Мир Платона - так мы будем называть мир фундаментальных математических истин, которые якобы могут существовать вне времени (вечно) и независимо от нас смертных. Знаменитый древнегреческий философ Платон, очевидно, первым (около 360 г. до н.э.) высказал данную мысль, правда, у Платона речь идет о любых истинах-идеях (в искусстве, поэзии, литературе, философии, политике и т.д., что, по-моему, уже весьма спорно). Ниже изложен взгляд на мир Платона одного из лучших умов нашего времени - Роджера Пенроуза - известного английского математика, физика и философа.
Мир Платона доступен нам исключительно посредством интеллекта (с помощью математических рассуждений и интуитивных догадок), это та реальность, с которой исследователи имеют дело в минуты творчества. Это царство чистой математики (её объектов), это "божественная книга", в которой записаны все лучшие доказательства. И математикам иной раз приоткрывается та или иная её страница: в моменты прозрения разум просто соприкасается с объективной истиной (приходящей в голову "с неба"). В части личных "прозрений" Пенроуз говорит, что им всегда предшествуют долгие упорные сознательные раздумья, хотя само искомое решение возникает неожиданно подобно "вспышке" (когда он думал о проблеме в "фоновом режиме", не целенаправленно), причем при полной уверенности в правильности и красоте решения [Пенроуз Роджер. Новый ум короля.... М.: Едиториал УРСС, 2005, стр. 359]. Примечательно также, что многим идеям, рожденным в минуты вдохновения присуще масштабность, т.е. идея охватывает весьма обширную область математической мысли.
Платон, в частности, учил: наша душа существовала то того, как мы родились [но когда и откуда появилась наша душа?]; душа умершего продолжает существовать в Аиде (царстве мертвых) и обладает способностью мыслить; душа бессмертна и неуничтожима. Именно поэтому математическое открытие, возможно, - всего лишь одна из форм воспоминания! Во всяком случае, Пенроуз говорит: "... меня часто поражало сходство между двумя состояниями, когда ты мучительно стараешься вспомнить чье-то имя - и когда пытаешься найти адекватное математическое понятие" [стр. 366].
А. Эйнштейн как-то написал в письме: "Слова или язык, как в устной, так и в письменной форме, по-видимому, не играют никакой роли в механизме моего мышления". Об этом же говорит и Пенроуз: "... я нахожу слова бесполезными для математического мышления... Нет сомнения, что каждый человек думает по-своему... Наиболее полярными стилями математического мышления являются, как кажется, аналитический/геометрический" [стр. 363].
Многие думают, что математическое доказательство строится в виде цепочки последовательных утверждений, где каждый шаг вытекает из предыдущего. Однако лишь общее представление и интуитивно понятное концептуальное содержание - вот что в действительности необходимо для построения математического доказательства. Любопытно такое наблюдение Пенроуза: "Во сне необычные идеи возникают легко и в большом количестве - но лишь в очень редких случаях они проходят критический контроль бодрствующего сознания. (Что касается меня, то у меня во сне никогда не возникали плодотворные научные идеи...)" [стр. 361].
Все наиболее точные теории (ОТО, КМ, ТС, ...) необычайно плодотворны и с точки зрения математики, что свидетельствует о глубоких связях между реальным (физическим) миром и миром Платона. Быть может, эти миры тождественны? Функционирование реального мира, в конечном счете, может быть понято только в терминах математики, т.е. в терминах платоновского мира. Сама точность ОТО и КМ обеспечивает почти математический уровень существования нашей физической реальности (и она кажется нам уже не столь очевидной, как до создания этих глубоких теорий).
