Исаев Александр Васильевич

Бозон Хиггса и масса... натуральных чисел

Бозон Хиггса, предсказанный ещё в 1960-х годах английским физиком-теоретиком Питером Хиггсом, судя по всему, физики-экспериментаторы вот-вот откроют (или уже открыли?), причем данное открытие можно будет назвать самым важным в физике элементарных частиц за последние шесть десятилетий. Именно бозон Хиггса наделяет все остальные элементарные частицы  массами, поэтому данный бозон представляет собой "краеугольный камень" так называемой Стандартной модели (см. ниже) в теоретической физике. Однако, например, в Википедии в статье 'Стандартная модель' сам бозон Хиггса даже... НЕ упоминается (ни словом - и в этом своя 'прелесть' для желающих познать тайны физики)! Самая крупная экспериментальная установка в мире - Большой адронный коллайдер (БАК) - была построена фактически в первую очередь для того, чтобы поймать "строптивый" бозон Хиггса. БАК - ускоритель заряженных частиц на встречных пучках, предназначенный для разгона протонов и тяжёлых ионов и изучения продуктов их соударений. БАК построен на границе Швейцарии и Франции (недалеко от Женевы), в строительстве БАК (начатом в 2001 году) и исследованиях участвуют более 10.000 учёных и инженеров из более чем 100 стран.

Стандартная модель - это физическая теория, хорошо описывающая все фундаментальные взаимодействия (четыре силы природы), за исключением гравитации (силы притяжения). Согласно этой модели всё вещество во Вселенной состоит из 24 фундаментальных частиц: 6 лептонов (в том числе нейтрино) и 6 кварков (в том числе t-кварк). То есть в природе все прочие элементарные частицы (количество 'сортов' которых, как предполагают физики-теоретики, бесконечно) 'строятся' из указанных фундаментальных частиц. По состоянию на конец XX века все предсказания Стандартной модели подтверждались экспериментально, иногда с очень высокой точностью в миллионные доли процента. Только в 2000-е годы стали появляться результаты, в которых предсказания Стандартной модели слегка расходятся с экспериментом и даже явления, крайне трудно поддающиеся интерпретации в её рамках. С другой стороны, очевидно, что Стандартная модель не может являться последним словом в физике элементарных частиц, ибо она содержит слишком много внешних параметров, а также не включает гравитацию. Поэтому поиск отклонений от Стандартной модели (так называемой 'новой физики') - одно из самых активных направлений исследования в 2010-х годах. Ожидалось, что эксперименты на БАК смогут зарегистрировать множество отклонений от Стандартной модели, однако по состоянию на конец 2011 года после двух лет экспериментов таких отклонений обнаружено не было.

Среди всех фундаментальных частиц Стандартной модели наиболее массивным является t-кварк, который имеет массу 173,1 ГэВ/c^2 (гигаэлектронвольт, то есть 173,1∙10^9 эВ/c^2). Поясню, что в физике элементарных частиц в электронвольтах (эВ) обычно выражается не только энергия, но и масса элементарных частиц, исходя из эквивалентности массы (m) и энергии Е = m∙c^2, где c - скорость света. Масса t-кварка близка к массе ядра рения.

Наименьшей массой среди всех фундаментальных частиц Стандартной модели обладает нейтрино. Верхняя экспериментальная оценка суммы масс всех типов нейтрино составляет всего 0,28 эВ. Если допустить, что масса нейтрино равна 0,24 эВ, то тогда масса  t-кварка будет превышать массу нейтрино в и-триллион раз (173,1∙10^9/0,24 = 7∙10^11, см. в моём блоге статью про и-триллион). Бозон Хиггса, если он существует, по оценке физиков имеет массу в интервале 115 - 130 ГэВ, то есть масса бозона Хиггса близка к максимально возможной массе фундаментальных частиц...

Многочисленные сообщения в Интернете о поиске бозоне Хиггса (с помощью БАК) натолкнули меня на мысль найти некий 'аналог' физического понятия 'масса' и в мире... натуральных чисел (в Пирамиде делителей). Что из этого получилось - представлено ниже. По сути дела, предлагаемые исследования являются продолжением моей статьи 'Большие числа Дирака и... Пирамида делителей' (и подразумевается, что читатель уже имеет представление о Пирамиде делителей).

Итак, в Пирамиде (делителей) всякое натуральное число N расположено на своей ступени (с порядковым номером С = 1, 2, 3, 4, ...), при этом число N имеет ещё и свой порядковый номер (J = 1, 2, 3, 4, ....) на данной ступени. То есть J - это 'счётчик' чисел N 'внутри' каждой ступени (или на каждой ступени - можно и так говорить) и 'показания' счётчика J на каждой ступени растут (начиная с J = 1):

- на 1-й ступени (при С = 1) имеем J = 1, 2, 3 (это у чисел N = 1, 2, 3);

- на 2-й ступени (при С = 2) имеем J = 1, 2, 3, 4, 5 (это у чисел N = 4, 5, 6, 7, 8);

- на 3-й ступени (при С = 3) имеем J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (это у чисел N = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) и т.д.

