# Эволюция интеллекта Эфира

Е М Иванов

АННОТАЦИЯ ЧИТАТЕЛЕЙ. Может ли "компьютерное железо" быть наделено эмоциями человека? Понять бы ещё, могут ли квантовые системы рефлексировать и дистанцировать себя, и связана ли проблема создания квантовых компьютеров с тем, что люди делают их для запуска алгоритмов, по своей природе - неалгоритмических. Всякое движение энергии структурировано и периодически распадается на множество попарно взаимосвязанных элементарных действий - выборов из двух противоположностей, типа апорий Зенона. Число вариантов выборов векторных параметров энергии - противоположных по знаку - известно. Оно постоянно и равно числу Авогадро. Такова природа и свойства-проявления энергии. Все пары таких векторов всегда не сбалансированы, поэтому энергия всегда в движении. Учёные-метафизики полагают, что первопричиной движения энергии, или следствием - является расширение пространства, скорость которого отображает ВРЕМЯ: то и другое - полевые формы энергии. Число разночастотных взаимосвязанных "пространств" и "времён" - несчётно. Но числовые пропорции-отношения ни от чего не зависят и равны постоянной Планка. О расширении пространств, число которых несчётно - свидетельствует неукротимое возрастание интегрального значения энтропии. Когда эмоциональные вычисления сформировались как отдельное направление исследований? Можно ли перенести человеческие эмоции на вычислительные системы? Почему важно добиваться от роботов "эмоциональной отдачи"? Теоремы Гёделя о "полноте" и "неполноте" арифметики - это философско-математическая модель классической апории Зенона - доказательство невозможности создания искусственного интеллекта (ИИ) в приемлемлемые для конструкторов ИИ "антропоморфные сроки". Речь о создании ИИ в приемлемые сроки - на современном этапе эволюции науки, техники и технологий - в обозримом интервале антропоморфного хода времени, как полевой формы движения энергии, памятуя о том, что абсолютизированные учёными термины-понятия-истины "пространство-время" - не абсолютны. Это полевые формы двух видов энергии. Они разномасштабны и разночастотны, существуют в бесконечно широком диапазоне частот и размеров-масштабов, в т.ч. стянутые в "точки". Вследствие разночастотности диапазонов "локальных проявлений" они проявляются в разных агрегатных состояниях и с разными физико-химическими свойствами энергии. Но наблюдаемы в локальных "антропоморфных границах" частот и масштабов параметров движения энергии. По-видимому, на этом основана Принцип-Теорема Анри Пуанкаре "О не абсолютности всего Сущего в Природе. Теоремы Гёделя и апории Зенона. Всякое движение энергии структурировано и периодически распадается на множество попарно взаимосвязанных элементарных действий - выборов из двух противоположностей. Число вариантов выборов векторных параметров энергии - противоположных по знаку - известно. Оно постоянно и равно числу Авогадро. Такова природа и свойства-проявления энергии. Все пары таких векторов всегда не сбалансированы, поэтому энергия всегда в движении. Учёные-метафизики полагают, что первопричиной движения энергии, или следствием - является расширение пространства, скорость которого отображает ВРЕМЯ: то и другое - полевые формы энергии. Число разночастотных взаимосвязанных "пространств" и "времён" - несчётно. Но числовые пропорции-отношения ни от чего не зависят и равны постоянной Планка - "атому действия" энергии. О расширении пространств свидетельствует неукротимое возрастание интегрального значения энтропии. Итак, выбор противоположности в апориях - всегда вынужден, реализуется автоматически, как действие энергии. Начинается с началом счёта хода времени - антропоморфного восприятия движения "заурядной" полевой формы энергии. Возникает вопрос, откуда гении науки берут ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ (аксиомы). Они полевые формы энергии, заполняющие окружающее ПРОСТРАНСТВО (также полевая форма энергии). Мозг учёных "извлекает" их (вырезает их) из окружающего пространства, как сновидения, память, знания - накопленные человеком. Как, впрочем и у всего живого в биосфере Земли. Аналогичное реализуется и в косной материи вещественного мира, которая эволюционирует по законам физикохимии и математической логики. Это основа Концепции двух видов энергии, относительно высокочастотные и низкочастотные параметры которой - взаимосвязаны попарно - резонансно, т.е. единственно возможным образом, тем не менее, периодически-обратимо, как волновое движение энергии. Новая Концепция идёт на смену общепринятой Концепции одного вила энергии. Это основа грядущего Технологического уклада Человечества.

Иванов Е.М.


Эволюция интеллекта Эфира, как энергии - от косной материи - до амёбы и человека.


К проблеме "вычислимости" функции сознания.


ИСТОЧНИК: https://forallxyz.net/relas?a_id=40&pg=4


Содержание

∙ 1. Гёделевский аргумент.

∙ 2. Критика гёделевского аргумента.

∙ 3. "Метафизические" аспекты проблемы вычислимости функции сознания.

∙ 4. Приложение. Литература на сопряжённые темы, с аннотациями (223 наимен.).


1. ГЁДЕЛЕВСКИЙ АРГУМЕНТ.

Речь в данной работе пойдет о так называемом "геделевском аргументе", который используется как аргумент против возможности создания искусственного интеллекта. Суть аргумента заключается в следующем: полагают, что из теоремы Геделя о неполноте формальных систем вытекает принципиальное различие между искусственным ("машинным") интеллектом и человеческим умом. Учён полагают, что теоремы Гёделя указывают на некоторое принципиальное, но всё ещё неизречённое преимущество человеческого ума перед "умом" машинным - т.е. человек обладает способностью решать проблемы, принципиально неразрешимые для любых искусственных "интеллектуальных" систем (так называемые "алгоритмически неразрешимые" проблемы), причем ограниченность "искусственного ума" проистекает из его "формального" характера.

Е.М. Иванов отмечает, "Гёделевский аргумент" в настоящее время поддерживается рядом известных авторов (Дж. Лукас (1), Р. Пенроуз (2, 3) и др.) и вызвал обширную научную дискуссию (см. (4 - 11)). Все это заставляет отнестись к аргументам Гёделя со всей возможной противоречивой аксиоматикой, правда, без всякой надежды на какое-то иное доказательство его теорем.

Прежде чем приступить к анализу собственно "геделевского аргумента", предварительно рассмотрим формулировку, способ доказательства и смысл самой теоремы К. Геделя о неполноте формальных систем. Формулировка теоремы такова: для достаточно выразительно "богатых" формальных систем (языков) - достаточно "богатых" для того, чтобы с их помощью можно было сформулировать любые утверждения формализованной арифметики Пеано - невозможно задать дедуктику (формализованную систему доказательств), которая одновременно обладала бы свойствами полноты (т.е. доказывала бы все содержательно истинные утверждения, которые можно сформулировать с помощью данного языка) и непротиворечивости (т.е. не доказывала бы некоторое суждение вместе с его отрицанием). Иными словами, теорема Геделя утверждает, что в такого рода "выразительных" формальных языках непременно найдутся истинные, но недоказуемые утверждения - причем этот результат не зависит от конкретного выбора дедуктики. Это означает, что множество "содержательных" истин всегда превосходит по объему множество истин, доказуемых с помощью любой сколь угодно сложной формализованной системы доказательств.

Для того, чтобы понять смысл данной теоремы, необходимо прежде всего уточнить смысл понятий, входящих в ее формулировку. Прежде всего необходимо уточнить понятие "формальной системы" - поскольку только к таким системам и имеет отношение рассматриваемая теорема. В самом общем плане формальная система - это система подчиненная неким жестким, однозначно заданным правилам. Соответственно, "формализацию" можно определить как процедуру, цель которой - дать предельно четкое, однозначное и исчерпывающее описание объекта, подлежащего формализации.

Для достижения этой цели, прежде всего, используется символическая форма записи тех правил, которым подчинена данная система. Таким образом, полностью формализованная научная теория должна представлять собой некоторую совокупность формул, записанных без всяких пояснительных слов или предложений, написанных на "естественном", неформализованном языке. Если при описании формальной системы и используются какие-то слова естественного языка, то лишь с дидактической целью, для пояснения - но не как элементы самой формальной теории.

Использование символической записи предполагает фиксацию конечного набора символов, которые только и могут быть использованы для формулирования утверждений данной формальной системы (алфавит языка). Помимо набора символов задается также совокупность правил, указывающих как следует оперировать с данными символами (причем правила эти также записываются в символической форме).

Главное требование к формализму - символы, используемые в данной формальной системе, должны принимать лишь те значения, которые им приписываются в явном виде в рамках заданного формализма. Эти фиксированные значения задаются через посредство правил, указывающих способ действия с тем или иным символам, а также через описание взаимных отношений между заданными символами.

Иногда говорят, что формализация полностью изгоняет всякий смысл. Говорят, что формальная система - это система оперирующая символами, лишенными какой-либо семантической нагрузки. Т.е. семантика полностью заменяется синтаксисом. Это не совсем так.

Здесь нужно уточнить, что такое "смысл". Смысл (слова, предмета и т.п.) возникает в том случае, когда осмысляемое ставится в соответствие с чем-то внешним, находящимся за пределами осмысляемого предмета (т.е. с "контекстом"). Отсюда вытекает определение смысла как "трансцендирования". Смысл всегда есть выход за пределы "актуально данного", "наличного". Когда говорят, что в полностью формализованной системы смысл полностью отсутствует, то имеют в виду, по существу, что в рамках заданного формализма запрещается всякое трансцендирование т.е. выход за пределы данного формализма. То есть для определения и использования символов формальной системы можно использовать только ту информацию, которая в явной форме содержится "внутри" данной формальной системы - и никакую другую. Иными словами, формальная система должна быть "герметична", замкнута в себе. Все, что необходимо для работы с ней, для понимания ее выражений, - содержится в ней самой.

Запрещая трансцендирование, мы лишаем формальную систему смысла как целое. Однако отдельные ее элементы и конструкции сохраняют смысл, который в этом случае определяется через соотнесение с другими элементами или конструкциями - внутри заданной формальной системы. Таким образом, смысл не изгоняется полностью, но ограничивается рамками самой формальной системы и внутри данной формальной системы полностью эксплицируется, развертывается.

Смысл каждого элемента или конструкции - определяется через то "место", которое они занимают внутри данной формальной системы. Это место должно быть задано в явной форме. Ничего не подразумевается. Не допускается никакая недосказанность или неопределенность.

Пока речь шла о формальных системах, понимаемых в самом широком смысле. Это могут быть либо какие-то совершенно произвольные "выдуманные" системы, либо формализованные модели каких-то реальных (материальных) систем - таких объектов, которые допускают исчерпывающее, четкое, однозначное, конечное описание своего способа функционирования (в виде системы правил, которым подчинены действия данной системы).

В этом последнем случае мы можем рассматривать формализацию как "итог" познавательного процесса, или как своего рода "идеал", к которому стремится наше познание. Возможность создания адекватной формализованной модели объекта указывает на то, что мы смогли получить исчерпывающую информацию о данном объекте. Неформализуемость же, напротив, указывает на неполноту наших знаний об объекте.

Далее, нам необходимо уточнить к какого рода формальным системам приложима теорема Геделя. Это так называемые "исчисления" или "дедуктивные системы". По существу, это ничто иное, как формализованные описания тех или иных дедуктивных математических теорий (например, формализованной арифметики, геометрии и т.п.).

Исчисления задаются следующим образом. Прежде всего задается формализованный язык данного исчисления. Для этого нужно определить алфавит и грамматику языка. Алфавит - это набор символов (букв) допустимых в данном языке. Имея алфавит, мы можем составлять слова - любые, сколь угодно длинные последовательности букв заданного алфавита.

Для того, чтобы выделить из множества всевозможных слов интересующие нас ("осмысленные") сочетания букв, вводится грамматика - совокупность правил, позволяющих определить "правильно построенные слова" - выражения. Правила грамматики вводят индуктивно: вначале определяются элементарные выражения, а затем указывается каким образом из них можно построить любые более сложные выражения.

Далее из множества выражений выделяют подмножество формул. Содержательно формулы - это выражения, которые что-то утверждают (например, утверждают нечто о свойствах чисел или геометрических фигур). Формулы также определяются индуктивно.

Далее выделяют множество замкнутых формул или выражений. Это формулы, которые не имеют свободных параметров (т.е. параметров, которые могут принимать различные значения и не связаны кванторами всеобщности или существования). Это такие формулы, которым можно приписать определенное значение "истина" или "ложь". Обозначим множество замкнутых формул данного языка символом Б*.

Как уже говорилось, замкнутые формулы могут быть истинными или ложными (с содержательной точки зрения). Естественно потребовать, чтобы формализованная математическая теория включала в себя только содержательно истинные формулы. Истинность в математике определяется посредством доказательства. Таким образом следующий шаг - введение формализованной системы доказательства - дедуктики. С этой целью задается некоторое конечное множество замкнутых формул, истинность которых принимается без доказательств. Это аксиомы данной дедуктики. Далее задается конечное множество правил вывода, позволяющих из одних истинных формул получать другие истинные формулы.

Всякое формализованное доказательство - это некоторое слово формального языка, представляющее собой цепочку формул, в которой каждая формула - это либо аксиома, либо получена их аксиом посредством применения тех или иных правил вывода. Последняя формула в цепочке - это и есть доказанное утверждение (теорема). Обозначим множество всех доказательств символом D*, а множество всех доказанных формул Иd*. Через И* - обозначим множество содержательно истинных замкнутых формул данного языка.

Теорема Геделя о неполноте формальных систем утверждает, что для любой достаточно выразительно богатой формальной системы выполняется условие И* > Иd* и, следовательно, существует истинная недоказуемая формула. Это верно при условии, что заданная дедуктика непротиворечива, т.е. не позволяет одновременно доказывать некоторое утверждение и его отрицание.

Итак, теорема Геделя утверждает, что для любого достаточно выразительно богатого языка и для любой непротиворечивой дедуктики, заданной на этом языке, множество истинных формул всегда больше множества доказуемых формул. Это весьма нетривиальный вывод.

Задавая дедуктику, прежде всего стремятся получить такую систему доказательств, в которой выводимы все содержательно истинные формулы. Такие дедуктики называются полными. Для некоторых достаточно простых формальных языков (например для языка исчисления предикатов первого порядка) такая полная дедуктика вполне возможна. Но это не возможно для более сложных формальных языков, способных, в частности, выразить все истинные предложения формальной арифметики Пеано. Для такого рода языков невозможно задать полную и непротиворечивую дедуктику.

Каким же образом доказывается теорема Геделя? Мы рассмотрим здесь лишь общую схему доказательства (12).

Идея доказательства заключается в том, чтобы построить пример формулы, которая была бы недоказуема и, вместе с тем, содержательно истинна. Таковой являлась бы формула, содержательный смысл которой заключается в том, что она утверждает свою собственную недоказуемость, т.е. невыводимость из аксиом рассматриваемой формальной системы.

Для того, чтобы построить такую формулу, Гедель изобрел способ нумерации предложений формальной системы, который позволил однозначным образом приписать некоторый номер (натуральное число) каждому элементарному символу, формуле или доказательству данной формальной системы (так называемая "геделевская нумерация").

Используя геделевскую нумерацию можно построить формулу утверждающую недоказуемость формулы с номером n, где n - номер самой этой формулы. По существу, геделевская нумерация задает специфический арифметический метаязык, на котором можно высказывать суждения о свойствах рассматриваемой дедуктивной системы в форме суждений о числах.

Обохзначим через Dem(x, y) - метаязыковое выражение, означающее "последовательность формул с геделевским номером х является доказательством формулы с геделевским номером у". Навесим на х квантор общности и подвергнем Dem(x, y) отрицанию. В результате мы получим одноместный предикат:

(*) {для всех х не верно Dem(x, y)}

который утверждает недоказуемость формулы с геделевским номером у.

Следующий шаг заключается в подстановке в (*) вместо "у" формального (метаязыкового) выражения для номера самой формулы (*).

Пусть формула (*) имеет геделевский номер h. Обозначим через Sb(Wvz(n)) номер результата подстановки в формулу с номером W на место переменной с номером V формулы с номером Z(n). Z(n) - в данном случае - номер формального выражения формулы с геделевским номером n. Пусть, также, m - геделевский номер переменной "у".

Построим формулу

(1) {для всех х не верно Dem(x, Sb(hmz(h)))}.

Легко установить, что геделевский номер формулы (1) равен Sb(hmz(h)) так как эта формула получена из формулы с номером h путем подстановки вместо переменной с номером m (т.е. "у") формального выражения числа h. Следовательно, (1) и есть искомая "геделевская формула ("геделевское предложение") G.

Запишем геделевское предложение в виде:

[формула с номером Sb(hmz(h)) недоказуема],

где Sb(hmz(h)) - номер формулы: [формула c номером Sb(hmz(h)) недоказуема].

Если данная формула доказуема, то она истинна, но тогда истинно, что она утверждает, а именно, что она недоказуема. Т.е. если она доказуема, то она недоказуема. Таким образом, мы получили противоречие.

Если же данная формула недоказуема, то она, очевидно, истинна (поскольку утверждает, что она недоказуема и на самом деле недоказуема). Т.е. эта формула является истинной недоказуемой формулой (в рамках заданного формализма).

Ясно, что любое "геделевское предложение" легко можно сделать доказуемым просто включив его в состав аксиом данной формальной системы. Однако в таком случае можно сформулировать новое "геделевское предложение", утверждающее собственную невыводимость уже из нового набора аксиом. Положение не улучшиться даже в том случае, если мы будем вводить дополнительные аксиомы не отдельными единицами, а, скажем, "встроим" в нашу дедуктивную систему некий "генератор геделевских предложений" и, таким образом введем в систему аксиом сразу бесконечное множество "геделевских предложений". И в этом случае можно построить формулу, которая будет утверждать собственную невыводимость из аксиом, включая и любые аксиомы, вводимые посредством "генератора геделевских предложений". Иными словами, система аксиом не будет удовлетворять требованию полноты даже в том случае, если ее пополнить счетно-бесконечным множеством дополнительных аксиом. Как отмечает Л.Г. Антипенко: "... запас арифметических истин оказался столь обширен, что ни из какой даже счетно-бесконечной фиксированной системы аксиом их нельзя формально вывести все" (12 с. 167).

Таким образом, никакое непротиворечивое расширение множества доказуемых формул не позволяет сделать это множество тождественным множеству всех содержательно истинных предложений формального языка - при условии, что данный язык позволяет формулировать предложения, выражающие собственную невыводимость из аксиом любой, заданной в рамках данного формального языка, дедуктики.

Непосредственный смысл теоремы Геделя о неполноте формальных систем можно усмотреть в констатации невозможности формализации содержательного понятия "истины" в математике. Поскольку, однако, истина в математике всегда получается через посредство доказательства, то отсюда, также, можно сделать вывод о невозможности полной и исчерпывающей формализации человеческой способности доказывать математические предложения. Любая формализованная система доказательств отражает в эксплицитной форме лишь некоторую часть этой способности, т.е., по сути, представляет собой лишь формализацию "пост фактум" некоторых содержательных (неформальных) схем математических рассуждений. Но человек всегда способен выдумать новые схемы рассуждений, которые в совокупности не покрываются никаким конкретным формализмом.

Исторически теорема Геделя связана с проблемой "оснований математики", в частности, с Гильбертовой программой обоснования математики через формализацию ее "традиционных" теорий и дальнейшее доказательство непротиворечивости полученного формализма в рамках метаматематики. Из теоремы Геделя о неполноте формальных систем и ряда других ограничительных теорем, вытекает неосуществимость программы Гильберта. Важный результат, также полученный К. Геделем, заключается в том, что оказывается невозможным доказать непротиворечивость формальной системы, используя для доказательства средства, формализуемые в рамках рассматриваемого формального языка. Для подобного рода доказательств необходимо использовать формальный язык более высокого уровня (обладающий большими выразительными возможностями). Эти результаты, в частности, означают, что математика не может быть раз и навсегда застрахована от возможности возникновения противоречий.