Понятие математической истины выходит за пределы сотворенного человеком. Истинные математические открытия должны, как правило, рассматриваться как достижения более великие, чем "просто" изобретения - суть "творения человека". В математике нередко происходят самые настоящие открытия - это когда некая структура (объект) дает гораздо больше того, что в неё было заложено изначально (скажем, автором, предложившим к рассмотрению данный объект). Примеры таких объектов: комплексные числа, множество Мандельброта и т.д. В связи с такими объектами даже ученые-атеисты задумываются о возможности "творений" Сверхразума, некого высшего существования мыслительной деятельности. Математическое открытие состоит в расширении области прямого контакта с миром Платона. Никакой содержательной "информации" в общепринятом смысле исследователь математического объекта не получает, т.к. вся информация уже находилась там изначально. Всё, что требовалось от исследователя - это соединить разные части и "увидеть" ответ. "Независимость-от-исследователя" математического объекта и обеспечивает ему платоническое существование.
Подчеркнем, что математические структуры (даже самые экзотические, такие как фрактальные структуры) существуют не менее "реально", чем гора Эверест, и могут быть исследованы точно также, как исследуются джунгли (это относится и к миру чисел). Но платоновский мир состоит не из осязаемых вещей, а из "математических объектов". Объекты, скажем, чистой геометрии - прямые, окружности, треугольники, плоскости и т.п. - могут быть лишь приблизительно реализованы в реальном мире физических вещей.
При общении (беседе), скажем, двух математиков их отдельные предложения (фразы, факты, образы, понятия) чаще всего остаются... не поняты. Тем не менее, два человека все-таки способны понять друг друга, ибо интересные или глубокие математические истины растворены (с небольшой плотностью) в массе всех возможных математических истин. Во время беседы каждый из математиков вступает в прямой контакт с одним и тем же миром Платона, что приводит к взаимному пониманию на уровне интуиции.
Одно из наиболее поразительных свойств математики заключается в том, что истинность математических утверждений м.б. установлена посредством абстрактных рассуждений (которые передаваемы)! Математическая истина строится из простых и очевидных составляющих, и когда они становятся ясны и понятны нам, с их истинностью соглашаются все без исключения. Мы должны "видеть" истинность математических рассуждений, чтобы убедиться в их обоснованности. Это "видение" - самая суть сознания. Абсолютно точные, корректные формулировки иной раз являются помехой при первом изложении математической идеи, так что вначале может потребоваться менее четкая описательная форма (характерная, например, для научно-популярной литературы).
Свойство вычислимости - не то же самое, что математическая точность. Сколько тайны и красоты в мире Платона - а ведь большая непознанная часть этого мира связана далеко не с алгоритмами и вычислениями. Пенроуз говорит: "... я не могу отделаться от ощущения, что в случае математики вера в некоторое высшее вечное существование - по крайней мере, для наиболее глубоких математических концепций, - имеет под собой гораздо больше оснований, чем в других областях человеческой деятельности. Несомненная уникальность и универсальность такого рода математических идей по своей природе существенно отличается от всего того, с чем приходится сталкиваться в области искусства и техники" [стр. 109].
Математика и реальный мир
Несмотря на заявления о независимости математики, никто не станет отрицать, что математика и физический мир связаны друг с другом. Разумеется, остается в силе математический подход к решению проблем классической физики. Верно и то, что в весьма важной области математики, а именно в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, процесс взаимообогащения физики и математики достаточно плодотворен.
Математика полезна при интерпретации явлений микромира. Однако новые "приложения" математики существенно отличаются от классических. Одним из важнейших инструментов физики стала теория вероятностей, которая раньше применялась главным образом в теории азартных игр и страховом деле. Математические объекты, которые физики ставят в соответствие "атомным состояниям", "переходам", "ПКЯ" и т.д., носят весьма абстрактный характер и были введены и исследованы математиками задолго до появления квантовой механики. Следует добавить, что после первых успехов возникли серьезные трудности. Это произошло в тот момент, когда физики пытались применить математические идеи к более тонким аспектам квантовой теории; тем не менее, многие физики по-прежнему с надеждой взирают на новые математические теории, полагая, что те помогут им в решении новых проблем (в т.ч. ТС).
Даже если мы включим в "чистую" математику теорию вероятностей и математическую логику, выяснится, что в настоящее время другие естественные науки используют менее 50% известных математических результатов. Что же мы должны думать об оставшейся половине? Какие мотивы стоят за теми областями математики, которые не имеют отношения к решению физических проблем?