В Большой Пирамиде (N = 8*10^60) последняя (самая длинная) ступень будет иметь номер С = N^0,5 = 2,83*10^30 (функцией 'антье' мы здесь пренебрегаем), а счётчик чисел на последней ступени будет выдавать такие значения J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., (2*С +1). Таким образом, в Пирамиде положение каждого натурального числа N задано (указано) двумя номерами (С и J), ведь для любого числа N можно записать N = С^2 + (J - 1). При этом никто и ничто (кроме пресловутого 'здравого смысла') не запрещает нам 'сконструировать' из этих двух номеров (С и J) некие параметры, названия которых ('энергия', 'масса') - чисто условные, основанные на сугубо моих ассоциациях и не более того (читатель даже может предложить для этих параметров свои названия):

Е = (J - 1)            - энергия  натурального числа N (стоящего в Пирамиде под номером J на ступени С);

m = (J - 1)/C^2    - масса натурального числа N (стоящего в Пирамиде под номером J на ступени С).

Вот так и в мире натуральных чисел мы получаем формулу E = m*С^2, которая (чисто внешне) повторяет знаменитую формулу Эйнштейна из ядерной физики (отчасти поэтому я и назвал указанные параметры Пирамиды терминами 'энергия' и 'масса'). Кстати, в данной статье мы говорим о массе натуральных чисел N, а не о массе камней-клеток Пирамиды (о которых я рассказывал ранее в своих книгах и статьях) - это абсолютно разные параметры из мира чисел, и их лучше было бы назвать даже разными терминами (но я не стану этого делать).

Вместе с тем, 'как не крути', но из моих терминов вытекает, что я пытаюсь-таки отождествить порядковый номер ступени (Ствола) Пирамиды (параметр С из виртуального мира натуральных чисел) со... скоростью света в вакууме (с = 299.792.458 м/с - фундаментальная физическая постоянная). Поэтому пристальней посмотрим на номер ступени Ствола (С = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...). Зная начало ступени, то есть, зная первое число N = C^2 на данной ступени (с порядковым номером С), мы всегда можем вычислить номер самой ступени: С =  N^0,5 [или C = N^(1/2)]. То есть число N расположено на ступени, номер которой численно равен корню квадратному из числа N. Для Большой Пирамиды можно полагать (опуская несущественные для данной статьи 'тонкости'), что порядковый номер последней (самой длинной) ступени (Ствола) равен С = (8*10^60)^0,5 = 2,8284*10^30, и именно это число я отождествляю со скоростью света 'в настоящее время' (точнее говоря, буквально 'в сию секунду'). То есть в рамках виртуальной космологии за время существования Вселенной (на всей длине Большой Пирамиды) скорость света увеличилась на 30 порядков. При этом в Большой Пирамиде наименьшая из всех возможных масс (без учета нулевых масс в начале каждой ступени) будет у второго числа N, стоящего на последней (самой длинной) ступени Ствола ('в настоящее время'). Очевидно, что указанная минимальная масса равна следующему: m = 1/C^2 = 1/(2,83*10^30)^2 = 1,25*10^-61, то есть наибольшая масса (m = 2 у числа N = 3, то есть в момент 'зарождения Вселенной') превосходит наименьшую массу ('в настоящее время') в 1,6*10^61 раз, то есть на 61 порядок. Насколько абсурдны подобные мои аналогии виртуального мира чисел с реальной физикой? Тут уместно процитировать статью 'Переменная скорость света' из Википедии (которую каждый может прочесть): '....Идея Моффата и команды Альбрехт-Магейжу состоит в том, что свет распространялся на целых 60 порядков быстрее в ранней Вселенной...'. Значит, мои аналогии имеют право на существование, а их абсурд может возникать только из-за моих неудачных терминов, скажем, я назвал некий параметр из мира чисел 'массой', а его лучше было бы назвать 'скоростью света' и т.д. и т.п. Однако в любом случае, несмотря на самую разнообразную критику читателей, меня всё-таки не покидает ощущение, что законы мира чисел - это некое 'зеркало' (пусть даже 'кривое зеркало') Вселенной, то есть некий наипростейший 'эрзац' (суррогат, неполноценный заменитель) математической модели Вселенной. При этом сама математика (а, фактически, мощь разума наших физиков-теоретиков) ещё столь несовершенна, что не способна адекватно описать Вселенную. Впрочем последнего, возможно, и нельзя достигнуть в принципе, поскольку сами законы физики непрерывно эволюционируют, усложняются, 'запутываясь в клубок' всё новых и новых структурных взаимосвязей, подобно тому, как эволюционирует 'внутренняя' структура мира натуральных чисел (его законы, взаимосвязи) по мере роста Пирамиды делителей (так, 'эволюцию массы' у чисел - мы увидим ниже). Кроме того, меня вдохновляет сама мысль о том, что фундаментальные тайны мироустройства могут быть 'зашифрованы' в... числах: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., которые буквально 'лежат у нас под ногами', но жрецы науки оставляют мир чисел без должного внимания (впрочем, Пифагор, Леонард Эйлер и другие велики умы предчувствовали реальную 'миссию' мира чисел, которая и для меня уже давно стала чем-то вроде... религии). И, прежде, чем вернуться к понятию 'масса' натурального числа N, я добавлю ещё такую 'информацию к размышлению': так называемая планковская масса (2,18*10^-8 кг) превосходит минимальную массу Вселенной (2,85*10^-69 кг) в 0,8*10^61 раз; максимальная возможная масса Вселенной (3,488*10^53 кг - с учетом всей невидимой нами материи) превосходит планковскую массу в 1,6*10^61 раз; масса нашего Солнца (самой заурядной, типовой, наиболее характерной звезды для Вселенной) превосходит массу 1 кг (выбранного человеком в качестве эталона массы) в 2*10^30 раз. А в мире чисел в конце последней ступени Большой Пирамиды ('в настоящее время') масса составляет m = [(2*C +1) - 1]/C^2 = 2/C = 2/(2,83*10^30) = 7,071*10^-31, то есть в пределах последней ступени масса возрастает в 5,66*10^30 раз.

