной истиной (приходящей в голову 'с неба'). В части личных 'прозрений' Пенроуз говорит, что им всегда предшествуют долгие упорные сознательные раздумья, хотя само искомое решение возникает неожиданно подобно 'вспышке' (когда он думал о проблеме в 'фоновом режиме', не целенаправленно), причем при полной уверенности в правильности и красоте решения. Примечательно также, что многим идеям, рожденным в минуты вдохновения присуще масштабность, то есть идея охватывает весьма обширную область математической мысли.

Платон, в частности, учил: наша душа существовала до того, как мы родились [но когда и откуда появилась наша душа?]; душа умершего продолжает существовать в Аиде (царстве мертвых) и обладает способностью мыслить; душа бессмертна и неуничтожима. Именно поэтому математическое открытие, возможно, - всего лишь одна из форм воспоминания! Во всяком случае, Пенроуз говорит: '... меня часто поражало сходство между двумя состояниями, когда ты мучительно стараешься вспомнить чье-то имя - и когда пытаешься найти адекватное математическое понятие'.

Великий Альберт Эйнштейн (1879-1955) как-то написал в письме: 'Слова или язык, как в устной, так и в письменной форме, по-видимому, не играют никакой роли в механизме моего мышления'. Об этом же говорит и Пенроуз: '... я нахожу слова бесполезными для математического мышления... Нет сомнения, что каждый человек думает по-своему... Наиболее полярными стилями математического мышления являются, как кажется, аналитический/геометрический'.

Многие думают, что математическое доказательство строится в виде цепочки последовательных утверждений, где каждый шаг вытекает из предыдущего. Однако лишь общее представление и интуитивно понятное концептуальное содержание - вот что в действительности необходимо для построения математического доказательства. Любопытно и такое наблюдение Пенроуза: 'Во сне необычные идеи возникают легко и в большом количестве - но лишь в очень редких случаях они проходят критический контроль бодрствующего сознания. (Что касается меня, то у меня во сне никогда не возникали плодотворные научные идеи...)'.

Все наиболее точные теории (общая теория относительности, квантовая механика, теория струн, ...) необычайно плодотворны и с точки зрения математики, что свидетельствует о глубоких связях между реальным (физическим) миром и миром Платона. Быть может, эти миры тождественны? Функционирование реального мира, в конечном счете, может быть понято только в терминах математики, то есть в терминах платоновского мира. Сама точность общей теории относительности и квантовой механики обеспечивает почти математический уровень существования нашей физической реальности (и она кажется нам уже не столь очевидной, как до создания этих глубоких теорий).

Понятие математической истины выходит за пределы сотворенного человеком. Истинные математические открытия должны, как правило, рассматриваться как достижения более великие, чем 'просто' изобретения - суть 'творения человека'. В математике нередко происходят самые настоящие открытия - это когда некая структура (объект) дает гораздо больше того, что в неё было заложено изначально (скажем, автором, предложившим к рассмотрению данный объект). Примеры таких объектов: комплексные числа, множество Мандельброта и т.д. В связи с такими объектами даже ученые-атеисты задумываются о возможности 'творений' Сверхразума, некого высшего существования мыслительной деятельности. Математическое открытие состоит в расширении области прямого контакта с миром Платона. Никакой содержательной 'информации' в общепринятом смысле исследователь математического объекта не получает, так как вся информация уже находилась там изначально. Всё, что требовалось от исследователя - это соединить разные части и 'увидеть' ответ. 'Независимость от исследователя' математического объекта и обеспечивает ему платоническое существование.

Подчеркнем, что математические структуры (даже самые экзотические, такие как фрактальные структуры) существуют не менее 'реально', чем гора Эверест, и могут быть исследованы точно также, как исследуются джунгли (это относится и к миру чисел). Но платоновский мир состоит не из осязаемых вещей, а из 'математических объектов'. Объекты, скажем, чистой геометрии - прямые, окружности, треугольники, плоскости и т.п. - могут быть лишь приблизительно реализованы в реальном мире физических вещей.