Нас, однако, интересует несколько иное применение теоремы Геделя, а именно использование ее в качестве аргумента против возможности создания искусственного интеллекта.

Если смысл теоремы Геделя сводится к невозможности формализации содержательного понятия истины, то уже отсюда следует невозможность создания машины способной различать истину и ложь столь же эффективно, как это делает человек. Преимущество человека перед машиной можно усмотреть в том, что человек способен в любых случаях распознавать истинность "геделевских предложений" (опираясь, например, на ту схему рассуждений, которую мы использовали на последнем этапе доказательства теоремы Геделя), а машина делать это не способна.

Здесь предполагается отождествление машины и формальной системы. Действительно, условием передачи каких-либо функций машине является формализация, т.е. четкое, полное, однозначное, независимое от контекста описание способа реализации данной функции. Невозможно воплотить в машине нечто такое, что мы сами недостаточно ясно представляем себе, нечто неоднозначное, интуитивное, зависимое от контекста. Таким образом, "машинизация" и "формализация" - тесным образом взаимосвязаны. (Отсюда, однако, не следует, что всякая машина может рассматриваться как "материальный" аналог формальной системы. Таковой, в частности, не является машина, в конструкцию которой включен "генератор случайных чисел", т.е. машина, способная в определенных случаях действовать случайным образом).

Геделевский аргумент против искусственного интеллекта часто формулируют в несколько иной форме - говорят об "алгоритмической невычислимости" функции сознания. (В такой форме, например, данный аргумент представлен у Р. Пенроуза (2,3)).

Здесь нужно, прежде всего уточнить смысл, который мы вкладываем в термин "функция сознания". Начиная с Декарта, человеческую "душу", сознание стали рассматривать как особый "функциональный орган", т.е. стали рассматривать сознание с точки зрения тех функций, которые оно выполняет, участвуя, например, в процессах обработки сенсорной информации, а также участвуя в процессах принятия поведенческих решений. При этом, одновременно сознание понимается и как "феноменальная реальность" - как "поток" чувственных и сверхчувственных (смысловые, эмоционально-волевые переживания) феноменов. Вопрос заключается в том, какую конкретно роль играет "феноменальная реальность" в системе психической регуляции человеческого поведения (13).

Для нас нет никакой необходимости выделять функцию "феноменальной реальности" из общего состава психических функций. Поэтому мы далее будем употреблять термины "функция сознания" и "психические функции" - как синонимы. Последние же можно в первом приближении отождествить с "функцией мозга".

Формально психические функции можно представить как некое отображение множества "входов" (конфигураций нервных импульсов, поступающих в мозг от органов чувств) в множество "выходов" (множество различных поведенческих реакций, выражаемых, в конечном итоге, в виде мускульных движений).

С этой точки зрения тезис "алгоритмической невычислимости" функции сознания означает, что невозможно построить алгоритмическое устройство (т.е. устройство, действия которого строго подчинены конечному набору четко и однозначно сформулированных правил), способное достаточно удовлетворительным образом имитировать отношение "вход"- "выход" - характерное для человеческой психики. (Обычно в качестве теста на соответствие искусственного интеллекта уровню человеческого интеллекта рассматривают "игру в имитацию", предложенную А. Тьюрингом. Машинный интеллект считается эквивалентным человеческому, если в заочном диалоге с машиной человек не сможет достоверно установить с кем он общается - с машиной или с человеком).

Далее, нам необходимо уточнить понятия "алгоритм" и "алгоритмически невычислимая функция". В интуитивном смысле алгоритм - это четкая, однозначная инструкция, указывающая, как нужно действовать, чтобы некий исходный продукт преобразовать (переработать) в некий конечный продукт. (Простейший пример алгоритма - кулинарный рецепт).

В математике алгоритм - это четко заданное правило, позволяющее из одной совокупности символов получить другую. (Говорят, что алгоритм перерабатывает одно слово в другое). Важнейшее свойство алгоритмов - массовость, т.е. типичный алгоритм применим, как правило, к бесконечной совокупности слов (составляющих область определения данного алгоритма). Алгоритм есть некая инструкция, предписание, описывающее последовательность действий "вычислительного устройства", реализующего некоторую функцию - отображение множества слов, составляющих область определения алгоритма, в множество других слов, составляющих область значений данного алгоритма. Исполнение предписываемых алгоритмом действий не требует какого-либо творчества, привлечения какой-либо дополнительной информации. Исключаются любые отклонения от инструкции.

Используя математические алгоритмы, оперирующие символическими конструкциями, можно имитировать любые другие (физические) алгоритмы - оперирующие произвольными материальными объектами. Для этого необходимо снабдить "вход" и "выход" алгоритмического устройства приспособлениями, преобразующими, во-первых, "физический" "вход" - в символический и, во-вторых, символический "выход" - в "физический", а также необходимо добиться, чтобы отношение "вход - выход" для данного алгоритмического устройства совпадало с аналогичным отношением имитируемой физической системы.

Тезис об алгоритмической невычислимости функции сознания (психики, мозга) означает, что невозможно построить алгоритмическое устройство функционально эквивалентное человеческому мозгу. (Например, устройство, выдерживающее тест Тьюринга). Иными словами, невозможно написать четкую, однозначную, конечную инструкцию, опираясь на которую можно было бы имитировать, в вышеуказанном смысле, деятельность человеческой психики. Фактически это равносильно принципиальной непознаваемости принципов работы человеческого мозга. Последнее утверждение, как мы увидим ниже, по существу единственный практически значимый вывод, который вытекает из принятия "геделевского аргумента".

Для того, чтобы иметь возможность работать с понятием алгоритма в математике, необходима его формализация. Формализация алгоритма - это, по существу, формализация понятия вычисления функции. Начиная с 1936 года был предложен целый ряд таких формализаций (машина Тьюринга, Машина Поста, нормальные алгорифмы Маркова, рекурсивные функции и др.). Самая известная формализация понятия алгоритма - это так называемая "машина Тьюринга". (Строго говоря, формализацией понятия алгоритма является не сама машина Тьюринга, а ее "функциональная таблица").

Машина Тьюринга - это воображаемое вычислительное устройство (машина) способная с помощью простейших операций перерабатывать некоторые последовательности символов в другие последовательности. Машина Тьюринга состоит из трех частей: 1. Бесконечной в обе стороны ленты, разделенной на ячейки; 2."Головки", которая способна выполнять следующие три операции: считывать символ, записанный в ячейке ленты, записывать символ в ячейку и перемещаться вдоль ленты на одну ячейку влево или вправо; 3.Логического блока - который управляет действиями "головки" в соответствие с некоторой "программой".

Для того, чтобы записать программу для машины Тьюринга, необходимо задать:

1. Внешний алфавит {а1,...,аn} - набор символов, которые могут быть записаны в ячейках ленты.

2. Внутренний алфавит {p1,...,pm} - символы, которые обозначают "внутренние состояния" логического блока.

Программа для машины Тьюринга записывается в виде "функциональной таблицы":

p1 p2 ... pj ... pm

a1

a2

...

ai axdypz

...

an

В строках таблицы располагаются тройки axdypz, где ax - символ, который машина записывает вместо ai в ячейку, напротив которой в данный момент расположена головка, dy ∈ {d-1, d+1, d0} - предписывают движение ленты относительно головки соответственно влево, вправо или предписывают головке оставаться на месте, pz - состояние, в которое переходит логический блок после осуществления предшествующих двух операций.

Если головка машины Тьюринга в начальный момент установлена напротив ячейки, в которой записан символ ai, а внутреннее состояние логического блока - pj, то для того, чтобы определить дальнейшие действия машины, необходимо найти тройку axdypz, которая стоит на пересечении ai-строки и pj-столбца и выполнить предписанные этой тройкой операции. Далее процесс повторяется с новыми значениями а и р до тех пор, пока машина не получит команду остановиться (для этого вводится специальный символ остановки). Полученная после остановки машины запись на ленте и является значением вычисленной функции для "входа", изначально записанного на ленте машины Тьюринга. Функциональная таблица составляется таким образом, что отношение между "входными" и "выходными" записями на ленте машины Тьюринга соответствует отношению между аргументами и значениями некоторой функции. В таком случае говорят что машина Тьюринга вычисляет данную функцию.

Несмотря на весьма примитивное устройство, машина Тьюринга, тем не менее, является универсальным вычислительным устройством. Как показывает опыт, с помощью машины Тьюринга можно осуществить любые, сколь угодно сложные алгоритмические вычисления. Если известен какой-либо алгоритм решения той или иной массовой проблемы, то всегда можно составить и программу для машины Тьюринга, которая позволяет решать эту проблему с помощью данной машины. Таким образом, возможностей у машины Тьюринга не меньше, чем у самого современного компьютера. Даже больше - поскольку машина Тьюринга обладает потенциально неограниченной памятью.

Учитывая сказанное, можно сделать вывод, что машина Тьюринга является адекватной формализацией интуитивного понятия "вычислительной процедуры", а ее функциональная таблица, соответственно, адекватной формализацией понятия "алгоритм".

Как уже отмечалось, машина Тьюринга не является единственной возможной формализацией понятий "вычисления" и "алгоритма". Существуют также и другие, столь же адекватные формализации этих понятий (машина Поста, нормальные алгорифмы, рекурсивные функции и др.). Все эти формализации эквивалентны друг другу, т.е. существуют стандартные алгоритмы, позволяющие программу для машины Тьюринга перевести в нормальный алгорифм или программу для машины Поста и т.д., и также возможен и обратный перевод. Любая функция, вычислимая по Тьюрингу, вычислима также посредством машины Поста, нормальных алгорифмов или рекурсивных функций.

Отсюда можно сделать вывод, что существует (потенциально бесконечный) класс "универсальных вычислительных машин", способных (в силу того, что каждая из них является адекватной формализацией понятия алгоритма) вычислить любую функцию, вычислимую в интуитивном смысле. Т.е. любая формализация алгоритма, принадлежащая к данному классу, позволяет адекватно представить любой вычислительный процесс (при условии, что этот процесс может быть представлен в виде ясной, четкой, однозначной инструкции, написанной, например, на естественном языке - т.е. если этот процесс можно представить как "алгоритмический" в интуитивном смысле этого слова). Утверждение о существовании класса универсальных вычислительных машин, способных вычислить все, что вычислимо в интуитивном смысле, известно как "тезис Черча" .

Тезис Черча нередко рассматривают как важный аргумент в пользу возможности искусственного интеллекта. Действительно, из тезиса Черча вытекает, что все универсальные вычислительные устройства качественно эквивалентны друг другу. Иными словами, одна универсальная вычислительная машина не может быть качественно "умнее" другой - в том смысле, что задачи, принципиально неразрешимые для машины одного типа, будут также неразрешимыми и для машин любых других типов. Различия между универсальными вычислительными машинами могут касаться лишь количественных параметров, а именно, они могут отличаться лишь по скорости вычислений и по объему памяти.

Если мозг - это тоже своего рода "машина", функции которой можно достаточно четко и однозначно описать в виде конечной "инструкции", то никакие особенности его конструкции не позволят ему выйти за пределы круга задач, разрешимых, скажем, с помощью машины Тьюринга. Разница между мозгом и компьютером, с этой точки зрения, может быть лишь только количественной. Мозг пока превосходит компьютер лишь в силу большего быстродействия и большего объема доступной памяти.

Если же хотят подчеркнуть принципиальное различие между человеком и машиной, то говорят о "невычислимости" функции сознания, предполагая, таким образом, существование особого класса "неалгоритмических" систем, способных решать задачи, принципиально неразрешимые для описанных выше универсальных вычислительных алгоритмических систем, подобных машине Тьюринга.

Существование алгоритмически неразрешимых проблем вытекает уже из теоремы Геделя о неполноте формальных систем. Дело в том, что существует тесная связь между алгоритмами и исчислениями. По существу, и алгоритмы и исчисления - это некие совокупности ясных, четких, однозначно заданных, конечных инструкций, описывающих какие-то действия с символическими объектами. Однако, в случае алгоритма эти инструкции имеют характер предписаний, задающих однозначный порядок выполнения операций над символическими объектами, тогда как в случае исчислений - инструкции носят разрешающий характер - они не определят какие конкретно действия нужно исполнить и в каком порядке, но указывают лишь какие действия разрешены - без указания очередности их исполнения.

С этой точки зрения исчисления - это особая разновидность алгоритмов, характеризующихся возможностью "ветвления" вычислительного процесса. Вычисление здесь построено как процесс "переработки" аксиом в теоремы, а правила вывода соответствуют тексту программы алгоритмического устройства. С другой стороны и алгоритмы можно рассматривать как особый, "детерминированный" вид исчислений.

Из теоремы Геделя непосредственно следует алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания истинности любых замкнутых формул достаточно содержательно богатой формальной системы. Однако, существование алгоритмически неразрешимых проблем можно показать и независимо от теоремы Геделя. В теории алгоритмов получено большое число результатов, касающихся неразрешимости тех или иных массовых проблем (см., например, (14)). Наиболее известные результаты - это алгоритмическая неразрешимость так называемой "десятой проблемы Гильберта" (проблемы отыскания единого метода решения произвольных диофантовых уравнений - алгебраических уравнений, решения которых ищутся в целых числах), а также - одни из наиболее простых результатов теории алгоритмов - алгоритмическая неразрешимость "проблемы остановки".

Для дальнейшего анализа нам было бы весьма полезно рассмотреть каким образом доказываются подобные результаты. Рассмотрим, к примеру, как доказывается алгоритмическая неразрешимость "проблемы остановки". "Проблема остановки" - это проблема поиска универсального алгоритма, позволяющего по записи произвольного алгоритма (например, функциональной таблицы машины Тьюринга), а также по записи произвольного "входа" - установить остановится ли вычислительное устройство, действующее в соответствие с данным алгоритмом и обрабатывающее данный "вход", или же оно будет работать бесконечно долго.

Алгоритм называется применимым к данному "входу" если он рано или поздно остановится и выдаст некоторый результат. В противном случае говорят, что алгоритм неприменим к данному "входу". Теорема об "остановке" утверждает, что проблема применимости произвольного алгоритма к произвольному "входу" алгоритмически неразрешима.

Эта теорема доказывается весьма просто. Первый шаг заключается в том, что вводится понятие самоприменимости алгоритма. Алгоритм называется самоприменимым, если он эффективно перерабатывает текст, соответствующий его собственной записи, в некоторый результат за конечное число шагов. В противном случае - если алгоритм не останавливается, продолжает работать бесконечно долго - то он называется несамоприменимым.

Вначале доказывается следующее утверждение: не существует алгоритма применимого ко всем несамоприменимым алгоритмам и только к ним. Доказательство заключается в указании на противоречивость понятия о таком алгоритме. Зададимся вопросом: является ли данный алгоритм самоприменимым? Если он самоприменим, то, очевидно, он несамоприменим (поскольку применим лишь к несамоприменимым алгоритмам). Если же он несамоприменим, то он самоприменим (поскольку применим ко всем несамоприменимым алгоритмам).

Исходя из этого результата можно также доказать несуществование алгоритма, способного универсальным образом распознавать несамоприменимость произвольных алгоритмов. Действительно, если такой алгоритм существует, то можно построить и алгоритм, применимый ко всем несамоприменимым алгоритмам и только к ним.

Обозначим буквой В алгоритм способный распознавать несамоприменимость. Тогда следующий алгоритм будет алгоритмом, применимым ко всем несамоприменимым алгоритмам и только к ним:

1. Выполнить В, перейти к п.2.

2. Если получен ответ "да", то перейти к п.3, в противном случае перейти к п.4.

3. Окончить процесс.

4. Перейти к п.4.

Этот алгоритм останавливается, если рассматриваемый в качестве входа алгоритм несамоприменим, и не останавливается (зацикливает на п.4) в противном случае.

Используя данный результат можно также показать, что не существует и алгоритм, распознающий универсальным образом самоприменимость (поскольку в противном случае можно построить алгоритм, который распознает несамоприменимость).

И, наконец, можно показать, что алгоритмически неразрешимой является проблема распознавания применимости произвольного алгоритма к произвольному "входу". Допустим обратное. Пусть Е - алгоритм, который по заданному произвольному алгоритму и заданному на входе "слову" распознает применимость данного алгоритма к данному "слову". Нетрудно построить алгоритм, который позволяет установить является ли заданное "слово" кодом данного алгоритма. Обозначим такой алгоритм буквой Р.

Тогда можно построить алгоритм Н:

1. Применить Р. Перейти к п.2.

2. Если Р дал ответ "да", перейти к п.3, иначе - к п.4.

3. Выполнить алгоритм Е. Конец.

4. Перейти к п.4.

Алгоритм Н является алгоритмом, распознающим самоприменимость произвольных алгоритмов. Следовательно, он не возможен, а значит не возможен и алгоритм Е.

Итак, существуют алгоритмически неразрешимые проблемы и, соответственно, алгоритмически невычислимые функции. Доказательство невычислимости, как мы видели, осуществляется путем "редукции к абсурду", т.е. показывается, что из предположения о существовании алгоритма, вычисляющего данную функцию, вытекает существование абсурдного, внутренне противоречивого объекта, вроде алгоритма применимого ко всем несамоприменимым алгоритмам и только к ним.

Как отмечалось выше, геделевский аргумент можно сформулировать как утверждение об алгоритмической невычислимости функции сознания. Невозможно написать программу для машины Тьюринга или любой другой универсальной вычислительной машины, которая была бы способна имитировать работу человеческого мозга и, таким образом, имитировать в любых ситуациях поведение человека. Этот аргумент можно сформулировать и несколько иначе, в виде утверждения, что человек обладает способностью решать алгоритмически неразрешимые проблемы. Эти формулировки, однако, не являются эквивалентными. В самом деле, любая подлинно случайная последовательность является "невычислимой" в том смысле, что никакой алгоритм не позволит нам гарантированно предсказать каждый следующий элемент в этой последовательности. Но отсюда, однако, не следует, что генератор случайных чисел может оказать нам какое-то содействие в решении каких-либо конкретных алгоритмически неразрешимых проблем.

Поскольку смысл геделевского аргумента усматривают именно в утверждении превосходства человека над машиной, то и тезис "невычислимости функции сознания" следует понимать именно во втором смысле - как тезис о разрешимости для человеческого интеллекта тех или иных алгоритмически неразрешимых проблем.

Итак, мы выяснили суть геделевского аргумента. Впервые данный аргумент был, видимо сформулирован Дж. Лукасом в 1961 году в статье (1).

В последнее время подобные идеи активно отстаивает Р. Пенроуз (2, 3, 11). Пенроуз, в частности, использует геделевский аргумент для обоснования тезиса о квантовой природе человеческого сознания. (Этот вопрос мы более подробно рассмотрим ниже). Рассмотрим вкратце ту форму, которую Пенроуз придает геделевскому аргументу.

Пенроуз утверждает, что предположение о существовании компьютерной программы, воспроизводящей функции человеческого интеллекта, в частности, воспроизводящей функции, составляющие математические способности человека, ведет к противоречию.

Предположим, что математические способности некоторого математика (например, самого Пенроуза) полностью описываются некоторой формальной системой F. Это означает, что любое математическое утверждение, которое Пенроуз признает "неоспоримо верным", является теоремой, доказываемой в F, и наоборот. Предположим, также, что Пенроуз знает, что F описывает его математические способности. Пенроуз, также, полагает, что тот факт, что F описывает его математические способности, - эквивалентен вере в непротиворечивость и непогрешимость F. (В противном случае мы должны были бы поставить под сомнение истины, которые представляются нам "неоспоримо истинными").

Согласно теореме Геделя о неполное формальных систем, поскольку F непротиворечива, существует геделевское предложение G(F), которое должно быть истинным, но которое не является теоремой в системе F. Однако, поскольку Пенроуз верит, что F - непротиворечивая система и знает, что F представляет его способность к математическим рассуждениям, он должен прийти к выводу, что G(F) является "неоспоримой истиной". Таким образом, мы получаем математическое утверждение G(F), которое Пенроуз признает истинным, но которое не является теоремой в F , что противоречит первоначальному предположению, что F представляет целиком и полностью математические способности Пенроуза.