Длина последней ступени (Ствола) Большой Пирамиды равна L = 2*C^2 +1 = 5,66*10^30, то есть именно такое количество натуральных чисел N образует последнюю ступень. Поскольку в рамках виртуальной космологии указанное L - это также количество планковских времен (эви), то длина последней ступени эквивалентна отрезку времени в 3*10^-13 секунды. Для сравнения можно сказать, что пикосекунда (10^-12 сек) - это характерное время колебания кристаллической решетки (время образования и разрыва химических связей), а фемтосекунда (10^-15 сек) - это характерное время колебания атомов, время колебания электромагнитного поля в световой волне.

Пусть последняя ступень Большой Пирамиды имеет номер С и последнее (наибольшее) число  N2 = 8*10^60, а некая предшествующая ступень имеет номер (С - D) и последнее число N1. Тогда между числами N1 и N2 будет находиться следующее количество натуральных чисел (или эви):

N2 - N1 = (C^2 + 2*C) - [(C - D)^2 + 2*(C - D)] = D*(2*C + 1),

а разница длин указанных двух ступеней будет равна:

L2 - L1 = (2*C - 1) - [2*(C - D) - 1] =  2*D.

Например, при С = 2,8284*10^30 ('в наше время') мы возьмем D = 1,028*10^22, тогда получим следующее:

N2 - N1 = 5,8152*10^52 чисел или эви, что эквивалентно последним 100 годам (отсчитывая 'от сегодняшнего дня'),

L2 - L1 = 2,0560*10^22 чисел или эви, что эквивалентно 1,11*10^-21 секунды, то есть за последние 100 лет, как номер ступени (С), так и длина ступени (L) увеличилась на 0,000.000.4%. А теперь я задаю такой вопрос: Подобное изменение (подчеркиваю, в течение последних 100 лет!), скажем, в значении... скорости света физики способны измерить? И, если этого они ещё не способны сделать, то и отвергать мою гипотезу, вероятно, не следует?

Ну а теперь мы окончательно окунемся в мир чисел. В силу нашего определения нулевую массу имеют исключительно первые числа N каждой ступени Ствола и исключительно эти числа N имеют нечетное количество целых делителей, то есть имеют нечетный тип Т (который не делится нацело на 2). Указанные числа N = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (все они описываются формулой N = C^2, где С = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) в бесконечном мире натуральных чисел встречаются всё реже и реже (с ростом С - порядкового номера ступени Ствола), поэтому множество всех чисел N с нечетными типами Т я назвал редкими мирами (все числа N с данным типом Т образует свой бесконечный мир со своими неповторимыми математическими законами). То есть нулевую массу имеют числа N только из редких миров - и это совершенно особые натуральные числа, аналогично тому, как в физике фотоны (имеющие нулевую массу покоя) - это совершенно особые элементарные частицы.

Из наших выше принятых определений вытекают такие полезные формулы:  

J = N - C^2 +1;           m = N/C^2 - 1,

при этом уместно напомнить, что С = А(N^0,5), то есть порядковый номер (С) ступени Ствола (Пирамиды) численно равен функции 'антье' (А) корня квадратного из числа N (в наших обозначениях это N^0,5). Функция 'антье' выделяет целую часть, например для N = 7 мы получаем N^0,5 = 2,645... и С = А(2,645...) = 2; значит, число N = 7 находится на ступени с номером С = 2 (после чего мы легко вычисляем и J, и m для числа N = 7).

 В пределах ('внутри') каждой ступени (с порядковым номером С) у чисел N массы m будут расти:

- у первого числа N на каждой ступени - масса равна 0 (и числа N с нулевой массой мы далее не рассматриваем);

- у второго числа N на каждой ступени - масса равна 1/С^2 (ненулевая минимальная масса на данной ступени С);

- у последнего числа N на каждой ступени - масса равна 2/С (это максимальная масса на данной ступени С).

Таким образом, в пределах каждой ступени масса чисел N возрастает ровно в 2*С раз. И какое бы натуральное число N мы не взяли, его масса (m) всегда находится в диапазоне от 1/C^2 до 2/С.

Суммарная энергия всех чисел N в Пирамиде равна Е  = (2/3)*N^(3/2) + (3/2)*N + (5/6)*N^(1/2),

Суммарная энергия всех чисел, образующих ступень Ствола с номером С, очевидно, будет равна следующему (это вытекает непосредственно из нашего определения понятия 'энергия'): (1 - 1) + (2 - 1) + (3 - 1) + ... + (J - 1) = (1 + 2 + 3 + ... + J) - J = (1 + J)*J/2 - J = (J^2 - J)/2, где J = L = 2C + 1 - длина ступени (показания счётчика J для последнего числа на ступени с номером С). Поэтому суммарная энергия всех чисел на ступени С определяется выражением С*(2С +1) = 2*С^2 + C = 2N + N^0,5, где N = C^2 - это первое число на ступени с номером С. Таким образом, мы видим, что суммарная энергия всех чисел N на ступени с номером С численно равна количеству (kс) всех (черных и серых) камней на данной ступени Ствола. Значит, суммарная энергия (Е) всех чисел N на всех ступенях (с номерами 1, 2, 3, ..., С) численно равна количеству (Кc) всех (черных и серых) камней в Стволе (на указанных ступенях) - см. мою статью 'Большие числа Дирака и... Пирамида делителей'. В силу наших новых определений суммарная энергия Е всех чисел N, которая 'набежала' к концу ступени с номером С, остается неизменной и вначале последующей ступени (с номером С + 1). Итак, мы получаем Е  = Kc = (2/3)*N^(3/2) + (3/2)*N + (5/6)*N^(1/2), где N - это первое число на ступени с номером С.