При общении (беседе), скажем, двух математиков их отдельные предложения (фразы, факты, образы, понятия) чаще всего остаются... не поняты. Тем не менее, два человека все-таки способны понять друг друга, ибо интересные или глубокие математические истины растворены (с небольшой плотностью) в массе всех возможных математических истин. Во время беседы каждый из математиков вступает в прямой контакт с одним и тем же миром Платона, что приводит к взаимному пониманию на уровне интуиции.

Одно из наиболее поразительных свойств математики заключается в том, что истинность математических утверждений может быть установлена посредством абстрактных рассуждений (которые передаваемы)! Математическая истина строится из простых и очевидных составляющих, и когда они становятся ясны и понятны нам, с их истинностью соглашаются все без исключения. Мы должны 'видеть' истинность математических рассуждений, чтобы убедиться в их обоснованности. Это 'видение' - самая суть сознания. Абсолютно точные, корректные формулировки иной раз являются помехой при первом изложении математической идеи, так что вначале может потребоваться менее четкая описательная форма (характерная, например, для научно-популярной литературы).

Свойство вычислимости - не то же самое, что математическая точность. Сколько тайны и красоты в мире Платона - а ведь большая непознанная часть этого мира связана далеко не с алгоритмами и вычислениями. Пенроуз говорит: '... я не могу отделаться от ощущения, что в случае математики вера в некоторое высшее вечное существование - по крайней мере, для наиболее глубоких математических концепций, - имеет под собой гораздо больше оснований, чем в других областях человеческой деятельности. Несомненная уникальность и универсальность такого рода математических идей по своей природе существенно отличается от всего того, с чем приходится сталкиваться в области искусства и техники'.

9. МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНЫЙ МИР

Несмотря на заявления о независимости математики, никто не станет отрицать, что математика и физический мир связаны друг с другом. Разумеется, остается в силе математический подход к решению проблем классической физики. Верно и то, что в весьма важной области математики, а именно в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, процесс взаимообогащения физики и математики достаточно плодотворен.

Математика явно полезна при интерпретации явлений микромира, описываемых квантовой механикой. Однако новые 'приложения' математики существенно отличаются от классических. Одним из важнейших инструментов физики стала теория вероятностей, которая раньше применялась главным образом в теории азартных игр и страховом деле. Математические объекты, которые физики ставят в соответствие 'атомным состояниям', 'переходам', пространству Калаби-Яу и т.д., носят весьма абстрактный характер и были введены и исследованы математиками задолго до появления квантовой механики. Следует добавить, что после первых успехов возникли серьезные трудности. Это произошло в тот момент, когда физики пытались применить математические идеи к более тонким аспектам квантовой теории; тем не менее, многие физики по-прежнему с надеждой взирают на новые математические теории, полагая, что те помогут им в решении новых проблем (в том числе теории струн).

Даже если мы включим в 'чистую' математику теорию вероятностей и математическую логику, выяснится, что в настоящее время другие естественные науки используют менее 50% известных математических результатов. Что же мы должны думать об оставшейся половине? Какие мотивы стоят за теми областями математики, которые не имеют отношения к решению физических проблем?

Мы уже упоминали об иррациональности числа как о типичном представителе такого рода теорем. Другим примером может служить теорема, доказанная Лагранжем [Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) - французский математик и механик итальянского происхождения. Наряду с Л. Эйлером - лучший математик XVIII века.] 'Важная' и 'красивая' с точки зрения любого математика эта теорема утверждает, что любое натуральное число представимо в виде суммы квадратов не более чем четырех чисел (например, 23 = 32 + 32 + 22 + 12). Однако в настоящее время немыслимо, чтобы этот результат мог пригодиться физику-теоретику, а тем более экспериментатору [кстати говоря, с позиций виртуальной космологии теорема Лагранжа может иметь самое фундаментальное значение: скажем, она 'объясняет' количество... наблюдаемых (именно четырех!) измерений в реальном физическом мире]. Правда, физики имеют дело с целыми числами сегодня гораздо чаще, чем в прошлом, но целые числа, которыми они оперируют, всегда ограничены (они редко превышают несколько сотен [уважаемый читатель, запомните этот вывод научного (!) сообщества, в рамках виртуальной космологии мы к нему ещё вернемся и не один раз!]); следовательно, такая теорема, как теорема Лагранжа, может быть 'полезна' только в том случае, если применять ее к целым числам, не переходящим некоторой границы. Но стоит нам ограничить формулировку теоремы Лагранжа, как она сразу перестает быть интересной для математика, поскольку вся притягательная сила этой теоремы заключается в ее применимости ко всем целым числам. Существует великое множество утверждений о целых числах, которые можно проверить с помощью компьютеров для очень больших чисел; но, коль скоро общего (аналитического) доказательства не найдено, они остаются гипотетическими и не интересны профессиональным математикам [последним именно поэтому и неинтересна моя виртуальная космология!].