Отсюда вывод, что никакая формальная система не может быть адекватным выражением математических способностей человека и, следовательно, невозможна полная компьютерная имитация человеческого сознания.

Работы Лукаса и Пенроуза вызвали достаточно большой резонанс в научной среде. (См., например, дискуссию по книге Пенроуза "Тени ума" в журнале PSYHE (4 - 11)). В целом, однако, преобладает критическое отношение к геделевскому аргументу. В следующем разделе данной работы мы последовательно рассмотрим типичные возражения, выдвигаемые против геделевского аргумента и дадим оценку каждому из них. Все это позволит нам выяснить подлинное значение геделевского аргумента.

Литертура:

1. Lucas J.R. Mind, Machines, and Godel // Philosophy, 1961, 36, pp. 112-127.

2. Penrose R. The Emperor's New Mind. L. 1989.

3. Penrose R. Shadows of the Mind. L., 1993.

4. Baars B.J. Can Physics Provide a Theory of consciosness? // PSYCHE, 1995, 2 (8).

5. McCarthy J. Awareness and Understending in Computer Programs // PSYCHE, 1995, 2 (11).

6. Chalmers D.J. Mind, Machines, and Mathematics // PSYCHE, 1995, 2(9).

7. Klein S.A. Is Quanum Mechanics Relevant to Anderstenting consciousness? // PSYCHE, 1995, 2 (2)

8. McDermott D. Penrose is Wrong // PSYCHE, 1995, 2 (2).

9. Feferman S. Penrose's Godelian Argument // PSYCHE, 1995, 2 (7).

10. Moravec H. Roger Penrose's Gravitonic Brains // PSYCHE, 1995, 2 (6).

11. Penrose R. Beyond the Doubting of Shadow // PSYCHE, 1996, 2 (23).

12. Антипенко Л.Г. Проблема неполноты теории и ее гносеологическое значение. М., 1986.

13. Chalmers D.J. Facing Up to the Problem of Consciousness // Journal of Consciousness Studies, 2 (3), 1995, pp.200 - 219.

14. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций эффективная вычислимость. М., 1972.


2. КРИТИКА ГЁДЕЛЕВСКОГО АРГУМЕНТА.

По существу, все доводы против геделевсклго аргумента укладываются в две противоположные точки зрения:

а). Человек, также как и машина, подчинен действию ограничений, вытекающих из теоремы Геделя о неполноте формальных систем.

б). Теорема Геделя не накладывает никаких существенных ограничений не только на человека, но и на машину.

Рассмотрим вначале как может быть обоснована первая точка зрения. Аргументы здесь используются весьма разнообразные.

1. Утверждают: то, что невычислимо (неразрешимо) для машины, невычислимо (неразрешимо) и для человека. Поскольку невычислимость означает невозможность указать эффективную процедуру разрешения заданной массовой проблемы, то, очевидно, это условие в равной мере действенно и для машины, и для человека. Если алгоритма решения данной проблемы в принципе не существует, то его не существует и для человека, и, следовательно, человек, также как и машина, не способен решать алгоритмически неразрешимые проблемы.

В данном случае предполагается, что решение некой массовой проблемы непременно предполагает существование алгоритма ее разрешения, т.е. предполагается, что найти решение проблемы - это то же самое, что указать единую методику (алгоритм) решения любой задачи, входящей в состав данной массовой проблемы.

Однако, вполне можно предположить, что человек способен решать какие-то проблемы не зная в точности каким образом он их решает, т.е. не владея в явной форме алгоритмом решения данной проблемы. Действительно, нередко мы решаем те или иные задачи "интуитивно", не осознавая сам процесс, который приводит нас к решению. Например, мы распознаем образы не имея представления о том, каким образом наш мозг осуществляет данную операцию. Нет, также, оснований думать, что исследуя работу мозга мы непременно рано или поздно установим "алгоритм", лежащий в основе функции распознавания образов. Следовательно, разрешимость массовой проблемы и наличие алгоритма ее разрешения - это не одно и то же.

Таким образом, данное возражение следует отклонить.

2. Некоторые авторы (1 с. 213) полагают, что человек не способен решать алгоритмически неразрешимые проблемы, так как их разрешимость влечет существование логически противоречивых, абсурдных объектов, наподобие алгоритма применимого только ко всем несамоприменимым алгоритмам. (Напомним, что невозможность подобного алгоритма используется для доказательства теоремы о неразрешимости проблемы "остановки"). Ясно, что абсурд должен быть запрещен в равной мере как для машины, так и для человека. Следует ли, однако, отсюда, что всякий объект, способный эффективно решать алгоритмически неразрешимые массовые проблемы (например, проблему "остановки"), внутренне противоречив (есть нечто подобное "круглому квадрату" или "горячему мороженому") и, следовательно, не может существовать?

Рассмотрим для большей конкретности пример проблемы "остановки". Очевидно, что абсурдность возникает здесь лишь в том случае, если предполагаемое устройство, эффективно решающее данную проблему для любых алгоритмов и любых входных данных, является алгоритмическим устройством, т.е. действует на основе некоторого алгоритма. В самом деле, пусть Е - есть устройство успешно решающее проблему остановки, т.е. это устройство способное по произвольному алгоритму и произвольному "входу" установить (за конечное время) остановится данный алгоритм или же будет работать вечно. Тогда, очевидно, можно построить и устройство способное эффективно распознавать несамоприменимость алгоритмов, а также устройство, которое будет работать останавливаясь и выдавая некий результат в том и только в том случае, если на "вход" вводится описание несамоприменимого алгоритма. Будет ли существование такого устройства чем-то парадоксальным, самопротиворечивым? Парадокс возникает, как мы помним, в том случае, когда мы задаемся вопросом: является ли алгоритм применимый ко всем несамоприменимым алгоритмам самоприменимым, или же он является несамоприменимым? Ясно, что если этот алгоритм самоприменим, то устройство должно остановиться (в силу определения самоприменимости) и, одновременно, не должно остановиться, поскольку применимо лишь к несамоприменимым алгоритмам. Аналогичный результат мы получаем и в случае несамоприменимости данного алгоритма.

Однако такой вопрос можно осмысленно задать лишь в отношении устройства, которое подчинено некоторому алгоритму, и который можно записать в виде текста и ввести в качестве "входа" в это же самое устройство. Если же устройство не подчинено какой-либо однозначно заданной совокупности предписаний, т.е. не является алгоритмическим устройством, то данный вопрос утрачивает всякий смысл. Но в таком случае исчезает и описанный выше парадокс. Таким образом, нет ничего парадоксального и противоречивого в предположении о возможности существовании устройства, применимого лишь к несамоприменимым алгоритмам, при условии, что само это устройство не является алгоритмическим.

Человек, конечно, не может решить такие алгоритмически неразрешимые проблемы, как проблема построения, сажем, "каталога всех и только всех несамоназывающихся каталогов" или построения прочих парадоксальных объектов. Однако, в других случаях, никакого противоречия в предположении о возможности решении любых единичных задач, составляющих алгоритмически неразрешимую массовую проблему, не существует (если эта возможность не сопряжена непременно с необходимостью указания алгоритма решения данной массовой проблемы).

Если мы допускаем возможность существования неформализуемых систем (систем, которые не допускают четкого и однозначного описания принципов своего функционирования посредством конечного набора правил), то мы должны, также, допустить и возможность существования устройств, способных решать алгоритмически неразрешимые проблемы, подобные проблеме "остановки".

3. Некоторые авторы утверждают, что для человека, также как и для машины, вполне можно сформулировать неразрешимые предложения, аналогичные геделевским предложениям (2).

Рассмотрим, к примеру, утверждение (обозначим его "утверждение 1*):

1* [Иванов не способен доказать данное утверждение 1*]

Спрашивается: может ли Иванов доказать данное утверждение? Если "да", то это утверждение истинно и, следовательно, Иванов не способен его доказать. Если же нет", то оно истинно, но недоказуемо (для Иванова).

Однако я, Иванов, вполне ясно вижу, что данное утверждение истинно - что непосредственно доказывается мною в предшествующем рассуждении. Иными словами, хотя формально данное предложение для меня является "недоказумым", тем не менее, фактически я способен "неформально" доказать его истинность - указав, например, что это предложение является геделевским предложением для системы "Иванов" и уже потому истинно. Каким же образом я способен сделать этот формально "запрещенный" для меня вывод? Очевидно, делая этот вывод, я как бы мысленно дистанцируюсь от самого себя, т.е. как бы создаю некое "виртуальное" "Я" или "виртуалього субъекта", не тождественного субъекту, фигурирующему в утверждении 1* под именем "Иванов". Это позволяет мне воспринять данную ситуацию извне, с позиции стороннего наблюдателя. Если для исходного "Я" (Иванова) предложение 1* формально неразрешимо, то для "виртуального Я" (Иванова') - оно оказывается вполне разрешимым.

Отсюда можно сделать важный вывод, что способность распознавать истинность геделевских предложений, если она действительно имеет место, связана с рефлексивной способностью субъекта - его способностью к самоосознанию. Действительно, осознание самого себя как единичной индивидуальности, выделенной из состава всеобщего бытия, т.е. осознание себя как "Я" - которому противопоставлено "не-Я",- такое осознание предполагает самодистанцирование субъекта, его способность "посмотреть" на себя извне, как бы "со стороны" - с некой надиндивидуальной точки зрения.

Рефлексивную способность можно понимать двояко:

1. Как способность субъекта описывать свой собственный внутренний мир - "субъективную реальность".

2. Как способность осознавать собственное "Я" - как нечто отдельное, отделенное от остального мира, противоположное "не-Я".

Первая способность предполагает вторую. Для того, чтобы описать свой собственный внутренний мир, необходимо предварительно опознать этот мир именно в качестве "моего внутреннего мира", противоположного "внешнему миру".

С философской точки зрения способность к самоосознанию указывает на принципиальную "разомкнутость" человеческого сознания, на непосредственную укорененность "Я" в некой надиндивидуальной реальности. Действительно, для того, чтобы понять, что я - это "Я", т.е. субъект, противоположный объекту, необходимо каким-то образом "увидеть" эти "Я" и "не-Я" в их непосредственном соотношении. Но для этого необходимо "выйти из себя", преодолеть замкнутость собственного сознания и "переместиться" в такую "онтологическую точку" в которой отсутствует различие "Я" и "не-Я" (субъекта и объекта) - и именно поэтому из этой "точки" возможно одновременно "созерцать "Я" и "не-Я" в их непосредственном отношении друг к другу. Поскольку такое "видение" может быть только умозрительным (сверхчувственным), то следует признать, что наше индивидуальное сознание должно быть каким-то образом "изнутри" (в своей мыслительной способности) соединено с Мировым целым - так что в некой особой сфере сознания утрачивается сохраняющееся в других сферах (например, в сфере чувственности) деление на субъект и объект.

"Незамкнутость" сознания, вместе с тем, можно истолковать как его неформализуемость. Действительно, благодаря незамкнутости, человеческий интеллект как бы "подключен" к бесконечному "резервуару аксиом", причем не просто внешним образом подключен к этому "резервуару", а так, что не существует отчетливой границы между "моим сознанием" и мировым надиндивидуальным целым. В силу этого невозможно сказать, что "Я" - это именно "вот это" конкретное содержание. Невозможно однозначным способом специфицировать "Я" - поскольку оно не имеет четких границ.

Машина всегда есть то, что она есть - она всегда есть нечто вполне определенное. Человек же не есть только то, что он есть. Он всегда больше того, чем он непосредственно является. Для человеческого интеллекта, когда мы его рассматриваем как целое, нарушается закон тождества А=А. Точнее, для человека одновременно верно и А=А и А >А. Иными словами, человеческий интеллект в своей основе "металогичен", не подчиняется законам классической логики.

Итак, "негеделевость" сознания (если она действительно имеет место) - его способность распознавать геделевские предложения - указывает, как нам представляется, на фундаментальные онтологические свойства сознания - его незамкнутость, укорененность в надиндивидуальном Мировом целом. "Негеделевость" сознания можно в этом случае объяснить тем, что человеческий интеллект - это система с неопределенным множеством аксиом. Такая система неформализуема, для нее невозможно однозначно определить множество "доказуемых истин" и, следовательно, для нее невозможно сформулировать предложения, утверждающие собственную недоказуемость относительно заданной системы аксиом.

Вывод: рассмотренный довод против геделевского аргумента, видимо, несостоятелен. Человек фактически способен распознавать истинность геделевских предложений в которых он сам фигурирует как субъект высказывания. Эту способность можно "метафизически" объяснить "незамкнутостью" человеческого сознания, его непосредственной укорененности в надиндивидуальном мировом целом.

Подчеркнем, что в данном случае мы не предрешаем вопрос об истинности геделевского аргумента. Речь идет лишь о том, как возможно объяснить "негеделевость" человеческого интеллекта если она действительно имеет место - объяснить именно как особую форму "превосходства" человека над машиной. Мы также не настаиваем, что данное объяснение "негеделевости" является единственно возможным.

4. Еще одно возражение против геделевского аргумента заключается в следующем. Полагают, что человек, также как и машина, подпадает под ограничения, вытекающие из теоремы Геделя, но мы не способны в явной форме построить сами для себя геделевские предложения, поскольку не способны установить алгоритм (аксиоматику), на основе которого функционирует наш интеллект (3, 4, 5, 6). Назовем это утверждение "гипотезой о скрытой алгоритмичности" человеческого интеллекта.

Здесь можно рассуждать следующим образом: предположим, что в основе человеческого интеллекта лежит некий алгоритм (система правил) А. Если мы способны в явной форме установить какие именно правила составляют А, т.е. каким конкретно правилам подчинен наш собственный ум, то мы способны также построить "неразрешимое" высказывание:

2* [Алгоритм А не способен установить истинность высказывания 2*].

Это предложение истинно, но недоказумо. Но человек, если он действительно подчинен алгоритму А, не способен установить истинность данного предложения. Однако, если человек способен установить, что он действительно подчинен алгоритму А, то уже в силу этого он сразу же устанавливает истинность - 2* расценивая его как геделевское предложение. Таким образом, предложение 2*одновременно и должно и не может быть распознано человеком как истинное. Чтобы исключить возможность возникновения такого парадокса, необходимо, видимо, предположить принципиальную непознаваемость алгоритма, в соответствие с котором функционирует наш собственный мозг. (Сравним этот аргумент с предшествующим. Разница между ними в том, что во втором случае делается акцент на необходимости детального знания "системы аксиом" (алгоритма) на которой основана психическая деятельность человека, для того, чтобы было возможно сформулировать геделевские предложения, неразрешимые для человеческого мышления. Действительно, конкретный вид геделевских предложений очевидно зависит от выбора дедуктики, т.е. конкретного набора аксиом и правил вывода. Поэтому, не зная действительного устройства формальной системы, невозможно и выписать в явном виде и геделевское предложение для данной системы. С этой точки зрения предложение 1* [Иванов не способен доказать утверждение 1*] не является подлинным геделевским предложение, поскольку оно никак не специфицирует систему "Иванов" и, следовательно, утверждает непонятно о чем. Следовательно, снимается и вопрос о том, каким образом Иванов способен распознать истинность данного предложения).

"Непостижимость" правил, которым подчинено наше мышление и поведение в целом можно обосновать и более простым способом. Предположим, что я выяснил алгоритм А, который исчерпывающим образом описывает функцию моей собственной психики (или функцию моего мозга). Тогда, по крайней мере в некоторых случаях, я буду способен предсказывать свои будущие действия, поступки. Предположим, что исследование алгоритма А привело меня к заключению, что я в ситуации Х должен с необходимостью осуществить действие Р. Но тогда, что, спрашивается, может помешать мне именно в силу осознания неизбежности действия Р "назло" или "нарочно" отказаться от осуществления Р, и осуществить какое-то альтернативное действие. Тогда получится, что я одновременно должен и не должен осуществить действие Р.

Итак, можно утверждать, что если сознание подчинено некоторому конкретному алгоритму, то предположение о познаваемости данного алгоритма ведет к противоречию. Отсюда можно предположить, что данный алгоритм, если он на самом деле существует, принципиально непознаваем. Однако можно ли его в таком случае считать алгоритмом?

Алгоритм - это ясная, четкая, понятная для всех система инструкций, совокупность правил. Следовательно, в само понятие алгоритма уже изначально входит идея его принципиальной познаваемости. То, что принципиально непознаваемо - не может рассматриваться в качестве алгоритма.

Таким образом утверждение о принципиальной непознаваемости алгоритма А - фактически равносильно признанию невозможности описать функцию сознания с помощью какого-либо алгоритма.

Здесь мы, по сути, получаем дополнительный довод в пользу геделевского аргумента - мы видим, что гипотеза об алгоритмической природе сознания ведет к парадоксам, логически противоречива.

Следует подчеркнуть, с другой стороны, что гипотеза об алгоритмической невычислимости функции сознания недоказуема эмпирически. Невозможно на практике показать, что человек на самом деле способен решать алгоритмически неразрешимые массовые проблемы. Это невозможно просто потому, что человек на протяжении своей жизни имеет дело лишь с конечным множеством проблем - которое, конечно, может представлять собой подмножество множества, составляющего алгоритмически неразрешимую массовую проблему. Человек может продемонстрировать свою способность решать любые предъявляемые ему конкретные задачи, входящие в состав данной алгоритмически неразрешимой массовой проблемы. Однако отсюда не следует, что человек способен решать любые проблемы, имеющие отношение к данному (бесконечному) классу проблем. Алгоритмическая неразрешимость не исключает возможности решения любого конечного множества проблем, относящихся к неразрешимой массовой проблеме. Утверждается лишь отсутствие общего, универсального способа решения таких проблем.

Однако хотя гипотеза алгоритмической невычислимости функции сознания и недоказуема, но она, тем не менее, вполне опровержима. Функцию, которую выполняет та или иная система, можно установить двумя различными способами: либо наблюдая как данная система реагирует на те или иные "входные" сигналы, либо выяснив как данная система "устроена" - т.е. выяснив ее конструкцию и, таким образом, выяснив алгоритм, на основе которого функционирует данная система.

В принципе, анализируя строение мозга и функцию отдельных его элементов, можно выяснить алгоритм, которому подчинена наша психическая деятельность. Однако, если мы принимаем геделевский аргумент, то мы должны исключить такую возможность - поскольку она влечет противоречие. Таким образом, единственный практически значимый вывод, который следует из принятия геделевского аргумента, - это вывод о принципиальной невозможности выяснить те принципы, которым подчинена работа нашего мозга.

Это очень сильный вывод. Отсюда, в частности, следует, что функцию мозга невозможно полностью понять исходя из "классической" модели мозга как нейрональной сети, в которой единственными информационно значимыми событиями являются процессы обмена нервными импульсами между отдельными нервными клетками. Действительно, эти процессы - на уровне отдельных нервных клеток и небольших их совокупностей - достаточно хорошо известны. В них нет ничего загадочного для нас. Но в таком случае нет и никаких принципиальных препятствий для того, чтобы выяснить и функцию сколь угодно большой нейрональной сети и даже мозга как целого. Это лишь вопрос времени. Таким образом, с этой точки зрения функция мозга принципиально познаваема.

Геделевский аргумент по существу ставит под сомнение этот оптимистический для нейронаук вывод. Соответственно, возникает вопрос: как может быть устроен мозг, чтобы его функция могла рассматриваться как принципиально непознаваемая? Как вообще возможно существование физических систем, функцию которых в принципе невозможно выяснить анализируя их устройство?

Известные нам физические "законы природы" по существу представляют собой правила, с помощью которых мы можем, исходя из знания структурных свойств и состава физических объектов, предсказать их функциональные свойства. Таким образом, принципиально непознаваемыми могут быть лишь те функциональные свойства физических объектов, которые невыводимы однозначным образом из известных "законов природы" (которые, по сути, представляют собой предельно общие правила (алгоритмы), которым подчинено поведение самых различных физических систем).