Для Большой Пирамиды (N = 8*10^60) мы получаем такие оценки:

2*N = 16*10^60 = 1,6*10^61 - суммарная энергия всех натуральных чисел N на последней ступени Ствола,

Е = (2/3)*N^(3/2) = 1,5*10^91 - суммарная энергия всех натуральных чисел N (на всех ступенях) Ствола.

Можно вычислять суммарную энергию всех простых чисел (Ер), а также долю, которая эта энергия составляет в суммарной энергии (Е) всех чисел Пирамиды, то есть можно вычислять отношение (Ер/Е). Это отношение, вообще говоря, устремляется к нулю (скажем, начиная со значений 0,165-0,205), при этом в конце последней ступени Ствола ('в наше время') отношение Ер/Е численно может оказаться равным некой... фундаментальной физической константе, например,... постоянной тонкой структуры (ПТС = 0,007297...).

Суммарная масса всех чисел N равна m = 2*N^0,5 + 0,5*lnN + 0,577...

В силу нашего определения суммарная масса всех чисел N на ступени с номером С (и длиной L = 2*С +1) определяется выражением (1 - 1)/C^2 + (2 - 1)/C^2 + (3 - 1)/C^2 + ... (L - 1)/C^2 = [(L +1)L/2 - L]/C^2 = (2С^2 + C)/C^2 = 2 + 1/C. Значит, суммарная масса (m) всех чисел N на всех ступенях (с номерами 1, 2, 3, 4, ...,С) будет равна следующему: m = (2 + 1/1) + (2 + 1/2) + (2 + 1/3) + (2 + 1/4) + ... + (2 + 1/C) = 2*C + lnC + Э = 2*N^0,5 + 0,5*lnN + 0,577215..., где N = C^2 - это первое число на ступени с номером С. Здесь мы в очередной раз воспользовались общеизвестной суммой гармонического ряда (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...+ 1/С).

Для Большой Пирамиды (N = 8*10^60) мы получаем: m = 2*N^0,5 = 5,66*10^30 - суммарная масса всех натуральных чисел N (на всех ступенях) Ствола. Зная суммарную энергию Е  = (2/3)*N^(3/2) и суммарную массу m = 2*N^(1/2) мы можем вычислить некий, скажем, условный номер (Су) Большой Пирамиды: Су = (E/m)^0,5 = (1/3)^0,5*N^0,5 = 0,57735*N^0,5. То есть условный номер Су почти в два раза меньше номера последней (самой высокой) ступени Ствола, а также полученный здесь коэффициент (1/3)^0,5 = 0,57735... чуть больше постоянной Эйлера (Э = 0,577215...) и немного меньше пресловутого золотого сечения (0,618), 'призрак' которого то и дело появляется в рамках виртуальной космологии (на Большом отрезке, в Большой Пирамиде). 

Можно вычислять суммарную массу всех простых чисел (mр), а также долю, которая эта масса составляет в суммарной массе (m) всех чисел Пирамиды, то есть можно вычислять отношение (mр/m). Это отношение, вообще говоря, устремляется к нулю (скажем, начиная со значений 0,25-0,30), при этом в конце последней ступени Ствола ('в наше время') отношение mр/m численно также может оказаться равным некой фундаментальной физической константе (постоянной тонкой структуры и т.д.). Во всяком случае, в рамках виртуальной космологии 'признаки' подобных численных совпадений появлялись неоднократно.

А теперь мы рассмотрим ненулевые массы (m) у всех чисел на произвольно взятом отрезке натурального ряда [1; Nо], где Nо - достаточно большое число. Для примера мы возьмем Nо = 65500 (это 476-е число на 255-й ступени Ствола, то есть параметры выбранного числа Nо таковы: Со = 255 и Jо = 476, поскольку 65500 = 255^2 +476 - 1). У каждого из натуральных чисел (N) выбранного отрезка мы вычислим массу, которая будет находиться в диапазоне от m = 1/С^2  до m = 2/C, где С - это номер ступени числа N (ясно, что С = 1, 2, 3, 4, 5, ...., Со). То есть на отрезке  [1; Nо] массы находятся в диапазоне от m = 2/C = 2/1 = 2 (максимальная масса на выбранном отрезке) до m = 1/Со^2  = 1/255^2 = 0,0000154 - это минимальная масса на выбранном отрезке (из последующего рассмотрения мы исключили 255 нулевых масс, а также исключим две массы m = 2). Указанный диапазон всех значений m мы подвергнем так называемому натуральному разбиению (мой термин в рамках виртуальной космологии), то есть в логарифмической шкале границы полученных интервалов - это ряд натуральных чисел: ln(m) = 0, -1, -2, -3, ..., -11, -12, поскольку в качестве границ интервалов будут выступать массы m = e^0; e^-1; e^-2; e^-3; ..., e^-11; e^-12 (где е = 2,718...), то есть массы соответственно равные m = 1; 0,367879; 0,135335; 0,049787; ...; 0,000017; 0,000006. Работая, скажем, в общедоступной программе 'Excel', нетрудно убедиться, в следующем: в 1-й интервал масс (e^-1;e^0] (в котором массы m свыше 0,367879 и до 1 включительно) - попадает 11 разных чисел N (их массы оказываются именно в обозначенном интервале масс); во 2-й интервал масс (e^-2;e^-1] (m свыше 0,135335 и до 0,367879 включительно) - попадает 68 чисел N; в 3-й интервал масс (e^-3;e^-2] (m свыше 0,049787 и до 0,135335 включительно) - попадает 478 чисел N, и т.д. Так мы получим набор ('горку') количеств: K = 11, 68, 478, 3469, 23882, 23677, 8714, 3198, 1172, 422, 142, 11 - количества чисел N, массы которых попали в соответствующий интервал (масс). Больше всего чисел (23882 числа) имеют массу из пятого интервала (m свыше e^-5 = 0,006738 и до e^-4 = 0,018316 включительно). При этом, если m - это большая граница каждого из указанных интервалов (натурального разбиения), то для первых пяти интервалов можно записать 'возрастающий' степенной закон: K = 10,426/m^1,9298, а для последующих шести интервалов можно записать 'убывающий' степенной закон: K = 4000000*m^1,0191. Наличие подобных степенных законов говорит о том, что закон нормального распределения (закон Гаусса) здесь никогда не реализуется (хотя получаемые графики указанных степенных законов напоминают некое нормальное распределение). Точка пересечения указанных степенных законов дает нам параметры вершины 'горки': m = 0,012777 - и эта масса, действительно, попадает в пятый интервал (то есть таким путем можно прогнозировать вершину 'горки'); а вот с количеством (К) на вершине 'горки' ситуация хуже - мы получим K = 47025, что почти в два раза превосходит реальный максимум (равный 23882 чисел на вершине 'горки'), однако с ростом длины отрезка [1; Nо] (то есть с ростом числа Nо) параметр К также будет приближаться к реальному значению.