Сосредоточенность на темах, далеких от непосредственных приложений, не является чем-то необычным для ученых, работающих в любой области, будь то астрономия или биология. Однако в то время как экспериментальный результат можно уточнить и улучшить, математическое доказательство всегда носит окончательный характер. Именно поэтому трудно удержаться от искушения рассматривать математику, или, по крайней мере, ту ее часть, которая не имеет отношения к 'реальности', как искусство (а не науку).

Математические проблемы не навязываются извне, и, если принять современную точку зрения, мы совершенно свободны в выборе материала. При оценке некоторых математических работ у математиков нет 'объективных' критериев, и они вынуждены полагаться на собственный 'вкус'. Вкусы же сильно меняются в зависимости от времени, страны, традиций и отдельных личностей. В современной математике существуют мода и три 'школы': 'классицисты', 'модернисты' и 'абстракционисты'. Чтобы лучше понять различия между ними, проанализируем четыре критерия, которыми пользуются математики, когда оценивают теорему или группу теорем:

1). 'Красивый' математический результат должен быть нетривиальным. Это не следствие аксиом или известных теорем; должна быть новая идея или остроумно применены старые представления. То есть для математика важен не сам результат, а процесс преодоления трудностей, с которыми он столкнулся при его получении.

2). Существенным элементом 'красоты' теоремы является ее простота. Поиск простоты свойствен всей научной мысли начиная ещё с древнегреческого философа Эпикура (341 - 270 гг. до н. э.), впервые высказавшего мысль о том, что за кажущейся сложностью и бесконечным разнообразием окружающего нас мира может скрываться внутренняя простота структуры.

3). Математик обязан решить новую задачу любыми возможными средствами. Однако, начиная с 19 века, математики явно делятся на 'тактиков', стремящихся найти чисто силовое решение задачи (классическими средствами математики), и на 'стратегов', склонных к обходным маневрам (более 'абстрактным' структурам), дающим им возможность сокрушить проблему малыми силами.

4). У любой математической проблемы есть своя история ('родословная'). Когда решение получено (например, через 356 лет как у Великой теоремы Ферма), история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Так, теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых степеней и т.д. ('проблема Варинга', до сих пор окончательно не решенная). Даже если первоначальная теория, в конце концов 'умирает', она, как правило, оставляет после себя многочисленные живые побеги.

Математики уже столкнулись с такой необозримой россыпью задач, что, даже если бы прервалась всякая связь с экспериментальной наукой, их решение заняло бы еще... несколько столетий!

Однако экспериментаторы готовы примириться с 'некрасивыми решениями', лишь бы задача была решена. Точно так же и в математике классицисты и абстракционисты не очень обеспокоены появлением 'патологических' результатов. (Например, в 1890 г. был получен следующий 'патологический' результат: удалось построить пример непрерывной кривой, которая целиком заполняет квадрат, то есть проходит через все его точки (кривая Пеано). С тех пор были изобретены сотни таких математических 'монстров', противоречивших 'здравому смыслу' и повергших математиков в шок.) С другой стороны, модернисты заходят так далеко, что усматривают в появлении 'патологий' в новой теории - симптом, свидетельствующий о несовершенстве основополагающих понятий.

10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Теория чисел - это бесконечно обширная область математики, которую можно исследовать с самых разных точек зрения. Об этом говорит тот факт, что перед словами 'теория чисел' часто уточняют название раздела этой теории: классическая (аналитическая) ..., аддитивная ..., мультипликативная ..., и, наконец, моя графическая теория натуральных чисел (ГТНЧ), а также ещё различают теорию алгебраических чисел и трансцендентных чисел.

Классическая теория чисел - чрезвычайно сложный раздел математики. Мы проиллюстрируем это в небольшом экскурсе в историю, связанном с тремя яркими, талантливыми личностями, внесшими заметный вклад в математику (в том числе в теорию чисел).