Мы уже упоминали об иррациональности числа как о типичном представителе такого рода теорем. Другим примером может служить теорема, доказанная Лагранжем. "Важная" и "красивая" с точки зрения любого математика эта теорема утверждает, что любое натуральное число представимо в виде суммы квадратов не более чем четырех чисел (например, 23 = 3^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2). Однако в настоящее время немыслимо, чтобы этот результат мог пригодиться физику-теоретику, а тем более экспериментатору. Правда, физики имеют дело с целыми числами сегодня гораздо чаще, чем в прошлом, но целые числа, которыми они оперируют, всегда ограничены (они редко превышают несколько сотен); следовательно, такая теорема, как теорема Лагранжа, может быть "полезна" только в том случае, если применять ее к целым числам, не переходящим некоторой границы. Но стоит нам ограничить формулировку теоремы Лагранжа, как она сразу перестает быть интересной для математика, поскольку вся притягательная сила этой теоремы заключается в ее применимости ко всем целым числам. (Существует великое множество утверждений о целых числах, которые можно проверить с помощью компьютеров для очень больших чисел; но, коль скоро общего доказательства не найдено, они остаются гипотетическими и не интересны профессиональным математикам).
Сосредоточенность на темах, далеких от непосредственных приложений, не является чем-то необычным для ученых, работающих в любой области, будь то астрономия или биология. Однако в то время как экспериментальный результат можно уточнить и улучшить, математическое доказательство всегда носит окончательный характер. Именно поэтому трудно удержаться от искушения рассматривать математику, или, по крайней мере, ту ее часть, которая не имеет отношения к "реальности", как искусство (а не науку).
Математические проблемы не навязываются извне, и, если принять современную точку зрения, мы совершенно свободны в выборе материала. При оценке некоторых математических работ у математиков нет "объективных" критериев, и они вынуждены полагаться на собственный "вкус". Вкусы же сильно меняются в зависимости от времени, страны, традиций и отдельных личностей. В современной математике существуют мода и три "школы": "классицисты", "модернисты" и "абстракционисты". Чтобы лучше понять различия между ними, проанализируем четыре критерия, которыми пользуются математики, когда оценивают теорему или группу теорем:
1). "Красивый" математический результат должен быть нетривиальным. Это не следствие аксиом или известных теорем; должна быть новая идея или остроумно применены старые представления. Т.е. для математика важен не сам результат, а процесс преодоления трудностей, с которыми он столкнулся при его получении.
2). Существенным элементом "красоты" теоремы является ее простота. Поиск простоты свойствен всей научной мысли начиная ещё с Эпикура, впервые высказавшего мысль о том, что за кажущейся сложностью и бесконечным разнообразием окружающего нас мира может скрываться внутренняя простота структуры.
3). Математик обязан решить новую задачу любыми возможными средствами. Однако, начиная с 19 века, математики явно делятся на "тактиков", стремящихся найти чисто силовое решение задачи (классическими средствами математики), и на "стратегов", склонных к обходным маневрам (более "абстрактным" структурам), дающим им возможность сокрушить проблему малыми силами.
4). У любой математической проблемы есть своя история ("родословная"). Когда решение получено (например, через 356 лет как у Великой теоремы Ферма), история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Так, теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых степеней и т.д. ("проблема Варинга", до сих пор окончательно не решенная). Даже если первоначальная теория, в конце концов "умирает", она, как правило, оставляет после себя многочисленные живые побеги.
Математики уже столкнулись с такой необозримой россыпью задач, что, даже если бы прервалась всякая связь с экспериментальной наукой, их решение заняло бы еще несколько столетий!
Однако экспериментаторы готовы примириться с "некрасивыми решениями", лишь бы задача была решена. Точно так же и в математике классицисты и абстракционисты не очень обеспокоены появлением "патологических" результатов. С другой стороны, модернисты заходят так далеко, что усматривают в появлении "патологий" в новой теории - симптом, свидетельствующий о несовершенстве основополагающих понятий.