Аналогичным образом (с применением натурального разбиения) можно рассмотреть ненулевые массы (m) у всех чисел на произвольно взятом отрезке натурального ряда [1; Nо], где Nо - достаточно большое число (больше рассмотренного нами Nо = 65500). Подобные рассмотрения привело меня к следующей гипотезе: при достаточно большом Nо почти половина всех чисел будет иметь массу почти равную m = X/(No)^0,5, где Х = 3,14... или  равно другой математической константе (даже, возможно, m = 2/Сo, где Со - номер последней ступени). Значит, на Большом отрезке (Nо = 8*10^60) почти половина всех натуральных чисел N будет иметь массу порядка m = 10^-30.

Кратности масс

Согласно принятому нами определению масса [m = (J - 1)/C^2] натурального числа N зависит от двух параметров данного числа N: от порядкового номера его ступени Ствола (это будет одно из чисел С = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...) и порядкового номера данного числа N на данной ступени (это будет одно из чисел J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 2С+1). Значит, у разных натуральных чисел N (при всевозможных сочетаниях их параметров C и J)  мы будем обнаруживать одинаковые массы (равенство многих и многих энергий у разных чисел N - абсолютно очевидно). Например, у чисел N = 6 и N = 24 массы равны 0,5; у чисел N = 12 и N = 48 массы равны 0,3333...; у чисел N = 5; 20; 45; 80 массы равны 0,25 и т.д. Поэтому мы введём понятие "кратность" (R) массы m (у каждого из чисел N). Нетрудно убедиться, что существует, скажем, серия из 200 натуральных чисел (N = 10.001, 40.004, 90.009, 160.016, ..., 400.040.000), которые имеют одинаковую массу m = 0,0001, то есть, что кратность указанной массы будет равна 200 (R = 200), и никакие другие натуральные числа N не будут иметь массу m = 0,0001. Подобных серий (с другими массами m) - бесконечно много и все эти серии подчиняются красивым закономерностям, о которых расскажу чуть позже - после разговора о числах N, у которых масса имеет единичную кратность (R = 1).  

Далее я покажу, что в достаточно высокой Пирамиде (и, тем более, в гигантской Большой Пирамиде) почти половина всех чисел N имеют массу (m) с единичной кратностью (R = 1), то есть каждая из таких масс m обнаруживается только единственный раз в мире чисел (у единственного числа N). Например, семь чисел N = 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63 имеют разные массы m, которые больше не обнаружить в мире чисел (у других чисел N); при этом указанные семь чисел N - это вторая половина всех чисел на ступени с номером С = 7 (это простое число), то есть они расположенные сразу после середины седьмой ступени. Напомню, что:

- середина любой ступени (с номером С) - это число N = C^2 + C (в нашем примере N = 7^2 + 7 = 56)

- последнее число ступени (с номером С) - это число N = C^2 + 2*C (в нашем примере N = 7^2 + 2*7 = 63).

По аналогии с рассмотренным примером (c семью числами N в конце седьмой ступени) читателю нетрудно убедиться в следующем фундаментальном законе Пирамиды: если номер ступени (С) - простое число, то вся вторая половина чисел данной ступени (С чисел) имеют массу единичной кратности (попробуйте доказать это аналитически). Указанные числа N, то есть порожденные указанным законом Пирамиды, мы будем называть (для краткости изложения)... тонкими числами, а почему именно 'тонкими' - вскоре станет ясно читателю. Приведу начало бесконечного ряда тонких чисел: N = (3), (13, 14, 15), (31, 32, 33, 34, 35), (57, 58, ..., 62, 63), (133, 134, ..., 142, 143), и т.д. Очевидно, что на каждой ступени (с номером С - простым числом) первое (наименьшее) тонкое число определяется выражением N = C^2 + 2*C - C +1 = C^2 + C + 1, поэтому его масса будет равна m = N/C^2 - 1 = 1/C + 1/C^2 (наименьшая масса среди тонких чисел данной ступени), а последнее (наибольшее) тонкое число определяется выражением N = C^2 + 2*C, поэтому его (наибольшая на данной ступени) масса будет равна m = N/C^2 - 1 = 2/C.