Основные труды английского математика Г. Х. Харди (1877-1947) посвящены теории чисел и теории функций. Большинство его трудов выполнено совместно с английским математиком - Дж. И. Литлвудом (1885-1977), но отдельные работы Харди были выполнены вместе с самобытным индийским математиком С. Рамануджаном (1887-1920), которого Харди считал своим открытием и 'единственным романтическим событием' в жизни. Харди говорит о нём так (см. книгу Харди 'Двенадцать лекций о Рамануджане').

Рамануджан был самой романтической фигурой в современной истории математики. Не имея специального математического образования, он за свою короткую жизнь сделал многое: его опубликованные работы образуют книгу в 400 страниц, и осталось масса не опубликованных работ. Его можно считать самым великим формалистом своего времени, ибо его формулы (показывал их Харди полдюжины почти каждый день) - просто поражают.

Исключительные способности в математике у Рамануджана проявились к 10 годам. Однако критический для карьеры любого математика период (18-25 лет, когда ум наиболее эластичен) был, к сожалению, упущен в борьбе с трудностями жизни бедной индуской семьи (в 22 года Рамануджан женился). Таким образом, в лучшие годы его гений был направлен в неверном направлении, отодвинут на запасные пути и до некоторой степени искажен. Только в возрасте 26 лет Рамануджан написал письмо Харди, после чего тот смог доставить его из Индии в Англию. Но всего три года спустя Рамануджан заболел туберкулёзом и так больше и не выздоровел.

Рамануджан говорил Харди, что богиня Намаккал внушала ему формулы во снах (см. выше про сны Пенроуза). Часто, встав с кровати, он мог записать результаты и быстро проверить их, хотя и не всегда мог дать строгое доказательство. Но Рамануджан не был мистиком и религия не являлась важной частью его жизни; он считал, что все религии более или менее одинаково истинны, то есть никак не выделял индуизм, а только выполнял его обряды [кстати, сам Харди не верил в древнюю мудрость Востока]. Рамануджан не являлся убежденным атеистом, он был типичным агностиком и ортодоксальным индусом из высокой (но очень бедной) касты; был строгим вегетарианцем, и сам готовил себе еду (предварительно переодевшись в пижаму).

В самостоятельных работах Рамануджана нет простоты и неизбежности, свойственных величайшим работам других математиков. Его работы были скорее странными. Большую часть своей жизни [до приезда в Англию] он работал, оставаясь в неведении относительно открытий современных европейских математиков (около 2/3 его работ - это переоткрытия). Отсюда идет его вызов почти всем канонам: его формулы практически не содержат доказательств; он не до конца понимал, что такое аналитическая функция; он никогда не использовал глубокую теорему Коши. Рамануджан был далек от понимания настоящих сложностей аналитической теории чисел, которая оказалась его единственным настоящим поражением: здесь он в одиночку почти ничего не доказал и многое из того, что он вообразил, было ложным. Но, вместе с тем, у него была страсть к самим числам: его способность помнить характерные особенности чисел была почти сверхъестественной. По словам Литлвуда, каждое положительное число было одним из личных друзей Рамануджана...

В словах Харди для нас важен тот факт, что даже такому гению как Рамануджан теория чисел не открыла свои тайны. Вот как это объясняет сам Харди [курсив мой]: 'Аналитическая теория чисел является одной из тех исключительных областей математики, в которых доказательство является всем и ничего, лишенное абсолютной строгости, не принимается. ... вы не можете достигнуть никакого настоящего понимания структуры и смысла теории [чисел] или получить какой-либо здравый инстинкт, ведущий вас в дальнейших исследованиях, пока вы не изучите доказательства. Сравнительно просто делать остроумные догадки, действительно, существуют теоремы, подобные 'теореме Гольдбаха', которые никогда не были доказаны и которые любой дурак может угадать'. 'Математик обычно получает теорему с помощью интуиции; он обнаруживает правдоподобное заключение и начинает работать над созданием доказательства. Иногда это является рутинным действием, и любой хорошо обученный профессионал может представить требуемый результат, но более часто воображение является очень ненадежным проводником. В частности, так происходит в аналитической теории чисел, где даже воображение Рамануджана вело его по неправильному пути'. 'Никто не может убедить себя, что 2^127-1 является простым числом, если не изучить доказательство. Никто не имеет столь живого и всеобъемлющего воображения'.