Детальный анализ вопроса: как возможны физические системы, функция которых принципиально непознаваема - мы отложим до третьей главы. Пока лишь отметим, что рассмотренный в этом пункте довод против геделевского аргумента также оказался несостоятельным. Функция сознания не может быть подчинена "принципиально непознаваемому алгоритму", поскольку такой "алгоритм" вообще не является алгоритмом, его свойства противоречат самой природе алгоритмов, как потенциально эксплицируемых систем инструкций.

5. Неполнота формальных систем, вытекающая из теоремы Геделя, с необходимостью имеет место лишь при условии непротиворечивости рассматриваемой формальной системы. Непротиворечивость означает, что формальная система не допускает вывода противоположных утверждений: А и не-А. То есть система доказываемых теорем должна быть внутренне самосогласованной. Помимо самосогласованности естественно также потребовать то, что можно назвать "непогрешимостью" формальной системы: она должна доказывать лишь содержательно истинные высказывания, и не доказывать ни одного содержательно ложного высказывания. (Это условие представляется естественным в том случае, если рассматриваемая система претендует на роль формального аналога человеческого интеллекта или хотя бы формального аналога математических способностей человека. Действительно, если формальная система F действительно функционально тождественна человеческому интеллекту, то множество теорем, доказываемых в этой системе, будет полностью покрывать множество "содержательных" истин, так что отсутствует всякая возможность различить "формальные" и "содержательные" истины. Однако, как мы увидим ниже, и это, казалось бы неоспоримое условие "априорной" непогрешимости человеческого ума, - может быть подвергнуто сомнению).

Учитывая сказанное можно предположить, что человек способен "уйти" из под действия ограничений, вытекающих из теоремы Геделя, именно в силу того, что он является противоречивой формальной системой. Ясно, что это предположение снимает противоречивость гипотезы "алгоритмической вычислимости" функции сознания (и, в частности, снимает противоречивость гипотезы о возможности представить математические способности человека посредством некой формальной системы). Заметим, что гипотеза о "противоречивости" человеческого интеллекта является, пожалуй, самым популярным доводом против геделевского аргумента (см., например, (2, 4, 5, 7)). Д. Маккалох, например, утверждает, что геделевский аргумент доказывает не "...алгоритмическую невычислимость функции сознания, а доказывает лишь, что если эта функция вычислима, тогда человеческий интеллект либо противоречив, либо человек принципиально не способен познать алгоритм собственного сознания, а также доказать собственную непротиворечивость"(2).

Отметим, что данный довод против геделевского аргумента существенным образом отличен от всех рассмотренных нами доводов. Действительно, все рассмотренные выше контраргументы были направлены на то, чтобы показать, что человек в такой же мере подвержен действию ограничений, вытекающих из теоремы Геделя, как и машина. Данном же случае признается, что теорема Геделя не имеет силы в отношении человеческого интеллекта - хотя причина этого указывается достаточно тривиальная - внутренняя противоречивость (несамосогласованность) алгоритма, лежащего в основе человеческого мышления. С этой точки зрения нет принципиальной разницы между человеком и машиной. Машина также может избежать "неполноты", вытекающей из теоремы Геделя. Для того, чтобы машина "сравнялась" с человеком достаточно (помимо достижения определенной вычислительной мощности и объема памяти и создания адекватного программного обеспечения) лишь сделать машину способной противоречить самой себе - т.е. высказывать несовместимые друг с другом утверждения, принимать в качестве истинных противоречащие друг другу формулы и т.п.

Подчеркнем, что противоречивость не устраняет возможности описания "мыслящей противоречиво" системы, как системы, подчиненной определенному алгоритму (набору четко и однозначно сформулированных правил). Просто правила, составляющие алгоритм, оказываются логически несовместимыми и в результате система оказывается способной оценивать одни и те же предложения как истинные и как ложные в разные моменты времени.

Формально данная гипотеза действительно позволяет снять противоречивость предположения о возможности представить человеческий ум в виде некоего алгоритма. Однако эта гипотеза влечет весьма радикальные следствия касающиеся, в частности, природы математического мышления и понимания сущности математики.

Что означает для формальной дедуктивной системы противоречивость? То, что из аксиом данной системы при помощи разрешенных правил вывода можно получить некоторое утверждение, а также можно вывести и его отрицание. То есть такая система утрачивает способность однозначно различать истину и ложь.

Согласно правилам логики, что если формальная система противоречива, то в ней может быть доказано любое предложение. Действительно, если система противоречива, то в ней неизбежно в состав теорем включаются ложные формулы. В частности, в ней выводима заведомо ложная формула (А и не-А), которую далее можно использовать в качестве посылки. Опираясь же на ложные посылки можно доказать все, что угодно. Таким образом, если дедуктика противоречива, то в ней доказуема любая формула заданного формального языка.

Если в основе математических способностей человека лежит противоречивая формальная дедуктивная система, то это означает, что любая математическая теорема рано или поздно будет опровергнута. Но в таком случае следует признать, что доказательность в математике, т.е. наличие в ней всеобщих и необходимых истин - не более чем психологическая иллюзия. Математика, таким образом, лишается статуса доказательной науки и ставится в один ряд с науками "эмпирическими".

Но в таком случае возникает вопрос: каким же образом у нас возникает иллюзия доказательности математики? Почему мы сплошь и рядом не сталкиваемся с противоречиями в математических теориях или, по крайней мере, с существенными разногласиями в среде математиков по поводу любой математической теоремы? Почему доказательства, как правило, без особых возражений и длительных дискуссий принимаются математическим сообществом, а также, почему существуют математические результаты, полученные более двух тысяч лет назад и сохранившие свой статус истинных по сей день? (Например, "Начала" Эвклида).

Известен, например, такой факт: ни одна математическая теорема не была опровергнута позже 50 лет после того, как она была доказана (8).

Как можно объяснить все эти факты, указывающие на весьма надежный, достоверный характер математических результатов, с позиций гипотезы, утверждающей внутреннюю противоречивость человеческого интеллекта - включая сюда и способности, ответственные за математическое мышление?

Самое простейшее объяснение этих фактов заключается в предположении, что "контрдоказательства" (т.е. опровержения) известных "надежных" математических теорем просто намного превосходят по своей сложности (длиннее) "доказательства" и именно поэтому "контрдоказательства" пока нам не известны. Это объяснение представляется весьма фантастическим, однако сбрасывать его совсем со счета также не следует.

Другое, гораздо более реалистическое объяснение заключается в предположении, что подлинный источник истинности в математике - это отнюдь не самоочевидный (и потому априорный) характер аксиом, лежащих в основе той или иной дедуктивной математической теории, а практика (точнее, применение математических теорий на практике). Сторонники этой точки зрения полагают, что математическое сообщество сознательно или бессознательно систематически "отбраковывает" как негодные те схемы рассуждений и математические результаты, которые приводят нас к выводам, противоречащим практике. (Например, теорема арифметики, утверждающая 2+2=4, с этой точки зрения, истинна не в силу какой-то особой способности нашего разума непосредственно (интуитивно) усматривать равенство 2+2 и 4, а является истинной в силу того, что любое рассуждение, которое приводило бы нас к иному результату, противоречило бы практике и поэтому неизбежно было бы отвергнуто как ошибочное).

Все это означает, что методология математики ничем принципиально не отличается от методологии любой другой естественной науки (например, физики). Ее "доказательства" - это просто психологически убедительные способы аргументации, не гарантирующие получение абсолютной истины, а отнюдь не способы получения каких-то "всеобщих и необходимых" (а также "общезначимых") истин.

Для того, чтобы убедиться в истинности математических утверждений, с этой точки зрения необходимо сопоставить "доказанный" результат с опытом. Математика, таким образом, вопреки классическим представлениям о ее природе, не имеет "внутреннего" (независимого от практики) критерия истинности.

Из всего этого следует, что если мы отрываем математику от практической почвы - то следует ожидать появления противоречий. В подтверждение этой точки зрения нередко ссылаются на парадоксы, которые в конце 19 - начале 20 столетия были обнаружены в теории бесконечных множеств Г. Кантора - одной из наиболее абстрактных, оторванных от практики математических теорий, с которой связывались большие надежды в плане окончательного обоснования всей "классической" математики.

Уже сам Кантор обнаружил внутреннюю противоречивость понятия "множества всех множеств" (которое совершенно естественно возникало в первоначальной "наивной" версии теории множеств как следствие неограниченного применения принципа "свертки" - условием "свертывания" каких-либо предметов в множество у Кантора являлась простая мыслимость элементов данного множества в качестве единого целого). Позже были открыты и другие парадоксы "наивной" теории множеств (Парадокс Рассела, парадокс Бурали-Форти и др.). Так, например, Б. Рассел показал, что вполне приемлемые с точки зрения теории множеств рассуждения приводят к построению таких парадоксальных объектов, как "множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента" - это множество одновременно и должно и не должно содержать себя в качестве элемента.

Доказывает ли наличие парадоксов в теории множеств неустранимую противоречивость математического мышления? На этот вопрос, как нам представляется, следует ответить отрицательно.

Во-первых, следует признать, что обнаружение упомянутых противоречий, хотя и вызвало первоначально панику в математическом сообществе, все же не привело к краху классической математики в целом. Ни один из классических разделов математики (арифметика, геометрия, матанализ и др. ) не пострадал. В целом преобладает мнение, что указанные парадоксы являются следствием достаточно тонких, ранее не замечаемых, дефектов мышления, которые вполне устранимы. Например, по мнению Рассела и Пуанкаре парадоксы возникают из-за нарушения принципа "порочного круга", т.е. нарушения правила: "Все, что включает все члены совокупности, не должно быть одним из членов совокупности". Определения, в которых это правило нарушается, называется "непредикативным". Исключая непредикативные определения, мы тем самым исключаем возможность включения в теорию таких парадоксальных объектов, как "множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента" или "множество всех множеств". Разработанная Расселом "теория типов" позволяет различать математические конструкции по уровню абстрактности и не допускать смешение этих уровней - что и является, по его мнению, причиной возникновения парадоксов.

По существу сходный способ устранения парадоксов используется и в аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля. Здесь исключение понятий типа "множество всех множеств" достигается путем индуктивного способа построения новых множеств - всякое множество строится на основе уже ранее построенных (или постулированных) множеств с использованием конечного набора разрешенных операций.

Вместе с тем, нужно отметить, что ни аксиоматическое построение теории множеств, ни теория "типов" не позволяю сами по себе гарантировать непротиворечивость математических построений. Исключая известные парадоксы, мы не можем быть уверены, что подобные парадоксы не возникнут в будущем. К. Гедель доказал теорему, согласно которой истинность в рамках той или иной формальной системы не может быть доказана с использованием только тех средств, которые формализованы в рамках данной системы. Отсюда следует, что истинность математики в целом не может быть доказана средствами самой математики. Не означает ли это, что математика не имеет "внутреннего" критерия истинности и неизбежно должна апеллировать к опыту?

Как нам представляется, это совсем не обязательно. Неспособность математики к самообоснованию не является чем-то удивительным. Математика мыслимая как целое - это ни что иное, как сфера "чистого мышления", т.е. мышления, "не замутненного" какими-либо внерациональными (волевыми, эмоциональными, чувственными) элементами. Ясно, что сам характер процедуры обоснования (отсылка к основанию) не допускает самообоснования. В готовых формах мышления истина лишь транслируется, но не рождается. Однако, это не означает, что истина рождается непременно лишь в чувственном опыте. Можно допустить также и существование некой "непроницаемой" для разума (металогической) внечувственной сферы, которая является внутренним (в смысле, "внеэмпирическим", внечувственным) основанием самого разума. Это и есть то, что обычно называют "интеллектуальной интуицией" - способность непосредственно "усматривать" истинность без каких-либо обоснований или доказательств. Фактическая "прочность" математических теорий, весьма оторванных от практики, указывает на то, что такого рода "интеллектуальная интуиция" действительно существует и является подлинным источником истинности нашего мышления.

Рассмотрим вкратце причины возникновения парадоксов в математике и человеческом мышлении в целом. Парадоксальные объекты - это, по существу, невозможные объекты, т.е такие объекты, которым приписываются несовместимые друг с другом предикаты (например: круглый квадрат, горячее мороженое и т.п.). Возникает вопрос: как вообще можно мыслить то, что не может существовать?

Наше мышление - предметно. Каждое осмысленное понятие указывает на некий возможный или действительный объект, группу объектов, на свойства или отношения между объектами (причем в качестве "объектов" могут выступать не только чувственно воспринимаемые предметы, но и нечто сверхчувственное, например, смысл, желание, оценка, "Я", душа и т.п.). Каким же образом возможна мысль предмет которой - нечто невозможное?

Эта проблема обычно решается в философии путем различения предметного, содержательного мышления и мышления символического. В первом случае акт мышления - есть акт схватывания "идеи" объекта - предмета мысли во всей полноте его свойств и отношений. Во втором же случае мы мы мыслим с помощью "отвлеченных понятий", которые лишь указывают "направление" к идее, но не позволяют реально обладать ее конкретным содержанием (9).

Иными словами, содержательная мысль - это мысль, включающая в себя адекватное самому предмету "интеллектуальное созерцание" данного предмета, т.е. мысль полно, исчерпывающе воспроизводящая структурные, реляционные и прочие свойства предмета мышления. Именно таковым, по существу, и является (вернее, должно всегда являться) математическое мышление.

Символическое мышление, в отличие от содержательного, не воспроизводит "идеально" предмет мышления, но задает лишь отдельные признаки, с помощью которых можно практически распознавать замысленный объект. Последнее, однако, не гарантирует, что объект, обладающий указанными признаками, действительно существует (вернее, может существовать - поскольку мышление имеет дело с возможным и невозможным, а не с возможным и действительным). Указываемый признаками класс может оказаться пустым в силу несовместимости указанных признаков.

Таким образом, символическое мышление - это мышление, которое как бы "остановилось на середине дороги", это не законченное мышление. По сути, это лишь как бы "замысел" содержательной мысли, некая программа синтеза "идеи", адекватной предмету мысли, причем эта программа может быть выполнимой или невыполнимой. В последнем случае мы и имеем дело с парадоксальными, невозможными объектами, - которые, по существу, нами не мыслятся, но лишь замысливаются, лишь мнятся, но не осуществляются в мышлении.

В математике различие между содержательным и символическим мышлением можно представить как различие между конструктивным и неконструктивным мышлением. Обычно полагают, что математическое мышление конструктивно, если мыслимый объект задается через посредство указания процедуры (алгоритма) его построения. Неконструктивное задание математического объекта осуществляется через посредство задания условий (признаков), которым данный объект должен удовлетворять. Ясно, что если ограничиться только конструктивными определениями, никакие парадоксы возникнуть не могут.

Алгоритм, однако, это некая финитная процедура. Идея алгоритма предполагает возможность передачи процесса порождения объекта машине. Машина, очевидно, не может осуществить бесконечное множество шагов для того, чтобы выдать некий окончательный результат. Таким образом, конструктивизм в математике равносилен запрету на использование актуальной бесконечности. (По мнению сторонников конструктивистского и интуитивистского направлений в математики парадоксы связаны именно с использованием в математике идеи актуальной бесконечности или, по крайней мере, связаны с некритическим применением к бесконечным множествам классической логики, применимой в полном объеме лишь к конечным множествам).

Запрет на использование актуальной бесконечности можно истолковать в пользу "эмпирического" статуса истинности в математике. Действительно, отказ от актуальной бесконечности делает математические конструкции вполне обозримыми и, значит, потенциально эмпирически проверяемыми. В этой потенциальной проверяемости и можно усмотреть причину надежности конструктивных доказательств. Поэтому если мы хотим сохранить идею чисто "внутреннего", внеэмпирического источника истинности в математике, то мы должны настаивать на надежности также и доказательств, использующих понятие актуальной бесконечности.

На неустранимость из математического мышления актуальной бесконечности непосредственно указывает сама теорема Геделя о неполноте формальных систем. Действительно, смысл теоремы как раз и заключается в том, что Гедель (используя лишь финитные средства) доказал, что содержательная математическая истина не может быть выражена с помощью каких-либо финитных методов рассуждения. Т.е. математика не может быть целиком сведена к каким-либо конечным формальным построениям. Как отмечает Л.Г. Антипенко: "...теоремы Геделя о неполноте превращают высказывания о существовании актуальной бесконечности в математическую истину того же рода, как 2+2=4" (10 с.130). Следовательно, "бесконечное" не является псевдопонятием, есть необходимая часть математики. Но в таком случае, ошибочна идея чисто эмпирического статуса математической истинности (т.к. "бесконечное" , о котором мы можем доказательно рассуждать, не является понятием, которое можно извлечь из опыта).

Как же в таком случае следует относиться к существующим и возможным парадоксам теории (актуально) бесконечных множеств? Как нам представляется, эти парадоксы не обязательно указывают на какие-то неустранимые пороки нашего мышления. Внутренняя противоречивость, например, "множества всех множеств" проистекает, как представляется, из его особого статуса, отличного от статуса обычного бесконечного множества. Поскольку это множество изначально содержит в себе все, что только можно помыслить, оно непополнимо, следовательно, его невозможно увеличить прибавив к нему множество всех его подмножеств (как это происходит в случае обычных бесконечных множеств). Но и обычное бесконечное множество нельзя пополнить прибавив к нему любое конечное или бесконечное множество имеющее ту же самую мощность, что и исходное множество. Это свойство также выглядит парадоксальным с точки зрения свойств конечных множеств. Т.е. свойства "множества всех множеств" радикальным образом отличны от свойств "обычных" бесконечных множеств и это отличие примерно такого же рода, как отличие между бесконечными и конечными множествами. Вопросы, которые порождают парадоксы, применительно к таким особым множествам просто неуместны. Нельзя приписывать "множеству всех множеств" какие-либо конкретные кардинальные или ординальные числа, поскольку оно изначально содержит в себе все возможные кардиналы и ординалы. Мера этого множества бесконечна и потому неопределима. Точно так же нельзя спрашивать о том, к какому классу (обычных или необычных множеств) относится "множество всех множеств, не включающих себя в качестве элемента"- поскольку это множество уже за рамками такого рода противопоставлений. Но именно это, как нам представляется, и утверждает "терия типов" Б. Рассела.

Суть этой теории видится в том, что переход к более высокому типу абстракций качественно изменяет характер рассматриваемых математических конструкций и, таким образом, на них уже невозможно распространить свойства или отношения, характерные для математических конструкций низшего уровня абстракции. Опираясь на эту теорию, следовательно, можно устранять парадоксы, не отказываясь от понятия актуальной бесконечности и, таким образом, не подвергая сомнению существование внутренних критериев истинности в математике. (Вместе с тем, как отмечал К. Гедель, "теория типов" является "слишком радикальным" средством устранения парадоксов, поскольку использование рефлексивных понятий в математике далеко не всегда влечет возникновение парадоксов. Для нас, однако, важно лишь то, что парадоксы можно устранить без разрушения большей части классической математики и не отказываясь от представления об актуальной бесконечности).

Таким образом, накладывая определенные ограничения на возможные способы математических рассуждений можно, видимо, избежать угрозы возникновения противоречий в математике. Это говорит о том, что противоречия в математике не носят фатальный характер, не являются следствием неустранимой противоречивости человеческого мышления. Человек может противоречить сам себе когда он мыслит "неправильно" (недостаточно конструктивно, не продумывая определения до конца, не выводя всех необходимых следствий из заданных постулатов, не учитывая различия в уровне абстракции математических объектов и т.п.). И эта "неправильность" мышления представляется вполне устранимой.

Иногда сторонники идеи противоречивости человеческого мышления ссылаются на достаточно очевидный факт способности человека ошибаться. В силу этого полагают, что даже в сфере математического мышления нельзя рассчитывать на полную строгость и отсутствие противоречий. При этом ссылаются на широко известные случаи ошибочных доказательств, авторство которых принадлежит, нередко, выдающимся математикам.