В связи с разговором о тонких числах напомню читателю, что простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) - это натуральные числа, которые делятся нацело только на самих себя и на единицу. И, согласно основной теоремы арифметики, именно из простых чисел 'строятся' как из 'кирпичиков' ВСЕ прочие (составные) натуральные числа. Вот почему простые числа - это  главный объект изучения общеизвестной теории чисел. Одна из основных и древнейших теорем данной теории утверждает, что количество простых чисел на отрезке от 1 до N асимптотически устремляется к выражению N/lnN [при N больше 3 это выражение дает результат чуть меньше реального количества простых чисел, при этом по моей оценке относительная погрешность составит около ln(пи)/lnN = 1,1447/lnN]. Например, в Большой Пирамиде (на Большом отрезке натурального ряда, у которого по определению N = 8*10^60) количество простых чисел составляет около 1/140 части всех чисел Большого отрезка, поскольку ln(8*10^60) = ln8 + 60*ln10 = 140,2345.... И среди всех простых чисел нет даже двух чисел N, массы (m) которых были одинаковыми.

Количество всех ступеней (в Стволе) Большой Пирамиды равно Сп = N^0,5 = (8*10^60)^0,5 = 2,8284*10^30, поэтому среди этих ступеней только Cп/ln(Cп) = 4,0338*10^28 ступеней (около 1/70 части всех ступеней) будут иметь в качестве номера ступени (С) - простое число. И, как я уже сказал выше, каждая из таких ступеней содержит по С (штук) тонких чисел N (с массой m, кратность которой равна единице: R = 1), а общее количество тонких чисел N, очевидно, будет равно сумме всех простых чисел (2 + 3 + 5 + 7 + ... + Cп), нумерующих ступени Большой Пирамиды. Согласно моей оценке (см. мою книгу 'Зеркало 'Вселенной', стр. 15-16) на отрезке от 1 до N сумма простых чисел составляет (N/2)*N/lnN, поэтому 2 + 3 + 5 + 7 + ... + Cп = (Сп/2)*(Сп)/ln(Сп) = 5,7047*10^58, что составляет 0,00713 часть всех чисел Большого отрезка и это - очередной 'призрак' (в виртуальном мире чисел)... постоянной тонкой структуры (ПТС = 0,00729... - фундаментальной физической константы, во многом определяющей физические законы реальной Вселенной). Вот почему выше я ввёл название тонкие числа - ведь речь идет о своеобразной 'тонкой настройке' мира чисел (в данном случае - в части параметра, названного 'массой' натурального числа). Подчеркну, что в рамках виртуальной космологии 'призраки' ПТС неоднократно возникают в мире чисел (об этом есть в моих книгах), а вот и ещё тому пример: Sпч/Sп = 0,00433... (почти в два раза меньше ПТС), где Sпч = 2,28*10^119 - это сумма всех простых чисел на Большом отрезке (по моей оценке, которая, возможно, занижает Sпч почти в два раза?), а Sп = 5,26*10^121 - это сумма всех целых делителей  (у всех натуральных чисел) на Большом отрезке. 

Важное замечание. Для первой ступени (Ствола) Пирамиды открытый нами закон Пирамиды также строго выполняется: номер данной ступени (С = 1) - простое (?) число,  поэтому последнее число (N = 3) данной ступени имеет массу (m = 2) единичной кратности (и это - самая большая масса в мире чисел). Вероятно, приведенный факт очередной раз подтверждает, что единица - это... простое число, правда, число совершенно особое, уникальное, полное загадок. Ведь тогда, например, нам придется согласиться с тем, что порядковый номер этого (якобы 'первого') простого числа (N = 1) 'устремляется' к... бесконечности, поскольку отношение N/lnN = 1/ln1 'устремляется' к бесконечности (ln1 = 0, однако в математике деления на нуль не существует). А вот для второй ступени открытый нами закон Пирамиды НЕ выполняется: номер данной ступени (С = 2) - простое число,  поэтому последние два числа (N = 7 и N = 8) данной ступени 'обязаны' иметь массы (m) с единичной кратности (R = 1), однако этого НЕ происходит: число N = 8 имеет массу m = 1 с кратностью R = 2 (поскольку число N = 2 также имеет массу m = 1). Таким образом, мы сталкиваемся с очередными проявлениями 'магии' (некой 'исключительности') чисел N = 1, 2, 3, 7, 8, а, вернее сказать - с очередными проявлениями сингулярности в начале ряда натуральных чисел, то есть места, где многие законы мира чисел ещё не начали 'правильно работать' или вообще 'не работают'.

Итак, выше было показано, что тонкие числа N - это лишь незначительная (по количеству) часть натуральных чисел, которые имеют массу (m) с единичной кратностью (R = 1). Поэтому все прочие числа с единичной кратностью массы (на ступенях, где номер С не является простым числом) - мы будем называть псевдотонкими числами, то есть только похожими на тонкие числа. 'Яркими' представителями таких чисел (очень похожими на тонкие числа), например, является почти вся вторая половина чисел на ступенях с номерами С = 25, 119, 121, 253. В связи с этим можно сформулировать следующий закон Пирамиды: если номер ступени (С) - составное число, то не более, чем ( С - 1) последних чисел данной ступени могут иметь массу единичной кратности (и это также попробуйте доказать аналитически). Причем на такой ступени самое последнее число (N = C^2 + 2*C) всегда будет иметь массу с кратностью, отличной от единицы и в этом - главное отличие псевдотонких чисел от тонких чисел. Очевидно, что на каждой ступени (с номером С - составным числом) первое (наименьшее) псевдотонкое число будет не меньше, чем N = C^2 + C + 1, поэтому его масса будет не меньше, чем m = N/C^2 - 1 = 1/C + 1/С^2, а последнее (наибольшее) псевдотонкое число определяется выражением N = C^2 + 2*C - 1, поэтому его (наибольшая на данной ступени) масса будет равна m = N/C^2 - 1 = 2/C - 1/C^2.