Великое заблуждение? Как правило, ещё в школе на уроке арифметики мы впервые узнаем слова гениального Карла Гаусса: 'Математика - королева наук, а теория чисел - королева математики'. Однако далеко не все математики разделяли такую точку зрения. Например, уважаемый Харди соглашался с Гауссом, но в том смысле, что теория чисел также... бесполезна, как английская королева. Это остроумное высказывание Харди, возможно, является примером великого заблуждения (оно исходит от великих умов). В истории науки таких примеров немало, так, гениальный Эйлер считал, что человеческий ум никогда не проникнет в тайну распределения простых чисел (многие тайны этих чисел были позже раскрыты!), а великий Эйнштейн так и не признал квантовую механику (ставшую вскоре одним из столпов современной физики!).

Общеизвестно, что со священным трепетом относился к натуральным числам знаменитый Пифагор (см. выше 'Изречения великих'). Однако преклонение древних пифагорейцев перед числами со временем стали объяснять исключительно ограниченностью их знаний (что может быть спорным, так считал, например, даже Эйлер).

В наше время значение общеизвестной теории чисел явно занижено даже среди профессиональных математиков. Например, когда в 2005 г. я впервые обратился в Санкт-Петербургский математический институт им. В. А. Стеклова РАН, то мне указали только на... одного единственного (!) специалиста по теории чисел - на уважаемого Бориса Вениаминовича Лурье (увы, моя 'теория' оставила его абсолютно равнодушным). Осень 2010 г. я впервые отправил (по электронной почте) в указанный институт свои статьи по виртуальной космологии (многим конкретным специалистам по соответствующим областям математики), однако никаких ответов мне не последовало. Что касается 'широкой публики', то для неё теория чисел - это что-то вроде кабалистики ('науки' о числах), астрологии и т.п. мракобесья. И даже моя виртуальная космология (скорее, любопытная общедоступная игра 'в числа', нежели наука) для читателей интернета остается, вообще говоря, малопонятным... бредом (как не печально это осознавать).

Главным аргументом 'полезности' теории чисел в реальной жизни стало применение простых чисел в криптографии (с 1977 г.), занимающейся, как известно, кодированием секретных сообщений. Оказалось, что удобным шифровальным ключом может служить огромное составное число, полученное перемножением двух больших простых чисел (скажем, порядка 10^80). Эти два числа - надежный дешифровальный ключ, для поиска которого надо факторизовать шифровальный ключ на два простых множителя, что сделать практически невозможно, так как даже самым мощным компьютерам в мире на это потребуется несколько лет работы.

Ещё простые числа якобы причастны к миру живой природы, однако, доказательства этого факта выглядят пока малоубедительно [например, см. книгу С. Сингха 'Великая теорема Ферма', стр. 100]. На фоне весьма скромной роли, которую официальная наука отводит теории чисел, моя виртуальная космология выглядит полным безумием, ибо её рефлекции 'усматривают' глубочайшую связь мира чисел с фундаментальными основами мироздания (пространства-времени). Можно сказать, что виртуальная космология - это пифагореизм XXI века, апеллирующий к открытиям современных естественных наук. Кстати говоря, львиная доля этих открытий совершена за последние 300 лет (всего лишь крохотный миг в долгой истории человечества!), и подобными знаниями, в принципе, могла обладать предыдущая 'волна' человеческой цивилизации, исчезнувшей в некой глобальной катастрофе (по типу пресловутой Атлантиды). Быть может, девиз пифагорейцев 'Всё есть число' - это своеобразное 'эхо' погибшей цивилизации, ведь любые устные предания быстро утрачивают достоверную информацию, 'растворяя' её практически до нуля...

© Copyright Исаев Александр Васильевич (si-spb-2011@mail.ru) Размещен: 15/11/2010, изменен: 16/01/2011. 128k. Статистика. Статья: Естествознание МИРЫ ИСАЕВА (моя книга 2010 г.)		Ваша оценка:

Исаев Александр Васильевич : другие произведения.

Раздел 1. Введение