Проблема здесь в том, насколько фатальны эти ошибки, способно ли математическое сообщество своевременно их замечать и исправлять. На этот последний вопрос, видимо, следует ответить положительно. История математики показывает, что хотя отдельные, даже великие, математики время от времени ошибаются, математическое сообщество в целом достаточно быстро находит и исправляет ошибки (как правило, это происходит еще при жизни автора ошибочной теоремы) (8).

Это говорит о том, что ошибки математиков - это не следствие неустранимой внутренней противоречивости человеческого мышления, а скорее есть следствие влияния на мышление каких-то внешних факторов, искажающих правильный ход мыслительных процессов (в этом смысле ошибки человека аналогичны ошибкам, которые время от времени допускает компьютер, даже в том случае, если он работает на основе "идеальной", безошибочно составленной и непротиворечивой программе).

Итак, хотя, видимо, предположение о внутренне противоречивом характере человеческого мышления невозможно строго опровергнуть, но вряд ли это предположение можно считать правдоподобным, а аргументы в его пользу - убедительными.

Предположим, однако, что мышление человека действительно страдает неустранимой противоречивостью. Что это предположение может конкретно дать нам в плане анализа геделевского аргумента?

Если человеческое мышление подчинено внутренне противоречивой системе правил, то, очевидно, к человеку неприложимы ограничения, следующие из теоремы Геделя о неполноте формальных систем - просто потому, что теорема имеет в виду только непротиворечивые формальные системы. Однако, противоречивость, очевидно, не дает человеку каких-либо преимуществ перед машиной, функционирование которой подчинено непротиворечивой системе правил. Человек, конечно, в этом случае может констатировать истинность любых геделевских предложений, но это возможно лишь в силу отсутствия внутреннего критерия, позволяющего однозначно различать истину и ложь. Следовательно, такого рода констатации будут иметь лишь относительный характер, поскольку не исключается, что в будущем те же предложения будут отнесены к разряду ложных.

Гораздо большее значение имеет тот факт, что сомнение в непротиворечивом характере человеческого мышления ставит под сомнение достоверность любых математических результатов, в том числе и теоремы Геделя о неполноте формальных систем. Но если мы ставим под сомнение истинность теоремы Геделя, то это ставит, также, и под сомнение сами основания различения человеческого и машинного интеллекта, которые предполагаются исходя из данной теоремы.

6. Д. Чалмерс (3) полагает, что геделевский аргумент можно нейтрализовать более слабым предположением, чем гипотеза о противоречивом характере алгоритма, представляющего интеллектуальные способности человека. Достаточно лишь предположить, что человек не способен установить непротиворечивость собственного мышления, в частности, не способен установить, что все утверждения, в истинность которых он верит, на самом деле являются истинными.

Действительно, вернемся к рассмотренному ранее аргументу в п.4. Мы видели, что парадоксальность предположения, что некоторый алгоритм F воплощает собой человеческий интеллект (или хотя бы только "математические способности" человека) проистекает из того, что человек, в этом случае, одновременно и должен и не должен признавать геделевское предложение G(F) в качестве истинного. Однако, для того, чтобы с необходимостью утверждать истинность G(F), необходимо не только знать, что "я есть F", но также и знать, что "я непротиворечив", а также знать, что все, что я с необходимостью считаю истинным - является истинным на самом деле.

Если я признаю, что я способен ошибаться (даже в отношении того, что представляется мне несомненно истинным), то я не могу с необходимостью утверждать и истинность G(F), и, таким образом, вышеупомянутый парадокс снимается.

Как следует относиться к данному аргументу? С одной стороны, сомнения в непогрешимости человеческого ума представляются вполне законными и естественными. Однако, с другой стороны, предположение о погрешимости нашего мышления предполагает существование некоего способа убедиться в этом. Однако, установить погрешимость человеческого разума можно лишь опять-таки с помощью человеческого разума. Может ли человеческое мышление само себя уличить в наличии неких систематических, принципиально неисправимых ошибок? Если да, то оно также должно быть способно эти ошибки исправить и, следовательно, способно мыслить безошибочно. Если нет, то нет и критерия с помощью которого было бы возможно уличить наш ум в некой неправильности, наличии принципиальных ошибок. Истина и ложь предполагают друг друга. Если нет истины, а есть только ложь, то ложь - это и есть истина . Если мышление содержит неустранимые ошибки, которые принципиально невозможно обнаружить, то его с необходимостью следует считать безошибочным.

Таким образом, естественно постулировать, что человеческое мышление, как таковое, по своей собственной природе непогрешимо. Погрешности же возникают за счет случайных, привнесенных факторов и могут быть всегда устранены. С этой точки зрения Р. Пенроуз прав утверждая сущностную непогрешимость человеческого мышления в качестве априорной истины (11).

Чалмерс, однако, утверждает, что само понятие о мыслящей системе, способной достоверно знать о собственной непогрешимости, внутренне противоречиво, причем этот вывод, по его мнению, не зависит от внутренней природы рассматриваемой системы. Он даже пытается это формально доказать, используя метод, подобный методу доказательства теоремы Геделя о неполноте формальных систем.

Пусть имеется некая мыслящая система А, которая является непогрешимой и имеет достоверное (т.е. необходимо истинное) знание о собственной непогрешимости. Рассмотрим теперь утверждение G, высказываемое данной системой, содержательно означающее "я не верю в G". Система А знает, что если она верит в G, то она не является непогрешимой, поскольку в этом случае она верит в ложное высказывание. Так что если она верит в собственную непогрешимость, то она не должна верить в G. Но это говорит о том, что если система А непогрешима, то G - истинное высказывание. Но, предположим, что она знает, что она непоргешима, следовательно, она знает, что G - истинно (т.е. она верит в истинность G). Но в таком случае А оказывается не непогрешимой. Таким образом, мы получаем противоречие.

Нам представляется, однако, что человек (рассматриваемый в качестве системы А) на практике избегает в этой ситуации противоречия, сохраняя веру в собственную принципиальную непогрешимость и, одновременно, зная об истинности высказывания G, за счет того, что он способен дистанцироваться от самого себя и взглянуть на ситуацию "извне", с точки зрения "внешнего наблюдателя". Иными словами, я - которое верит в G, и я, которое верит в собственную непогрешимость - это одновременно одно и то же и не одно и то же я. Наше "Я" способно "раздваиваться", "выходить из себя" в акте рефлексии, оставаясь, при этом, одновременно и "в самом себе". Таким образом человеческий ум способен совмещать в себе несовместимые логически истины не становясь при этом противоречивым. Если бы это было не так, то мы должны были бы признать уже неразрешимость для человека высказываний типа "я не могу доказать данное утверждение". Однако, как уже отмечалось, истинность этого высказывания для всякого разумного человека вполне очевидна - иначе не возможно было бы само понимание смысла геделевской теоремы о неполноте.

На наш взгляд, значимость геделевского аргумента зависит лишь от реальной непротиворечивости (или противоречивости) человеческого интеллекта. Если он реально непротиворечив, то вера в собственную непогрешимость (в принципе) ничем не может быть поколеблена, так как поколебать ее могут только внутренние противоречия. Никакой "внешний авторитет", который мог бы указать человеческому уму его неисправимые ошибки не существует и, следовательно, идея "погрешимой непротиворечивости" человеческого ума не имеет никакого смысла.

Погрешимость человеческого ума может означать лишь, что содержательная истинность не совпадает с истинностью, определяемой посредством человеческого ума. Но содержательная истинность - это и есть истинность, установленная с помощью человеческого ума. Если же человеческий ум противоречив, т.е. способен вывести истинность А и не-А одновременно, то вступают в силу аргументы из предыдущего пункта. Эти аргументы, конечно, не являются строго доказательными, но они показывают, что гипотеза о противоречивом характере человеческого ума представляется малоправдоподобной. По крайней мере, она гораздо хуже объясняет реальное положение дел, чем противоположная гипотеза о непротиворечивом характере нашего ума.

7. Другой способ "тривиализации" геделевского аргумента заключается в указании на то, что человеческий интеллект - это открытая (и, следовательно, неформализуемая) система и, таким образом, теорема Геделя, имеющая отношение лишь к формальным системам, к человеческому интеллекту неприложима.

Открытость человеческого интеллекта можно понимать как способность человека время от времени модифицировать алгоритм, лежащий в основе его интеллектуальной деятельности - под влиянием той информации, которую человек получает из окружающей среды в процессе жизнедеятельности.

Выше мы отмечали, что необходимым признаком формальной системы является "смысловая замкнутость" - запрет на всякого рода "трансцендирование" за пределы заданного формализма, всякого рода заимствования извне. Человек, в силу того, что он способен обучаться и, следовательно, способен изменять правила, которым подчинено его мышление - не обладает "смысловой замкнутостью" и, таким образом, не является формальной системой.

Именно в "открытом" характере человеческого мышления можно усмотреть существенное различие между человеком и машиной. Человек имеет в данном случае преимущество перед машиной в том, что он способен развиваться, гибко менять свои "алгоритмы" в соответствие с изменениями, происходящими в окружающем мире. Однако это различие было бы сведено к нулю, если бы удалось создать машину, способную к обучению.

Следовательно, различие между человеком и машиной не является в этом случае принципиальным и неустранимым и является лишь следствием несовершенства существующих машин.

С нашей точки зрения "открытость" человеческого интеллекта (в описанном смысле) отнюдь не влечет невозможности представить его в виде формальной системы и, следовательно, не выводит человека за пределы сферы действия теоремы Геделя.

Прежде всего, отметим, что модификация предполагаемого "алгоритма интеллекта" посредством обучения - это достаточно постепенный, медленный процесс. Следовательно, если мы рассматриваем человеческий интеллект на достаточно малом временном интервале (порядка нескольких минут или часов), то его приближенно можно рассматривать как нечто тождественное себе, неизменное. Если, при этом, интеллектуальная деятельность человека подчинена какому-либо набору жестких правил (алгоритму), то мы вполне можем на этом малом промежутке времени рассматривать человеческий интеллект как формальную систему, к которой приложимы ограничения, вытекающие из теоремы Геделя о неполноте формальных систем.

Для того, чтобы распознать истинность геделевских предложений не нужно много времени. По крайней мере, гораздо меньше, чем требуется для сколь-нибудь значительной модификации нашего интеллекта. Таким образом, если человек и преодолевает ограничения, вытекающие из теоремы Геделя и способен всегда распознавать истинность геделевских предложений, то эта его способность, очевидно, никак не связана с его способностью к обучению.

Далее, система способная модифицировать алгоритмы собственной деятельности, вполне может быть представлена как формальная система, по крайней мере, при выполнении следующих условий:

1. Модификация "алгоритма мышления" осуществляется в соответствие с неким стабильным, неизменным "алгоритмом модификации", т.е. если модификация представляет собой некий "правилосообразный" процесс.

2. Можно (в принципе) заранее предвидеть все возможные варианты воздействий внешней среды на данную систему.

Если человеческий мозг - это своего рода "машина", действующая в соответствие с какой-либо системой правил (т.е. это принципиально "познаваемая" машина), то, очевидно, первое условие выполняется. Хотя "алгоритм", в соответствие с которым функционирует наш мозг, подвержен изменениям, тем не менее характер этих изменений определяется "конструкцией" мозга (и, таким образом - принципиально предсказуем).

Выполнимость для человека второго условия вытекает из того факта, что человек имеет контакт с внешнем миром лишь опосредованно - через посредство органов чувств. В силу дискретного характера нервного импульса, ограниченности числа афферентных нервных волокон, конечного числа чувственных рецепторов, ограниченности времени жизни человека - число всевозможных конфигураций сенсорных "входов" нашего мозга конечно. Следовательно, все возможные конфигурации "входов", которые способны модифицировать "алгоритм" нашего мышления, восприятия и прочих психических процессов, в принципе вполне можно заранее предвидеть.

В сочетании первое и второе условие делают возможным предусмотреть все возможные варианты модификации "алгоритма" психической деятельности. Но в таком случае система мозг+окружающая среда (данная через посредство органов чувств) вполне может рассматриваться как формальная система - поскольку все ее действия можно рассматривать как подчиненные определенным правилам и в целом система обладает свойством логической замкнутости.

Единственный неконтролируемый фактор, в этом случае, - это последовательность в которой мозг получает те или иные конфигурации сенсорных сигналов на "входе". Однако с такого рода неопределенностью сталкивается любой алгоритм - поскольку заранее не известно в какой последовательности ему предстоит обрабатывать предъявляемые на входе конфигурации символов, входящих в область определения данного алгоритма.

Таким образом "открытость" не является принципиальным препятствием к тому, чтобы рассматривать психику человека (в совокупности с "внешней средой") как фиксированную формальную систему.

Но в таком случае для этой системы можно построить геделевские предложения, которые будут содержательно истинными но, тем не менее, в рамках любой из возможных модификаций данной формальной системы, не могут быть распознаны как истинные или ложные.

Следовательно, "открытость" человеческой психики не дает человеку каких-либо принципиальных преимуществ перед машиной, не позволяет рассматривать психику как нечто принципиально неформализуемое, не выводит человеческий ум за пределы сферы действия теоремы Геделя о неполноте формальных систем.

8. Можно усомниться не только в том, что человек является принципиально формализуемой системой, но и в том, что "механизм" психической деятельности можно рассматривать в качестве дедуктивной системы. С этой точки зрения, разница между человеком и машиной оказывается также непринципиальной. Например, Ф. Джордж пишет: "Необходимо упомянуть мнение некоторых авторов, согласно которым этот факт (т.е. принципиальная неполнота формальных систем - И.Е.) ограничивает возможности ЭВМ и машин, не делая этого для человеческого мозга. Но это не так, если не сводить вычислительные машины к аксиоматическим системам, а очевидно, что делать это нет причин. Вычислительные машины могут быть запрограммированы таким образом, чтобы делать "прыжки" в логических процессах при проведении индуктивного вывода и использовать вероятностные методы. Итак, мы утверждаем, что результаты Геделя, также как результаты Черча и Тьюринга, не имеют никакого отношения к любым ограничениям, относящимся к машинам и не относящимся к человеческому мозгу; эти ограничения относятся также и к "аксиоматическому мозгу" кто бы его не создавал и какие бы при этом не использовал средства" (12 с.90).

Отметим, однако, что понятие "дедуктивной системы" (исчисления) не предполагает ничего иного, кроме наличия каких-либо неизменных, четко определенных правил переработки одной совокупности символов (объектов) в другую. Сами эти правила могут быть произвольными. Как уже отмечалось, любой алгоритм - есть разновидность дедуктивной системы - это дедуктивная система, в которой установлен строгий порядок вывода "теорем".

С этой точки зрения любой алгоритм - есть разновидность аксиоматической системы. "Логические прыжки", о которых говорит Джордж, - следует, видимо, понимать как включение в дедуктивную систему правил, противоречащих законам логики. Но такая система неизбежно внутренне противоречива (по крайней мере, если нарушается закон тождества или закон противоречия) и т.о. вступают в действия возражения, сформулированные нами в пункте 6.

Несколько сложнее обстоит дело в том случае, когда неприменимость теоремы Геделя связывается с наличием элемента случайности. Всякая подлинно случайная последовательность, очевидно, алгоритмически невычислима. По существу, невозможность алгоритмической имитации процесса порождения данной последовательности - и есть подлинный критерий ее случайности. Система, которая содержит в себе элемент подлинной случайности, также может рассматриваться как неформализуемая - поскольку невозможно ее полное и исчерпывающее описание с помощью какого-либо конечного набора правил. Следовательно, действительно к такой системе теорема Геделя неприменима.

Таким образом, можно предположить, что, как человек, так и "мыслящий" компьютер, одинаково способны избежать ограничений, которые вытекают из теоремы Геделя о неполноте формальных систем, при условии, что они содержат в себе некий "генератор случайности" - функциональный элемент, деятельность которого не может быть описана с помощью конечного набора правил, не может быть воспроизведена посредством какого-либо алгоритма - именно в силу случайного характера его функционирования.

С этой точки зрения между человеком и машиной нет какой-либо принципиальной разницы. Вместе с тем, нужно отметить, что включение в вычислительный процесс элемента случайности - (например, в форме случайного выбора следующего вычислительного шага из набора "разрешенных" программой шагов) - хотя и может в некоторых случаях ускорить процесс вычислений (установлено, что вероятностные машины Тьюринга имеют некоторые преимущества в "скорости" перед детерминированными машинами Тьюринга, т.е. способны решать поисковые задачи за меньшее в среднем число шагов), но, тем не менее, это не позволяет хотя бы минимальным образом расширить круг принципиально разрешимых проблем. То, что принципиально неразрешимо для детерминированной машины - остается неразрешимым и для вероятностной.

Заметим, что если ограничиться рассмотрением только математических способностей человека (а только эта часть интеллекта человека имеет отношение к теореме Геделя), то аргумент, основанный на гипотезе наличия "вероятностного" элемента в составе человеческой психики, теряет всякий смысл. Действительно, в своем повседневном поведении человек часто действует спонтанно, случайным образом осуществляя выбор между заданными альтернативами. Однако этого нельзя сказать о математическом мышлении. Математик, который принимает или не принимает доказательство теоремы методом "бросания монеты", представлялся бы нам психически нездоровым. Доказательность математических рассуждений предполагает строгую логическую детерминированность каждого последующего шага. Элемент случайности допускается лишь в процессе поиска решения той или иной математической проблемы. Здесь, как уже отмечалось, случайность может играть конструктивную роль несколько ускоряя поиск решения. Однако принципиальной разницы между детерминированным и недетерминированным поиском не существует. Задачи неразрешимые эффективно с помощью детерминированного поиска, не могут также быть эффективно решены посредством случайных блужданий.

Можно, также, предположить, что случайность может играть позитивную роль и в процессах выдвижения новых математических гипотез. Однако чисто случайное угадывание правильной нетривиальной математической теоремы представляется чем-то весьма маловероятным, граничащим с чудом. Это возможно, видимо, лишь в том случае, если имеется крайне мощный механизм проверки (селекции) подобного рода гипотез. Однако и в этом случае значение элемента случайности можно, видимо, свести к нулю задав определенный, чисто детерминированный порядок порождения такого рода гипотез (при условии, что выбор гипотез осуществляется из некоторой заранее заданной совокупности "всех возможных теорем" данного математического языка или исчисления).

Отметим, что для дедуктивной системы будет невозможно заранее сформулировать геделевские предложения, если система аксиом и правил вывода будет постоянно изменяться случайным образом, т.е. если в эту систему будут непрерывно вноситься заранее непредсказуемые, никакими правилами не ограниченные изменения.

Однако в каждый конкретный момент времени для такой системы будут существовать вполне определенные неразрешимые предложения геделевского типа. Таким образом, система с "флуктуирующим" составом аксиом не будет обладать той универсальной способностью к распознаванию геделевских предложений, которую мы приписываем человеческому интеллекту.

Такой способностью могла бы обладать лишь система с бесконечным числом аксиом, при условии, что в это число входили бы все потенциально возможные геделевские предложения и, следовательно, все возможные пополнения ее аксиоматики. Иными словами, множество аксиом данной системы должно совпадать с универсумом математических рассуждений (Канторовским "Абсолютом" - множеством всех множеств). Ни одна реальная "машинная" система не способна обладать "бесконечной" аксиоматикой (т.к. не возможна бесконечная по числу символов программа, описывающая алгоритм данной системы). Поэтому любая "машинная" система принципиально не полна (пополнима).

Однако, человеческий интеллект, видимо, вполне способен потенциально содержать в себе "универсум математических рассуждений" - поскольку это и есть универсум всех возможных "человеческих" математических рассуждений (если только не считать этот универсум неким "псевдопонятием", не имеющим никакого позитивного содержания).

Итак, введя в систему искусственного интеллекта элемент случайности мы можем сделать ее "неформальной" и, таким образом, вывести за пределы действия теоремы Геделя о неполноте формальных систем. Однако это, видимо, не может иметь никакого отношения к математическим способностям искусственного или естественного интеллекта и не позволит системе, содержащей в себе элемент случайности, решать алгоритмически неразрешимые проблемы и, в частности, распознавать истинность любых геделевских предложений (хотя такая система в некотором смысле будет "алгоритмически невоспроизводимой", поскольку невозможно будет предсказывать каким-либо регулярным, правилосообразным способом, что она сделает в следующий момент времени).