Как уже говорилось, количество (K) псевдотонких чисел на данной ступени (с номером С) всегда будет меньше С (хотя бы на 1). Однако с другой стороны напрашивается такая гипотеза: начиная с С = 8 количество псевдотонких чисел на ступени С всегда будет больше, условно говоря, 'золотого сечения' С, то есть больше 0,618*C, где под 'золотым сечением' (0,618) я подразумеваю некое 'магическое' число, близкое к 0,618 и часто возникающее в рамках виртуальной космологии (см. мою книгу 'Суперструны...', стр. 154). Во всяком случае, можно смело утверждать, что на ступени с номером С количество псевдотонких чисел всегда будет больше 0,5*С. Таким образом, в Пирамиде высотой N общее (суммарное) количество всех тонких и псевдотонких чисел будет превосходить число Kmin = 0,5*(1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ С) =  0,5*(1 + С)*С/2 (а, тем более, будет превосходить число Kmin =  С^2/4) и никогда не превзойдет Kmax = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ С =  (1 + С)*С/2. При этом, поскольку С = N^0,5, то Kmin = N/4 и Kmax = N/2, то есть общее количество всех натуральных чисел с единичной кратностью масс обязательно больше четверти (N/4), но меньше половины (N/2) всех чисел Большой Пирамиды, и можно предположить, что их реальное количество по мере увеличения высоты Пирамиды устремляется к половине всех чисел этой Пирамиды (за вычетом чисел с нулевой массой). В подтверждение сказанного могу добавить, что в Пирамиде высотой N = 65500 (где 255 чисел имеют нулевую массу) я насчитал 27099 тонких и псевдотонких чисел, что составляет более 41% всех чисел данной  Пирамиды (совсем мизерной на фоне Большой Пирамиды).

А теперь мы вернемся к числам N, у которых масса m имеет кратность больше единицы. И всё, о чём будет сказано далее, можно проверять (проконтролировать автора), скажем, на серии из 200 натуральных чисел N = 10.001, 40.004, 90.009, 160.016, ..., 400.040.000 (у всех них J = 2, а также соответственно: С = 100, 200, 300, 400, ..., 20000), которые будут иметь одинаковую массу  m = 0,0001, то есть, что кратность (R) указанной массы будет равна 200 (R = 200). Если серию из указанных 200 чисел N пронумеровать (S = 1, 2, 3, 4, ..., 200) и пристальней рассмотреть, то мы обнаружим следующие закономерности серии (где 'имя собственное' этой серии таково: C = 100; J = 2):

Ns = [C^2 + (J - 1)]*S^2 (это общая формула для всех чисел данной серии, здесь будет меняться только S);      

Cs = C*S = А(Ns^0,5) (номер ступени, на которой находится число Ns), где функция 'антье' (А) выделяет (вычисляет) целую часть из выражения Ns^0,5 (напомню, что это корень квадратный из числа Ns); откуда получаем  Js  = Ns - Cs^2 +1 =  (C*S)^2 + (J - 1)*S^2 - (C*S)^2 + 1, то есть окончательно:

Js  = Ns - Cs^2 +1 =  (J - 1)*S^2 +1, где Js  - это порядковый номер числа Ns на ступени с номером Cs.

Однако с ростом порядкового номера S (внутри данной серии) неизбежно наступает момент, когда равенство Cs = C*S перестает выполняться, превращаясь (из-за работы функции 'антье') в равенство  Cs = C*S +1. После такой метаморфозы мы уже получаем Js  = Ns - Cs^2 +1 = (J - 1)*S^2 - 2*С*S, то есть далее номера Js будут расти по закону параболы (от аргумента S). Границу указанной метаморфозы можно найти, если решить полученное нами квадратное уравнение (J - 1)*S^2 - 2*С*S = 0, ненулевой корень которого имеет вид S = 2*С/(J - 1), то есть в нашем примере S = 2*100/(2 - 1) = 200. Очевидно, что найденная нами граница метаморфозы - это, практически, и есть кратность массы в данной серии (напомню, что 'имя собственное' любой подобной серии: C и J), то есть

R = 2*С/(J - 1) (разумеется, что правильней будет брать только целую часть получаемого значения R).

Нетрудно убедиться, что для любого порядкового номера Ствола (С = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) можно брать любое значение (J - 1) = 1, 2, 3, ..., С (именно до С и не более того - это важно помнить), при этом для каждой пары С и J мы получим свою (неповторимую) серию чисел Ns с одинаковой массой m = (J - 1)/C^2, имеющую кратность R = 2*С/(J - 1):

- при C = 1 и (J - 1) = 1 получаем серию (Ns = 2; 8) с кратностью R = 2;

- при C = 2 и (J - 1) = 1 получаем серию (Ns = 5; 20; 45; 80) с кратностью R = 4;

- при C = 2 и (J - 1) = 2 получаем серию (Ns = 6; 24) с кратностью R = 2;

- при C = 3 и (J - 1) = 1 получаем серию (Ns = 10; 40; 90; 160; 250; 360) с кратностью R = 6;

- при C = 3 и (J - 1) = 2 получаем серию (Ns = 11; 44; 99) с кратностью R = 3;

- при C = 3 и (J - 1) = 3 получаем серию (Ns = 12; 48) с кратностью R = 2; и т.д.