9. Наиболее значительный довод против геделевского аргумента заключается, с нашей точки зрения, в том, что человек - это конечное существо и поэтому к нему неприменимо понятие алгоритмической невычислимости (см. также аналогичную аргументацию в (6) ). Действительно, алгоритмически невычислимыми (с точки зрения теории алгоритмов) могут быть лишь такие функции, область определения которых - бесконечное множество. Любая функция, область определения которой конечно, алгоритмически вычислима.

Если количество различных вариантов отображения одного множество в другое конечно, то все эти варианты можно, в принципе, перечислить. Один из этих вариантов, по существу, и будет представлять собой "алгоритм" вычисления интересующей нас функции (записанный в виде "функциональной таблицы", сопоставляющей каждому возможному "входу" соответствующий ему "выход"). Человек - это система с конечным числом возможных "входов" и "выходов". "Входы" в данном случае - это возможные конфигурации нервных импульсов, которые могут быть переданы в мозг от органов чувств. "Выходы" - это возможные (т.е. допустимые) действия (моторные акты) человека в ответ на ту или иную конфигурацию нервных импульсов на "входе".

Ясно, что объем сенсорной информации, которую наши органы чувств могут передать за конечное время в мозг, конечен. Следовательно, число возможных конфигураций нервных сигналов на "входе" также конечно (хотя и астрономически велико). Поскольку продолжительность жизни человека имеет верхний предел, то конечно и количество всевозможных последовательностей конфигураций нервных сигналов, которые может получить наш мозг на протяжении всей нашей жизни от всех органов чувств. Также конечно и число возможных реакций человека на эти возможные последовательности конфигураций сенсорных сигналов.

Таким образом, функция сознания, которая символически может быть представлена в виде:

{S0, S1,...,Sn}Rn

где Si - конфигурация сенсорного входа в момент i; S0 - конфигурация сенсорного входа в момент рождения; Ri - реакция (действие) субъекта в момент i; - может рассматриваться как отображение одного конечного множество в другое конечное множество. Но в таком случае принципиально возможно составить "таблицу", в которой бы перечислялись все возможные последовательности конфигураций сенсорных сигналов на входе:

{S0, S1,...,Sn}j и все возможные реакции на каждую из этих последовательностей {Ri}j.

Некоторый избранный фрагмент данной таблицы, изображающий "правильные" (т.е. "человеческие") реакции на ту или иную последовательность конфигураций сенсорных сигналов, будет представлять собой "программу" для системы искусственного интеллекта. Эти "программа" позволила бы подчиненному ей алгоритмическому устройству "в среднем" вести себя приблизительно таким же образом, каким ведет себя в сходных ситуациях человек (при учете предыстории каждой конкретной ситуации). Данная программа, в принципе, может быть построена путем последовательного отбора (селекции) тех элементов таблицы {S0, S1,...,Sn}Rn, которые соответствуют типично человеческому поведению в ситуации Sn, имеющей предисторию S0, S1,...,Sn-1. Эту селекцию, в принципе, могли бы осуществить некие люди-эксперты, специально нанятые для сортировки элементов таблицы.

Конечно, реально, физически такую "сортировку" осуществить невозможно - для этого потребовалось бы, вероятно, использовать все вещество Вселенной и временные интервалы, превосходящие длительность существования Вселенной. Но нас в данном случае интересует лишь принципиальная (т.е. в предположении наличия неограниченных материальных, энергетических и временных ресурсов), а не физическая осуществимость - поскольку именно такая принципиальная осуществимость и имеется в виду в теории алгоритмов. В этой теории учитывается лишь такая невычислимость, которая обусловлена принципиальными причинами - а именно, логической противоречивостью идеи существования того или иного алгоритма, а отнюдь не "физическая" невычислимость, обусловленная ограниченностью ресурсов.

Отсюда следует важный вывод: если окажется, что построить машину, выдерживающую "тест Тьюринга", невозможно, то эта невозможность будет проистекает не из каких-то принципиальных логических ограничений, не из теоремы Геделя о неполноте и не из алгоритмической невычислимости функции сознания, - а будет проистекать из некоторых физических ограничений ("нехватки ресурсов"). Иными словами, в этом случае нужно будет говорить не об "алгоритмической невычислимости", а о "физической невычислимости" функции сознания для любого алгоритмического устройства (мозг, при этом, не включается в число "алгоритмических устройств").

Однако отсюда, строго говоря, не следует, что функция сознания в целом является алгоритмически вычислимой. В самом деле, любой конечный фрагмент алгоритмически невычислимой функции, очевидно, представляет некоторую алгоритмически вычислимую функцию. Поэтому "вычислимый", алгоритмически имитируемый фрагмент функции сознания - ограниченный рамками конечной человеческой жизни, - может быть фрагментом некой "глобальной" алгоритмически невычислимой функции, не ограниченной какими-либо временными рамками.

Таким образом, мы не можем, исходя из факта конечности человека, утверждать, что человеческий интеллект, как таковой, подчинен какому-либо алгоритму (конечному набору правил). Речь идет лишь о том, какой смысл можно придать этому гипотетическому свойству невычислимости. Из сказанного можно сделать вывод, что принципиальная разница между человеком и машиной, если она действительно существует, может проявляться только на бесконечно больших временных интервалах. Иными словами, это может означать, что невозможно создать такую систему искусственного интеллекта, которая действовала как человек неограниченно долго, на сколь угодно больших временных интервалах. Но, еще раз подчеркнем, в силу конечности человека, ни теорема Геделя о неполноте формальных систем, ни какие-либо другие доводы в пользу "невычислимости" функции сознания, не накладывают принципиального запрета на создание алгоритмического устройства, способного имитировать человеческое поведение сколь угодно успешно на любых конечных временных интервалах.

Нужно, однако, заметить, что хотя алгоритмическая невычислимость не препятствует сама по себе созданию эффективного компьютерного "аналога" человеческого интеллекта, тем не менее описанный выше "метод" построения "алгоритма сознания" путем селекции элементов описанной "функциональной таблицы" не может дать положительных результатов в том случае, если мы попытаемся создать алгоритмическую модель не "интеллекта вообще", а модель какой-либо конкретной личности. Действительно, для того, чтобы построить "функциональную таблицу" для конкретной личности, необходимо выяснить как она, эта личность, будет вести себя в той или иной ситуации, учитывая при этом все возможные варианты "предисторий" для каждой мыслимой ситуации (т.е. учитывая все возможные последовательности конфигураций сенсорных сигналов, предшествующие данному моменту времени). Но для этого необходимо каждый раз "стирать" всю память субъекта и "заполнять" ее каким-либо новым содержанием - многократно возвращая, таким образом, личность к моменту рождения. Нет, однако, никаких гарантий, что такого рода "манипуляции" с человеческой психикой совместимы с сохранением индивидуального "Я", личности данного человека. Т.е, иными словами, мы не можем гарантировать, что имеем в этом случае дело все время с одной и той же личностью.

Невозможно, также, составить "функциональную таблицу" для конкретной личности и методом "экспертных оценок". По существу, поведение конкретной личности во многих жизненных ситуациях принципиально непредсказуемо - нередко даже для самой этой личности.

Таким образом, хотя "интеллект вообще" в принципе поддается имитации (по крайней мере на конечных временных интервалах), но конкретная личность (личность Пушкина, Толстого, например), видимо, имитирована быть не может.

Конечно, среди множества всевозможных таблиц вида {S0, S1,...,Sn}Rn наверняка существуют таблицы, совпадающие ("пост фактум") с описанием "жизненного пути" той или иной конкретной личности. Однако, эти таблицы совершенно бесполезны на практике - их нельзя использовать в качестве "программы" для искусственного интеллекта - поскольку любое малейшее отклонение от заданного "жизненного пути" сделает систему искусственного интеллекта совершенно беспомощной, не способный принять какое-либо разумное решение.

Учитывая сказанное, можно утверждать весьма вероятную "невычислимость" функции индивидуального сознания - даже если оно рассматривается на конечном интервале времени. Нельзя построить компьютер, который воспроизводил бы личность Пушкина или Толстого, но допустимо предполагать возможность создания компьютера, способного действовать подобно "какому-либо" человеку.

Но здесь нужно заметить, что даже в том случае, когда область определения и область значений функции - это конечные множества, существуют ситуации, когда функция может все же рассматриваться как "алгоритмически невычислимая". Эти те случаи, когда задача нахождения значения данной функции либо недоопределена (отсутствуют некоторые данные, необходимые для решения этой задачи), либо когда условия задачи внутренне противоречивы.

Если предположить, что человек способен решать недоопределенные или противоречиво сформулированные задачи (путем, например, привлечения какой-либо дополнительной информации, которая доопределяет задачу или снимает противоречия), - то, в этом случае, очевидно, никакая алгоритмическая имитация сознания, даже на конечных временных интервалах, будет невозможной.

Представим себе, например, что человек способен с достаточно большой вероятностью "угадывать" ближайшее будущее (включая и чисто случайные события). Ясно, что такого рода "дар ясновидения" не может быть воспроизведен с помощью какого-либо алгоритмического устройства. Задача компьютерной имитации сознания, даже на конечном интервале, в этом случае принципиально неразрешима.

Такая постановка проблемы "вычислимости" функции сознания тесно связана с вопросом о существовании так называемых "экстрасенсорных способностей" человека. Ясно, что способностьь получать какую-либо дополнительную информацию об окружающем мире помимо органов чувств, особенно в том случае, если эта информация вообще не может быть получена каким-либо технически воспроизводимым способом (например, получение информации о будущем), исключает возможность компьютерной имитации человеческого сознания.

Однако все это может иметь значение для рассматриваемой нами проблемы "вычислимости" функции сознания лишь в том случае, если такого рода "экстра" способности не являются чем-то исключительным, присущим лишь отдельным, выдающимся индивидам, а являются существенной и необходимой компонентой нормальной работы человеческой психики.

Можно, например, предположить, что некоторые типичные задачи, успешно решаемые человеком, по своему характеру являются недоопределенными и требуется некая дополнительная априорная "экстрасенсорная" информация, для того, чтобы эти задачи могли быть эффективно решены.

Например, обычная задача зрительного восприятия того или иного предмета - с физической точки зрения - есть "обратная задача рассеивания", т.е. задача восстановления структуры и формы рассеивающего свет предмета по результату этого рассеивания - структуре пучка рассеянного света. Такого рода задачи относятся к классу "некорректно поставленных" задач - для решения которых, как правило, требуется привлечение априорной информации о характере объекта, рассеивающего излучение.

Полагают обычно, что такого рода информацию наш мозг извлекает из памяти, из прошлого опыта. Однако, не исключено, что какая-то часть необходимой априорной информации черпается человеком их каких-то "экстрасенсорных" источников, принципиально недоступных машине. (Кто-то или что-то "подсказывает" нам с какого рода объектом мы в данный момент имеет дело). Если это так, то функция человеческого восприятия была бы "алгоритмически невычислимой".

Конечно, такого рода предположения о наличии неких "экстрасенсорных" составляющих обычного человеческого восприятия или мышления выглядят весьма фантастично. Однако полностью отбрасывать такую возможность тоже не стоит. По крайней мере, этот вопрос требует дальнейшего научного исследования. Положительное решение этого вопроса дало бы нам весьма эффективное решение проблемы "вычислимости" функции сознания.

Итак, мы рассмотрели основные возражения против "геделевского аргумента" и гипотезы о "невычислимости" функции сознания и выяснили, что ни одно из этих возражений не является в достаточной степени убедительным для того чтобы решительно отвергнуть данный аргумент. Хотя, с другой стороны, данный аргумент нельзя считать и строго доказанным. (Более того, мы видели, что данный аргумент в принципе эмпирически недоказуем).

Один из наиболее важных выводов заключается в том, что тезис об алгоритмической невычислимости функции сознания, по сути, не является синонимом запрета на компьютерную имитацию человеческого интеллекта на конечных временных интервалах.

Единственное практически важное следствие, которое можно получить из "геделевского аргумента", - это вывод о принципиальной непознаваемости механизмов психической деятельности человека - в случае, если "геделевский аргумент" является истинным. Это следствие позволяет рассматривать гипотезу "невычислимости" как "нормальную" научную гипотезу, которая хотя и не может быть доказана, но, тем не менее, может быть опровергнута (фальсифицирована).

Как уже отмечалось, это следствие влечет далеко идущие выводы. В частности, отсюда вытекает неудовлетворительность обычной "нейрофизиологической" модели функционирования человеческого мозга (поскольку эта модель предполагает принципиальную познаваемость нервных механизмов психических процессов).

Это очень сильный вывод. Поэтому было бы желательно обосновать гипотезу "невычислимости" с помощью каких-либо дополнительных доводов, отличных от "геделевского аргумента". Поскольку эти аргументы имеют преимущественно философский характер, мы назовем их "метафизическими аргументами". Эти "метафизические аргументы" мы рассмотрим в следующем разделе нашей работы.

Литература:

1. Криницкий И.А. Алгоритмы вокруг нас. М, 1984.

2. McCullough D. Can Humans Escape Godel? // PSYCHE, 1995, 2(4).

3.Chalmers D.J. Mind, Machines, and Mathematics // PSYCHE, 1995, 2(9).

4. Moravec H. Roger Penrose's Gravitonic Brains // PSYCHE, 1995, 2 (6).

5. McDermott D. Penrose is Wrong // PSYCHE, 1995, 2 (2).

6. Maudlin T. Between the Motion and the Act // PSYCHE, 1995, 2(2)

7. Baars B.J. Can Physics Provide a Theory of consciosness? // PSYCHE, 1995, 2 (8).

8. Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М., 1987.

9. Соловьев В.С. Критика отвлеченных начал // Сочинения.Т.1. М., 1990.

10. Антипенко Л.Г. Проблема неполноты теории и ее гносеологическое значение. М., 1986.

11. Penrose R. Shadows of the Mind. L., 1993.

12. Джордж Ф. Основы кибернетики. М., 1984.


3. "МЕТАФИЗИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ" ПРОБЛЕМЫ ВЫЧИСЛИМОСТИ ФУНКЦИИ СОЗНАНИЯ.

Прежде всего, попытаемся выяснить философский смысл гипотезы "невычислимости" функции сознания. Напомним, что возможны два различных понимания смысла этой гипотезы. Во-первых, эту гипотезу можно понимать как предположение о невозможности практического создания алгоритмического устройства, способного успешно имитировать функцию человеческого сознания. Как мы видели в предыдущем разделе работы, в силу конечности человека во времени, алгоритмическая имитация сознания на конечных временных интервалах принципиально возможна. По крайней мере, ни теорема Геделя о неполноте формальных систем, ни гипотеза алгоритмической невычислимости функции сознания, сами по себе не исключают возможность создания машины, выдерживающей тест Тьюринга на "разумность". Следовательно, в этом случае можно говорить лишь о "физической невычислимости" - как о возможной причине, препятствующей практическому созданию "искусственного интеллекта" равноценного человеческому интеллекту. Иными словами, причина невозможности машинной имитации функции сознания человека может проистекать лишь из каких-либо чисто физических ограничений, накладываемых, например, на скорость осуществления вычислительных процессов или на объем доступной машине памяти.

"Физическая невычислимость", конечно, не означает принципиальную невозможность физической реализации функции сознания. Ведь человеческий мозг - это тоже физическая система и она, очевидно, способна выполнять такого рода функцию. Речь идет лишь о невозможности имитировать функцию сознания с помощью какого-либо "алгоритмического устройства", т.е. физической системы, деятельность которой можно описать путем задания конечного набора правил. Причем эта невозможность проистекает не из каких-либо ограничений, связанных с математической логикой, теоремой Геделя и т.п., а проистекает из неких гипотетических физических ограничений, которые присущи любым "алгоритмическим системам", но не приложимы к человеческому мозгу (который, в таком случае, не может рассматриваться как "алгоритмическая система").

Во-вторых, данный тезис можно понимать как утверждение о том, что человек способен эффективно решать алгоритмически неразрешимые проблемы и, следовательно, его интеллектуальные возможности качественно превосходят любой мыслимый "машинный интеллект". Однако и в этом случае возникают проблемы, обусловленные конечной природой человека.

Даже если я на практике способен продемонстрировать способность, например, решать: остановится или нет на заданном "входе" произвольный предъявленный мне алгоритм, я, тем не менее, не смогу доказать, что действительно способен эффективно решать любые проблемы такого рода - поскольку я смогу практически продемонстрировать способность решать лишь некоторое ограниченное подмножество задач, входящих в состав данной массовой алгоритмически неразрешимой проблемы.

Можно утверждать, что если человек способен на практике эффективно решать задачи, относящиеся к какому-либо классу задач, то можно, в принципе, создать машину, которая была бы также способна решать любые практически значимые задачи данного класса. Действительно, для любого (конечного или бесконечного) класса задач можно указать предельную "размерность" задачи (определяемую, например, "длинной фразы", описывающей условия данной задачи), при которой задача еще сохраняет свою практическую значимость.

Например, ясно, что задача, для описания условий которой потребуется порядка 102000 знаков никакого практического значения иметь не может - поскольку человек просто не успеет в течение своей жизни ознакомиться с условиями данной задачи. Поэтому любой бесконечный класс проблем всегда можно свести к конечному классу "практически значимых" проблем. Но в этом случае существует простой "рецепт" составления такой компьютерной "программы", которая позволила бы машине успешно решать любые проблемы из данного класса (при условии, что человек способен эффективно решать любые из этих проблем). Нужно просто последовательно предъявлять человеку практически значимые проблемы, относящиеся к данному классу, и записывать найденные им решения. По исчерпании множества задач мы получим "функциональную таблицу", в которой для каждой практически значимой задачи указывается ее решение. Эта "таблица" и будет выполнять роль алгоритма для нашей машины.

Конечно, практически построить такую "функциональную таблицу" для сколь-нибудь нетривиальных практически значимых задач не представляется возможным. Однако эта невозможность будет проистекать из "ограниченности ресурсов", т.е. из каких-либо физических причин и никак не связана логическими запретами, проистекающими из теории алгоритмов.

Таким образом, мы видим, что и в этом случае "алгоритмическая невычислимость" сводится на практике к "физической невычислимости". Только физические ограничения, накладываемые на вычислительные процессы, имеют практическое значение и могут быть действительными препятствиями на пути создания "умных" машин.

Единственный эмпирически верифицируемый результат, вытекающий из гипотезы "алгоритмической невычислимости" функции сознания, как мы видели, - это вывод о непознаваемости механизмов человеческой психики. (Знание этих механизмов позволило бы установить "алгоритм" психической деятельности и, таким образом, исключало бы саму возможность постановки вопроса о "невычислимости" функции сознания).

Все это показывает, что мы должны относиться к гипотезе "алгоритмической невычислимости функции сознания" как к философской, "метафизической" гипотезе, которая может быть верифицирована лишь косвенным образом. Такого рода гипотезы полезны лишь в силу того, что из них можно вывести какие-либо эмпирически проверяемые следствия.

Для того, чтобы получить такие следствия и продвинуться далее в понимании смысла гипотезы "невычислимости" функции сознания, полезно задаться вопросом: при каких вообще условиях эта гипотеза может соответствовать действительности. В частности, какими конкретно свойствами должен обладать наш "психический аппарат" для того, чтобы его функцию можно было бы характеризовать как "алгоритмически невычислимую".

Прежде всего, алгоритмическая невычислимость функции сознания предполагает невозможность алгоритмической имитации работы человеческого мозга. Сразу же возникает вопрос: каким же образом это возможно? Какими свойствами должна обладать материальная система для того, чтобы ее способ функционирования невозможно было бы описать с помощью некоторого конечного набора правил? Ясно, что такая система должна быть "неформальной", т.е. не должна допускать четкого, однозначного, конечного и исчерпывающего описания собственного устройства и характера функционирования. По существу, "неформализуемость" является синонимом "неопределенности". Принципиально неформализуемой может быть лишь система, которую можно охарактеризовать как "объективно неопределенную" или как "неопределенную по существу". Это означает, что неопределенность в данном случае не есть следствие нашей неспособности выяснить структуру и свойства данной системы, не есть следствие нашего незнания. Напротив, неопределенность здесь - есть свойство самой системы. Она неопределенна сама по себе, в ней нечего определять. Все это предполагает существование особого рода "неопределенного бытия" - "сущей неопределенности".