Таким образом, для первых С ступеней Ствола (Пирамиды) количество всевозможных серий будет равно 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ С = (1 + С)*С/2. Например, в Большой Пирамиде (N = 8*10^60) будет порядка C^2/2 всевозможных серий или (учитывая оценку С = N^0,5) можно утверждать, что в Большой Пирамиде почти половина (N/2) всех чисел потенциально принадлежит той или иной серии (имеют массы m с кратностями R = 2, 3, 4, 5,...). Почему 'потенциально' - поясню на простом примере (который легко проверить). При C = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... и (J - 1) = 1 мы будем получать серии чисел (Ns) с кратностями R = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20;...; 2*C;...  (которые будут максимально возможными кратностями при соответствующем номере С). Однако, если мы ограничимся Пирамидой конечной высоты, скажем, высотой N = 10000, то начиная с С = 8 реальная кратность будет меньше указанной: R = 12 (вместо потенциальной кратности R = 16), поскольку 4 последних числа данной серии (Ns = 10985; 12740; 14625; 16640) превосходят высоту выбранной нами Пирамиды  (N = 1, 2, 3, 4, ..., 10000). И с дальнейшим ростом номера ступени (С = 9, 10, 11, ..., 49) реальные кратности R будут уменьшаться до тех пор, пока при С = 50 мы не получим R = 1 (вместо потенциальной кратности R = 100), то есть только одно число (Ns = 2501, которое не превосходит N = 10000) будет иметь массу m = 0,0004, а остальные 99 чисел (Ns = 10004; 22509; 40016; ...; 25010000) с такой же массой будут находиться за пределами выбранной Пирамиды.

Найдем реальную максимально возможную кратность (Rmax) массы в достаточно высокой Пирамиде.

Для этого мы сначала найдем наибольшее число (Ns) в серии с параметрами C и (J - 1), то есть в серии, кратность которой R = 2*С/(J - 1). Полагая в данной серии S = R, мы получаем выражение Ns = [C^2 + (J - 1)]*S^2 = [C^2 + (J - 1)]* [2*С/(J - 1)]^2, которое можно переписать так:

Ns = [4/(J - 1)^2]*C^4 + [4/(J - 1)]*C^2.

Полученное уравнение нетрудно разрешить относительно номера ступени (относительно С):

С = {0,5*(J - 1)*[(N +1)^0,5 - 1]}^0,5

При достаточно больших Ns (скажем, когда можно принять С = N^0,5) мы вправе написать:

С = [0,5*(J - 1)*N^0,5]^0,5 (правильней будет брать только целую часть получаемого значения C).

Например, по данной формуле при N = 10000 для значений (J - 1) = 1, 2, 3, 4, 5,... мы соответственно получим С = 7, 10, 12, 14, 16,... . И это надо понимать в том смысле, что

при (J - 1) = 1 только C = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 дают реальные кратности (до Rmax = 14), а далее эта кратность убывает;

при (J - 1) = 2 только C = 1, 2, 3, ..., 10 дают реальные кратности (до Rmax = 10), а далее эта кратность убывает;

при (J - 1) = 3 только C = 1, 2, 3, ..., 12 дают реальные кратности (до Rmax = 8), а далее эта кратность убывает; и т.д.

Для Большой Пирамиды (при N = 8*10^60) для значения (J - 1) = 1 мы получим С = [0,5*N^0,5]^0,5 = (2^0,25)*10^15 = 1.189.207.115.002.720 (порядка С = 1,189*10^15). То есть при (J - 1) = 1 только номера ступеней C = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...... 1.189.207.115.002.720, дают реальные кратности вплоть до максимально возможной реальной кратности Rmax = 2*С/(J - 1) = 2*С = 2.378.414.230.005.440 (порядка Rmax = 2,378*10^15), а далее (при больших номерах С и J - 1 = 1) реальная кратность убывает. Указанную кратность Rmax имеет масса m = (J -1)/C^2 = 1/(1,189*10^15)^2 = 7,071*10^(-31), что в 2,828*10^30 раз меньше наибольшей массы в мире чисел (m = 2 у числа N = 3). Первым (наименьшим) числом с указанной массой будет число Ns = C^2 + (J - 1) = C^2 + 1, то есть число порядка Ns = (2^0,5)*10^30 = 1,414*10^30.

Пусть К - это количество натуральных чисел, у которых массы m имеют реальную неединичную кратность (R > 1). То есть на самом деле (в бесконечно высокой Пирамиде) кратность их масс может быть гораздо больше, чем, скажем, R = 2, 3, 4, ....  но в Пирамиде с конечной высотой N мы этого просто не обнаруживаем (не видим). Мои исследования показывают, что при высоте Пирамиды от N = 2000 до N = 250000  напрашивается следующая оценка:

K/N = 0,0314*ln(ln(N)) + 0,2456,

которая для Большой Пирамиды (при N = 8*10^60) приводит к отношению K/N = 0,4, а при N = 10^308 мы получаем K/N = 0,45. Таким образом, с ростом высоты Пирамиды (с ростом N) отношение K/N устремляется, вероятно, к числу 0,5, то есть половина всех чисел Пирамиды (N/2) стремится показать массу m с кратностью R, превосходящей единицу.