Идея существования "объективно неопределенных" объектов не является чем-то совершенно невероятным. Соотношения неопределенностей в квантовой механике, а также квантовомеханический принцип суперпозиции - убедительно показывают, что природе отнюдь не чужда "объективная неопределенность", природа не обязана состоять из определенных в себе объектов.

Однако "объективная неопределенность" еще не дает нам решение главной проблемы: как возможна система, способная решать алгоритмически неразрешимые проблемы?

Неопределенность непосредственно ассоциируется со случайностью. Случайность - это как бы "внешнее", непосредственно наблюдаемое проявление неопределенности. Мы уже отмечали выше, что наличие в системе подлинно случайного элемента делает ее неформализуемой. Однако использование случайности не создает возможности решения алгоритмически неразрешимых проблем. Если различие человека и машины заключается лишь в том, что человек время от времени действует спонтанно, недетерминированно, а машина строго придерживается неизменных правил, то, в таком случае, мы легко можем сравнять машину с человеком встроив в нее "генератор случайных чисел" и разрешив ей время от времени "подбрасывать монету" и действовать случайным образом.

Попытаемся представить себе, что же в действительности может представлять собой система, практически способная решать какие-либо алгоритмически неразрешимые проблемы, например, система, способная распознавать истинность любых геделевских предложений.

Мы отмечали выше, что любое геделевское предложение можно сделать распознаваемым, если включить его в состав аксиом рассматриваемой формальной системы. Ограничения для формальных систем вытекают из невозможности создания такой системы, которая могла бы содержать в составе своей аксиоматики любые мыслимые геделевские предложения. Такая система обладала бы бесконечным набором аксиом, причем таким бесконечным набором аксиом, что его невозможно каким-либо образом пополнить, так что любое мыслимое геделевское предложение уже заранее должно было бы содержаться в данном множестве аксиом.

Ясно, что любая алгоритмически неразрешимая проблема будет разрешимой для системы с бесконечным множеством аксиом, при условии, что в число аксиом входит бесконечная "функциональная таблица", которая каждому аргументу данной невычислимой функции сопоставляет ее значение.

Можно представить себе некую "суперсистему", которая включает в состав своей аксиоматики все мыслимые (бесконечные) "функциональные таблицы", содержащие в себе решения любых мыслимых алгоритмически неразрешимых проблем. Такая "суперсистема", очевидно, будет с необходимостью содержаться в составе "универсальной" системы, которую можно представить себе как бесконечное множество всех возможных бесконечных и конечных "функциональных таблиц" - соответствующих любым возможным вычислимым и невычислимым функциям.

Поскольку "универсальная система" будет содержать в себе все мыслимые функциональные таблицы, среди них наверняка найдутся и такие (бесконечные) таблицы, в которых содержится правильное решение любой осмысленной алгоритмически неразрешимой проблемы.

Конечно, необходимо еще указать некий эффективный метод, с помощью которого можно было бы установить, какая именно бесконечная "функциональная таблица" соответствует той или иной конкретной алгоритмически неразрешимой проблеме. Следовательно,"суперсистема" должна обладать бесконечной вычислительной мощностью - для того, чтобы быть способной просматривать бесконечные "столбцы" и "строки" "функциональных таблиц" и находить нужные таблицы, соответствующие поставленной алгоритмически неразрешимой задаче.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что условием способности сознания решать алгоритмически неразрешимые проблемы действительно является "неопределенность" его содержания, но эта неопределенность должна пониматься не как "смутность" или "размытость", а как бесконечность этого содержания. (Всякая определенность предполагает наличие границ, т.е. конечность в том или ином отношении, тогда как "безграничное" - есть нечто само по себе неопределенное).

Наше сознание, если оно действительно обладает способностью решать алгоритмически неразрешимые проблемы, должно быть как бы "подключено" к некому бесконечному "резервуару" знаний, из которого оно может черпать неограниченное множество дополнительных "аксиом". Этот "резервуар", видимо, можно отождествить с "Умопостигаемым Универсумом" (или "Универсумом рассуждений") - всеполнотой мыслимого бытия, - совокупностью всего того, что в принципе (потенциально) возможно помыслить. (Нечто подобное платоновскому "миру идей", "Мировому Уму" Плотина или Абсолюту христианской теологии).

В связи с этим, видимо, недостаточно просто постулировать способность человека решать те или иные конкретные алгоритмически неразрешимые проблемы. Если человеческое сознание подключено к Абсолюту, то это предполагает поистине ничем неограниченные способности (по крайней мере - в потенции). Т.е. следует предположить потенциальную способность человека решать любые алгоритмически неразрешимые проблемы. В этой связи интересно рассуждение Р. Пенроуза о невозможности моделирования человеческого интеллекта даже посредством машины Тьюринга с оракулом. Последняя - есть машина, действующая на основе определенного алгоритма. Но, вместе с тем, эта машина, в отличие от обычной машины Тьюринга, может время от времени подключаться к оракулу - неалгоритмическому устройству, способному выдавать по запросу алгоритма решения той или иной конкретной алгоритмически невычислимой функции для заданных конкретных значений аргумента данной функции. Например, в качестве оракула может выступать устройство, способное для любой программы и входных данных решать проблему остановки.

Пенроуз утверждает, что такая система с оракулом подпадает под определение формальной системы и потому на нее распространяются ограничения, вытекающие из теоремы Геделя о неполноте формальных систем. Действительно, для такой системы можно построить неразрешимое предложение, утверждающее собственную невыводимость из аксиом, в состав которых включается также и оракул. Именно потому, что функция оракула может быть вполне однозначно формально описана - и возникает возможность построения вполне определенного неразрешимого геделевского предложения для данной системы. Таким образом, если мы утверждаем, что человек ускользает от тех ограничений, которые накладывает на формальные системы теорема Геделя, то мы должны постулировать невозможность имитации функции сознания и с помощью любых машин Тьюринга с оракулом (о-машин). Отсюда следует, что душа человека есть не просто нечто бесконечное, но абсолютно бесконечное, содержащее в себе Абсолют - то, выше чего и вне чего помыслить что-либо невозможно.

Поскольку в чувственно воспринимаемом "материальном" мире человек - существо конечное, то из этого следует, что человек имеет также и некую "скрытую", бесконечную сверхчувственную составляющую (тождественную содержательно Абсолюту) - которая является подлинным основанием его сознания. Можно предположить, что наше конечное чувственное бытие - есть частное проявление (актуализация) бесконечного сверхчувственного начала. И именно к этому сверхчувственному началу нашей души и применимо в полной мере условие "алгоритмической невычислимости". (Которое, как мы видели, неприменимо к конечным системам).

Все эти весьма радикальные метафизические выводы, которые до сих пор основывались лишь на анализе теоремы Геделя о неполноте формальных систем, было бы желательно подкрепить какими-либо другими, не связанными с теоремой Геделя, аргументами.

Такие аргументы, на наш взгляд, имеются. Один из этих аргументов связан с понятием о существовании уникального индивидуального "Я". Другой аргумент вытекает из анализа проблемы соотношения функционального, феноменального и субстратного аспектов нашего сознания. Последний аргумент связан, также, с вопросом о возможности достоверных суждений о переживаемых нами субъективных феноменах.

Рассмотрим последовательно эти аргументы. Начнем с того очевидного обстоятельства, что человеческое сознание существует всегда в форме той или иной конкретной единичной индивидуальности, конкретного "Я" - субъекта психической деятельности.

Как бы мы не понимали природу "Я", несомненно, что"Я" есть нечто абсолютно уникальное, существующее лишь в единичном экземпляре. Действительно, предположим, что может существовать "второе Я", т.е. индивид, независимый от меня физически, но, вместе с тем, обладающий тем же самым "Я". Сразу же становится очевидной абсурдность этого предположения. Ясно, что любой физически независимый от меня субъект, будь даже он абсолютно точной моей копией (физической и духовной) - не есть я. В противном случае я должен был бы чувствовать когда его бьют, когда ему хорошо, когда плохо, о чем он думает и т.п.

Итак, "Я", по самой своей природе - как единичная индивидуальность - может существовать лишь в одном экземпляре, есть нечто "неудвоимое".

Эта уникальность, существенная единичность"Я", видимо, и породила понимание "Я" как некой совершенно бессодержательной сущности, находящейся как бы за пределами потока субъективных переживаний. "Я" стали мыслить как некий "чистый взор", как некого "зрителя", перед которым, как в кинофильме, развертывается содержание "потока сознания". (Такое понимание "Я" можно найти уже в Ведах).

В самом деле, если "Я" абсолютно уникально, неудвоимо - то его невозможно отождествить с каким-либо конкретным феноменальным содержанием сознания - с какими-либо образами, ощущениями, представлениями, идеями и т.п. Нередко "Я" пытаются отождествить с личностью или с содержимым памяти субъекта. Однако если память (которая, как полагают, и образует фундамент личности) - это ничто иное, как некоторая конечная совокупность зафиксированных в мозге материальных "записей", то не видно никаких принципиальных препятствий к тому, чтобы скопировать эти записи и каким-то образом перенести их в другой мозг - осуществляя тем самым "копирование" личности.

Но это, очевидно, не приведет к "копированию Я". Отсюда вывод: "Я" не тождественно ни личности, ни совокупной памяти, никакому вообще конечному содержанию - которое может быть, в принципе, скопировано, размножено.

Представление о "бессодержательности" "Я" - как будто решает эту проблему - различая "Я", как "чистый взор" от "содержания", предстоящего этому "Я". Но такая абсолютная бессодержательность "Я" порождает новые трудности. Если "Я" не тождественно какому-либо конкретному содержанию, структуре, информации и т.п., то, спрашивается, как мы вообще можем знать о том, что есть какое-либо "Я"? Как вообще можно знать нечто, полностью лишенное какого-либо положительного содержания?

Представляется очевидным, что знать можно лишь что-то обладающее конкретным содержанием. Отсюда - один шаг до вывода о том, что никакого "Я" вообще не существует. Если "Я" бессодержательно - то оно - не более чем фикция, понятие не наполненное определенным смыслом. (Этот вывод, фактически, был сделан еще Д. Юмом в первой трети 18 века - и этот вывод надолго, по сути, до настоящего времени, заблокировал развитие позитивной философской теории индивидуального "Я").

Избежать столь негативных и противоречащих здравому смыслу выводов в отношении "Я" можно, видимо, лишь признав содержательность "Я". Но тогда мы снова возвращаемся к проблеме "неудвоимости Я". Необходимо, видимо, как-то совместить, с одной стороны, содержательность "Я", а с другой - невозможность "размножения""Я". Совместить эти два условия можно лишь предположив, что наше "Я" (душа) - это некое бесконечное содержание. Только бесконечное содержание принципиально не возможно скопировать и потому только бесконечное содержание может составлять основу нашей уникальной индивидуальности.

Бесконечность содержания нашей "души" - безусловно исключает возможность компьютерной имитации той или иной конкретной личности. Отсюда очевидна полная абсурдность многочисленных в последнее время проектов достижения личного бессмертия путем поэтапного"переселения" конкретной личности в компьютер (1). (Путем, например, постепенного замещения нервной ткани микросхемами).

Ясно, что если бы личность (индивидуальное "Я") можно было бы "перенести" из мозга в компьютер, то ее можно было бы одновременно поместить в нескольких компьютерах, т.е. осуществить "размножение" индивидуального "Я". Это рассуждение наглядно показывает принципиальную невозможность отождествить "Я" с какой-либо конечной информацией, каким либо конечным содержанием, а также с алгоритмически вычислимой функцией.

Возможность алгоритмической имитации функции индивидуальной психики прямо влечет возможность ее "размножения". Следовательно, нужно признать, что такая имитация принципиально не возможно (или же нужно признать полную "бессодержательность" "Я", принципиальное отличие "Я" от "функции сознания", - со всеми вытекающими отсюда негативными последствиями).

Другой аргумент в пользу "невычислимости" функции сознания человека связан с оценкой различных подходов к решению психофизической проблемы - проблемы отношения материи и сознания.

Очевидно, что мозг и сознание тесно взаимосвязаны. Однако характер этой взаимосвязи можно понимать различным образом. Ключевой вопрос здесь: как соотносится феноменальная реальность (мир субъективных переживаний) и физические процессы в мозге. Можно ли, например, утверждать, что между ними имеется взаимно-однозначное соответствие - так что любое субъективное явление - образ, ощущение, смысл и т.д. - можно взаимно однозначным образом сопоставить с определенными физическими процессами в мозге?

Сомнения в наличии такого взаимно однозначного соответствия субъективного и физического проистекают из того факта, что наше знание о собственных субъективных переживаниях опосредовано актами рефлексии, т.е. некими процедурами самоотчета. Мы знаем о своих переживаниях ровно столько, сколько способны сообщить окружающим. Рефлексия - это некоторая конкретная психическая функция и, следовательно, одна из функций нашего мозга. Функции, как правило, обладают в тех или иных пределах инвариантностью по отношению к физическому способу их реализации: одну и ту же функцию (например, функцию обработки информации) можно осуществить самыми различными способами, используя, при этом, самые различные материалы, виды энергии, различные алгоритмы реализации данной функции.

Предположим, что суммарная функция нашего мозга может быть достаточно точно воспроизведена с помощью компьютера. Это означает, что данная функция является инвариантной к способу ее реализации. Но если функция инвариантна по отношению к способу ее реализации, то по характеру функционирования, очевидно, невозможно в точности установить устройство функционирующей системы.

Предположим, что мы научились заменять нервные клетки человеческого мозга функционально эквивалентными устройствами, состоящими, скажем, из кремниевых транзисторов. Тогда можно постепенно заменить нервную ткань мозга некой "искусственной нервной тканью". Если такая замена реально осуществлена, то, спрашивается, сможет ли человек, мозг которого был подвергнут такой операции, заметить, что у него в голове вместо живого мозга - куча транзисторов?

Если "электронный мозг" функционирует в точности так же, как и "живой", то на тождественные вопросы "электронный" мозг и "живой" мозг должны давать тождественные ответы. На вопрос: "чувствуете ли Вы какие-либо изменения в себе, в своем внутреннем мире" человек, подвергнутый операции замены "живого" мозга на "электронный", должен, очевидно, ответить отрицательно. Никаких изменений в себе он заметить не сможет. Это означает, что физические процессы в мозге не представлены (и в принципе не могут быть представлены) на уровне субъективного самоотчета. Иными словами, то, о чем мы говорим, описывая собственные субъективные переживания, это не физические процессы в мозге, а некая инвариантная "функциональная структура". Эта точка зрения известна как "функционализм" или "эмерджентизм".

"Функционализм", на первый взгляд, представляется весьма убедительной теорией. Однако эта концепция вызывает существенные возражения. Один из наиболее известных аргументов против функционализма - это так называемый "аргумент китайской комнаты", придуманный Дж. Сирлом (2).

Отметим, прежде всего, что компьютер представляет собой характерный пример системы, функция которой в широких пределах инвариантна по отношению к способу ее физической реализации. Так, например, транзисторы можно сделать не только из кремния, но и из других материалов (арсенида галлия, сверхпроводников и т.п.). Можно вообразить себе полностью механический или гидравлический компьютер. Способ осуществления вычислений, даже в рамках одной и той же физической конструкции, может широко варьироваться без каких-либо изменений соотношения "вход" - "выход".

Если компьютер можно сделать почти из "чего угодно", то в качестве его главной рабочей детали (процессора) можно использовать, также, и человека. Ясно, что человек легко может выполнять все те операции, которые выполняет компьютер (или, например, машина Тьюринга). Следовательно, человек, с этой точки зрения, является "универсальной вычислительной машиной".

Предположим, что человек, выполняющий функцию вычислительной машины, находится в закрытой комнате и может общаться с внешним миром лишь через окошко. Предположим, также, что "программа" (инструкция), которую он выполняет, - это программа "понимания" китайского языка. Когда через окошко в комнату вводится некоторый текст, написанный по-китайски, "человек-компьютер" обрабатывает данный текст с помощью данных ему инструкций (подобных, например, "функциональным таблицам" машины Тьюринга) и выдает назад в окно получившийся результат.

Если инструкции написаны подобно программе компьютера, т.е. в виде жесткого алгоритма, предписывающего чисто механическое манипулирование с полученными символами, то, очевидно, человек в комнате сможет выполнить все необходимые манипуляции не понимая ни слова по-китайски и вообще не вникая в смысл символов, с которыми он работает. Однако если программа, в соответствии с которой действует "человек-компьютер", - это действительно эффективная программа понимания китайского языка, то на осмысленные вопросы, заданные на китайском языке, человек будет давать также осмысленные ответы по-китайски - даже если он на самом деле не знает ни одного китайского слова!

Таким образом, хотя с точки зрения внешнего наблюдателя человек в "китайской комнате" будет знать китайский язык, поскольку будет осмысленно отвечать на любые вопросы, сформулированные по-китайски, истинное "субъективное" понимание китайского языка в данной ситуации будет полностью отсутствовать.

Программу понимания китайского языка можно заменить, например, программой распознавания образов - и тогда мы получим имитацию процесса зрительного восприятия при отсутствии адекватных зрительных переживаний.

Итак, человек может имитировать функцию компьютера, который, в свою очередь, имитирует те или иные психические функции и при этом данный человек не будет субъективно переживать то, что должен переживать человек, в голове которого протекает соответствующий психический процесс (например, процесс понимания китайского языка или процесс зрительного восприятия).

Отсюда можно сделать вывод, что тождество функций само по себе не гарантирует тождества (или даже хотя бы наличия) субъективных переживаний. Но это означает, что переживания, феноменальный внутренний мир - не является простым коррелятом совокупной функции нашего мозга, а соответствует скорее физическому способу реализации этой функции (или же вообще есть нечто "сферхфизическое" - если мы допускаем дуалистическое решение психофизической проблемы). Следовательно, наличие ощущений, образов, представлений, смыслов, и т.п., конкретный характер переживания всех этих явлений - зависит от того, каким именно образом наш мозг физически (или "сферхфизически") реализует те или иные функции по обработке сенсорной информации, выработке поведенческих решений и т.д.

Все это означает, что утверждение функционалистов об инвариантности психических функций по отношению к способу их реализации в мозге - ошибочно. Способ осуществления психических функций непосредственно отражается на характере субъективных переживаний, сопровождающих тот или иной психический процесс.

Можно даже указать, какая именно составляющая нашего внутреннего мира непосредственно отражает способ реализации психических функций в мозге. Это то, что называют "чувственными качествами". Это такие качества, как цвет, запах, вкус, боль, высота звука и т.д. Возьмем, к примеру, цвет. Цвет как субъективно переживаемое чувственное качество не является свойством самих физических объектов. По существу, цвет - это субъективный способ представления информации о длине электромагнитной волны, падающей на сетчатку глаза. Субъективный характер цветовых ощущений доказывается хотя бы тем, что разные люди по-разному воспринимают цвета, а также тем, что цветовые ощущения можно вызвать непосредственным электрическим раздражением мозга или зрительного нерва. Если мы оденем очки с цветными стеклами - изменится видимый цвет предметов, но это не значит, что изменились сами предметы.

Таким образом, наше знание о цвете - это знание не о самих вещах, а о том, каким образом наш психический механизм кодирует сенсорную информацию - конкретно информацию о длине электромагнитной волны. Мы достоверно знаем, что для этих целей он использует набор качественно различных цветовых ощущений. В принципе, вполне возможны и какие-либо другие способы кодирования информации о длине волны. Например, мы могли бы видеть поверхности, обладающие различной способностью поглощать и отражать электромагнитные волны различной длины, заштрихованными различным образом и т.п.

Однако, если функция нашего мозга обладает свойством инвариантности по отношению к способу ее реализации (а это несомненно так, если возможен полноценный "искусственный интеллект" на базе вычислительных устройств, подобных машине Тьюринга или компьютеру), то совершенно не понятно каким образом мы можем иметь какую-либо информацию о том, каким конкретно способом наш мозг осуществляет ту или иную психическую функцию. По существу в этом случае знание о способе реализации психических функций - именно как достоверное знание - представляется принципиально невозможным.

Здесь мы делаем особый акцент на достоверном характере наших знаний о содержимом собственного внутреннего мира. Интуитивно представляется совершенно невозможным усомниться в истинности собственного рефлексивного самоотчета. Если я вижу перед собой зеленую стену - я не могу усомниться в том, что я в этот момент действительно вижу нечто зеленое. Даже античные скептики, которые сомневались во всем на свете, исключали сомнения в отношении собственных субъективных переживаний. Тимон говорил: "Я сомневаюсь, что мед сладок, но что он кажется сладким - я полностью принимаю".

Мы как бы имеем (в виде особого чувства очевидности) непосредственные, убедительные доказательства подлинности чувственно данной нам "феноменальной реальности". Очевидно, что эта внутренняя самодостоверность, доказательность рефлексии в отношении чувственных качеств невозможна, если функция сознания инвариантна к способу ее физической реализации.

Можно представить себе некий компьютер, который способен описывать свое собственное устройство и алгоритм, которому он подчинен. Однако, эта его "рефлексивная способность" не обеспечивает для него достоверность знаний о его действительном устройстве и действительном алгоритме его деятельности. Можно в широких пределах изменять устройство данного компьютера, изменять его алгоритм - так, что при этом суммарная его функция, включая и функцию "самоописания", останется неизменной. Но в последнем случае "рефлексивный самоотчет" данного компьютера будет ошибочным. Следовательно, этот "самоотчет" и изначально не обладал гарантированной истинностью.

Наше знание собственного внутреннего мира, знание чувственных качеств - которое, как мы установили выше, является знанием о способе обработки сенсорной информации в мозге, интуитивно представляется совершенно достоверным, что несовместимо с предположением о возможности различных способов реализации психических функций.

Одно из двух: либо достоверность нашего самоосознания иллюзорна - и тогда никакое непосредственное, самодостоверное знание в принципе не возможно - и мы погружаемся в "трясину" абсолютного релятивизма, либо достоверное знание существует и, таким образом, ошибочен тезис инвариантности функции сознания по отношению к способу ее реализации. В последнем случае нужно признать, что существует лишь один единственный физический способ реализации данной функции - именно тот способ, который и использует наш мозг. (Поскольку мы не только имеем достоверные знания о собственных переживаниях, но и также знаем, что они действительно достоверны, то одного условия единственности способа реализации психических функций недостаточно. Необходимо также, чтобы субъект имел некие абсолютные гарантии этой единственности. Такую гарантию, очевидно, может дать лишь Бог - так что достоверность самопознания, кроме всего прочего, указывает на непосредственную "божественность" человеческого сознания, его сопричастность самому истоку мироздания).

Итак, если наше самоосознание достоверно, то нужно признать, что существует лишь один единственный способ осуществления функции нашего сознания. Однако, это условие невыполнимо если возможна компьютерная (алгоритмическая) имитация функции сознания. Таким образом, мы приходим к выводу, что условие достоверности самоосознания выполнимо лишь в том случае, если функция сознания в некотором смысле "невычислима", т.е. невоспроизводима с помощью какого-либо "алгоритмического устройства".

Отметим, однако, что в данном случае требование "невычислимости" имеет несколько иной смысл, чем в том случае, когда мы связывали это требование с теоремой Геделя о неполноте формальных систем. Мы уже отмечали, что теорема Геделя и гипотеза алгоритмической невычислимости функции сознания не накладывают, по существу, какого-либо запрета на практическое создание систем искусственного интеллекта. Однако, новые, рассмотренные нами аргументы в пользу "невычислимости" - такой запрет, по существу, предполагают.

Действительно, достоверность рефлексии предполагает практическую невозможность заменить мозг функционально эквивалентным алгоритмическим устройством. Эта практическая невозможность, поскольку она не может быть непосредственно обусловлена алгоритмической невычислимостью функции сознания, может быть обусловлена лишь физическими причинами - ограниченностью ресурсов, характером физических законов и т.п. (Или же, как мы отмечали выше, может быть обусловлена некими "сверхестественными", "экстрасенсорными" свойствами, возможно присущими нормальной человеческой психике).

Итак, мы видим, что единственность способа физической реализации функции сознания - является более сильным требованием, чем алгоритмическая невычислимость данной функции. Заметим, также, что единственность физической реализации функции сознания возможна и при условии, что функция сознания алгоритмически вычислима. Действительно, алгоритмическая вычислимость еще не гарантирует, что соответствующие вычисления реально могут быть осуществлены. На это может не хватить ни времени, ни материальных и энергетических ресурсов. Здесь нужно, также, учитывать, что имитация функции сознания имеет смысл только в том случае, если она осуществляется в реальном масштабе времени.

Можно предположить, что принцип инвариантности функции по отношении к способу ее реализации имеет пределы применимости и его применимость зависит от сложности рассматриваемой функции. Действительно, достаточно простые функции, такие как арифметическое сложение или вычитание, извлечение корня и т.п. можно осуществить самыми различными способами, например, с помощью механического арифмометра, вручную, используя калькулятор, компьютер различной конструкции и т.п. Более сложные задачи, например, решение систем сложных дифференциальных уравнений, - уже арифмометр или калькулятор решить не смогут. Не удастся их решить и вручную - за сколь-нибудь обозримое время. Т.е. чем сложнее функция - тем уже круг физических устройств, с помощью которых данная функция может быть практически реализована. Можно предположить, что при достижении уровня сложности человеческой психики, число "устройств", способных реализовать подобную функцию, сокращается до одного устройства - и таким единственным "устройством" является человеческий мозг.

Поскольку, в соответствии с тезисом Черча, различия между универсальными вычислительными устройствами могут касаться лишь скорости и объема памяти, то можно предположить, что мозг является в некотором роде "предельным" вычислительным "устройством", т.е. относится к классу вычислительных устройств, обладающих максимально возможной "вычислительной мощностью". Иными словами, любое устройство, способное эффективно имитировать функцию мозга, с необходимостью должно быть основано на тех же самых физических (а также структурных и алгоритмических) принципах, которые лежат в основе процессов переработки информации в человеческом мозге.

Таким образом, данная концепция не исключает возможность создания "искусственного интеллекта", но предполагает, что любой "искусственный мозг", равный по своим возможностям человеческому мозгу, должен использовать те же самые физические и структурные принципы, что и мозг естественный. (Отсюда, в частности, следует, что эволюция компьютеров должна в конечном итоге привести нас к раскрытию природы человеческого сознания. Компьютер "окончательного поколения" с необходимостью будет не только по функции, но и по физическому устройству, - в наиболее существенных своих чертах - соответствовать человеческому мозгу).

Подведем итог обсуждения проблемы "вычислимости" функции человеческого сознания. Мы видим, что имеются дополнительные основания считать невозможной алгоритмическую имитацию функции сознания. Во-первых, невозможность алгоритмической имитации сознания вытекает из содержательной бесконечности человеческого "Я"- что, в свою очередь, является следствием сущностной уникальности нашего "Я".

Во-вторых, такого рода невозможность проистекает из интуитивно очевидной достоверности нашего рефлексивного самоотчета - если при этом учесть, что чувственные качества отражают способ обработки информации в мозге и, следовательно, достоверность самоотчета означает возможность достоверного знания о механизмах, лежащих в основе психической деятельности. Отсюда вытекает требование единственности способа реализации функции сознания.

Если единственным практически значимым следствием гипотезы алгоритмической невычислимости функции сознания является "непознаваемость" механизмов психической деятельности, то условие единственности способа реализации функции сознания приводит нас к выводу о практической (физической) невозможности компьютерной имитации функции человеческого мозга.

По существу, условие алгоритмической невычислимости и условие единственности способа реализации функции ("физическая" невычислимость) не зависят друг от друга. Алгоритмическая невычислимость не исключает "физическую" вычислимость (на конечных временных интервалах). С другой стороны, алгоритмическая вычислимость - не гарантирует физическую возможность осуществления компьютерной имитации данной функции.

Далее, возникает неизбежный вопрос: каким образом вообще возможна материальная система, функция которой алгоритмически невычислима или же эта функция такова, что она не может быть физически реализована каким-либо альтернативным способом?

Рассмотрим вначале первый вопрос - о возможности существования материальных систем, функция которых является алгоритмически невычислимой. Существенная проблема возникает здесь в связи с тем, что любая материальная система подчинена законам физики, которые, по сути, представляют собой алгоритмы, описывающие способ функционирования любых физических объектов. Поскольку мозг - физический объект, то полное его физическое описание и будет представлять собой его "формализованную модель" и, следовательно, ни о какой принципиальной "непознаваемости" работы мозга и речи быть не может.

Если здесь и есть какие-либо "границы познаваемости", то они обусловлены скорее ограниченностью наших ресурсов - неспособностью описать с достаточной степенью точности и подробности столь сложный физический объект как человеческий мозг, а отнюдь не природой самого мозга.

Более полное и адекватное описание реальности нам дает квантовая физика. Если предположить, что функционирование мозга в какой-то существенной своей части подчинено законам квантовой физики, то мы вполне можем найти место для алгоритмически невычислимых процессов. Действительно, хотя квантовая физика, также как и классическая, использует для описания физических систем дифференциальные уравнения, однако решения этих уравнений дают нам лишь распределение вероятности получения в процессе измерения тех или иных значений наблюдаемых величин, но эти решения не позволяют предсказать исходы индивидуальных экспериментов с квантовыми объектами. То есть квантовая теория описывает лишь распределение в пространстве и во времени "объективных тенденций", "потенций" - но не позволяет предсказывать конкретные события. Более того, она даже не дает какого-либо объяснения того, как "объективные тенденции" переходят в "события", т.е. она не описывает сам механизм перехода "потенциальное - актуальное".

Переход от "потенций" к "событиям" описывается в квантовой механике как процесс "редукции волновой функции": в результате измерения мы всегда получаем какое-либо вполне определенное значение измеряемой физической величины и, следовательно, квантовая система после измерения "скачкообразно" переходит в новое квантовое состояние - являющееся собственным состоянием оператор, соответствующего данной измеряемой величине. Если исходное состояние не является собственным состоянием оператора измеряемой величины, то, учитывая результат измерения, мы должны зачеркнуть прежнюю волновую функцию и записать новую, соответствующую результату измерения. Этот процесс, в силу хотя бы его нелинейного характера, невозможно описать с помощью уравнения Шредингера. (Этот факт был установлен еще И. фон Нейманом в начале 30-х годов).

Таким образом, имеется физический процесс (редукция волновой функции), для которого не существует какого-либо "алгоритма", позволяющего описывать его течение и предсказывать его результаты. Это процесс, который не подчинен каким-либо известным нам правилам,- неформализуемый, неалгоритмизируемый процесс.

Если функция сознания алгоритмически невычислима, то единственный физический процесс, с которым данная функция может быть сопоставлена, - это, видимо, процесс редукции волновой функции (поскольку любому иному физическому процессу можно сопоставить алгоритм в виде уравнения Шредингера).

Все эти соображения и приводят нас к идее связи сознания с процессом редукции волновой функции. Такова, например, точка зрения Р. Пенроуза (3,4). Вся аргументация Пенороуза в пользу гипотезы квантовой природы сознания целиком опирается на геделевский аргумент, на идею алгоритмической невычислимости функции сознания. (Отметим, что "непостижимость" механизма редукции волновой функции дает нам, также, и объяснение предполагаемой "непостижимости" механизмов сознания - эта непостижимость, как мы помним, непосредственно следует из гипотезы алгоритмической невычислимости функции сознания).

Связь сознания с процессами редукции волновой функции предполагают также и некоторые другие авторы, которые рассматривают гипотезу "квантового сознания" вне связи с геделевским аргументом и проблемой алгоритмической вычислимости функции сознания (Д. Бом, Г. Степп, Е. Уокер и др. (5,6,7)).

Дело в том, что существует другая линия аргументации, которая приводит нас к идее связи сознания с процессами редукции волновой функции. После того как в 1931 году И. фон Нейман создал "квантовую теорию измерений", стало ясно, что квантовомеханическое описание процесса измерения (взаимодействия квантовой системы и измерительного прибора) является принципиально неполным - т.к. не содержит описания механизма редукции волновой функции. Однако экспериментатор всегда видит некий определенный результат измерения, т.е. всегда видит процесс редукции волновой функции уже состоявшимся. Исходя из этого, была высказана идея (Е. Вигнером и др.), что редукция волновой функции имеет "сверхфизическую" природу и осуществляется непосредственно в сознании человека-наблюдателя. С этой точки зрения сознание - это фундаментальная реальность - необходимая составляющая целостной физической картины мира. Проявляет же себя сознание в составе физической реальности именно в актах редукции волновой функции.

Существуют, вместе с тем, и другие аргументы в пользу связи сознания с физическими процессами квантового уровня. В нашей работе (8), в частности, показано существование весьма детального сходства наиболее общих, фундаментальных свойств квантовых объектов и человеческой субъективности. Имеются в виду такие свойства сферы субъективного, как целостность, временная нелокальность, наличие актуальной (чувственность) и потенциальной (смыслы) составляющих субъективного бытия, качественность чувственных переживаний и бескачественность смыслов и т.д.

Учитывая данную аналогию было бы неверно связывать сознание лишь с актом редукции волновой функции. По сути, все составляющие описания квантового объекта имеют аналоги в составе описания структуры субъективной реальности.

Акты редукции волновой функции можно связать с процессами перехода от потенциального (смыслового) содержания сознания к актуальному (чувственному) его содержанию и связать с аффективно-волевой составляющей психики. Спонтанный, напредсказуемый характер процессов редукции можно сопоставить с уникальностью человеческой индивидуальности (уникальностью "самости", "Я")

Квантовая теория может, видимо, оказать нам некоторую помощь и в обосновании идеи единственности способа физической реализации функции сознания (то, что мы ранее назвали "физической невычислимостью").

Выше мы отмечали, что если мозг - это некое "предельное" по своей вычислительной мощности "устройство", то эволюция компьютеров рано или поздно приведет нас к открытию тех фундаментальных принципов, в соответствие с которыми работает наше сознание и которые обеспечивают феноменальное быстродействие и эффективность работы человеческой психики.

Следовательно, проследив возможные пути эволюции компьютеров, можно, видимо, предугадать физические принципы, лежащие в основе психических процессов. Эволюция компьютеров, фактически, до сих пор сводилась к уменьшению размеров составляющих их деталей. Как только характерные размеры этих деталей станут меньше 0,1 микрона - вступят в действие законы квантовой физики. Таким образом, предел эволюции современных компьютеров - это компьютеры, работающие на принципах квантовой механики - так называемые "квантовые компьютеры" (9).

Исследования последних лет показали, что использование квантовомеханического принципа суперпозиции позволяет экспоненциально ускорять решение некоторых задач (например, задачи факторизации больших чисел (10)), а также существенным образом ускорять решение некоторых других задач (например, задачи поиска нужной записи в базах данных (11)).

Учитывая чрезвычайную сложность решения задачи практической реализации сколь-нибудь длительных квантовых вычислений, можно предположить, что существует лишь один единственный способ физического осуществления квантовых вычислений, позволяющих достичь вычислительной мощности человеческого мозга. Тогда, исходя из принципа единственности способа реализации функции сознания, мы можем предположить, что именно этот способ "квантовых вычислений" и использует человеческий мозг.

В работе (8) мы также показали, что некоторые функциональные свойства человеческого сознания весьма напоминают функциональные свойства квантовых компьютеров, что является дополнительным аргументом в пользу перспективности идеи квантовой природы сознания.

Таким образом, мы видим, что гипотеза алгоритмической невычислимости функции сознания, а также гипотеза единственности способа реализации этой функции - не являются абсолютно неприемлимыми с точки зрения современной физики. Не стоит также забывать еще одну рассмотренную нами выше возможность интерпретации идеи "невычислимости" - гипотезу наличия "экстрасенсорных" свойств нормальной человеческой психики.

По крайней мере, все рассмотренные в данной работе следствия гипотезы "невычислимости" требуют дальнейшего исследования и можно надеется, что эти исследования в конце концов приведут нас к разгадке тайны природы человеческого сознания.

Литература:

1. Корчмарюк Я.И."Сеттлеретика" - новая междисциплинарная наука о "переселении" личности

2. Сирл Дж. Разум мозга - компьютерная программа?// В мире науки. 1990. No3. С.7-13.

3. Penrose R. The Emperor's New Mind. L. 1989.

4. Penrose R. Shadows of the Mind. L., 1993.

5. Bohm D. Wholeness and the Implicate Order. L.,1983.

6. Stapp H.P. Why Classical Mechanics Cannot Naturally Accommodate Consciousness bat Quantum Mechanics Can // Psyche. 2 (21). 1996.

7. Walker E.H. The Nature of Consciousness // Mathematical Biosciences. 1970.No7.P.131-178.

8. Иванов Е.М. Материя и субъективность. Саратов, 1998.

9. Deutsch D. Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer // Proc. Roy. Soc. L., A400. 1985.No96.

10. Shor P.W. Algorithms for Quantum Computation: Discrete Log and Factoring // Proceedings of the 35th annual Symposium on the Foundations of Computer Science. IEEE. Computer Society Press. 1994. P.124.

11. Grover L.K. A fast quantum mechanical algorithm for datebase search // Proceedings, STOC, 1996.


ПРИЛОЖЕНИЕ. ЛИТЕРАТУРА НА СОПРЯЖЁННФЕ ТЕМЫ, С АННОТАЦИЯМИ (223 наимен.).


∙ Искусственный интеллект: различные взгляды на проблему.

Некоторые специалисты, работающие в областях, не связанных с искусственным интеллектом, говорят, что компьютеры по своей природе не способны к сознательной умственной деятельности. Мы публикуем две статьи из журнала Scientific American. В статье Дж.Р.Сирла утверждается, что компьютерные программы никогда не смогут достичь разума в привычном для нас понимании. В то же время в другой статье, написанной П.М.Черчлендом и П. С.Черчленд приводится мнение, что с помощью электронных схем, построенных по образу и подобию мозговых структур, возможно удастся создать искусственный интеллект. За этим спором по существу скрывается вопрос о том, что такое мышление. Этот вопрос занимал умы людей на протяжении тысячелетий. Практическая работа с компьютерами, которые пока не могут мыслить, породила новый взгляд на этот вопрос и отвергла многие потенциальные ответы на него. Остается найти правильный ответ.

∙ Квантовая механика и психика, или еще раз о Пенроузе

Муравьев И. П.

В статье рассматриваются некоторые аспекты квантомеханического описания психики. Рассматривается проблема связи между психикой и измерением в квантовой механике. Обсуждаются аргументы Роджера Пенроуза о наличии невычислимого компонента в человеческом мышлении. Основной темой статьи является обсуждение недостатков его аргументации. Имеются ли убедительные данные, что объяснение ряда проявлений психики требует обращения к новой, невычислимой физике? Невычислимость физики понимается в том смысле, что процессы невозможно описать алгоритмически (включая вероятностные алгоритмы с алгоритмически вычисляемыми вероятностями) или, что эквивалентно, не может быть смоделирован универсальной машиной Тьюринга.

∙ Компьютерное когнитивное моделирование

Александр Панов

Специалист по Computer Science Александр Панов об искусственном интеллекте, целенаправленном действии и вычислительной модели неокортекса.

∙ Мозг в пробирке

Михаил Бурцев

Почему за полвека усилий не удалось создать искусственный интеллект? И как киборги помогают понять работу мозга? Об этом рассказывает Михаил Бурцев, кандидат физико-математических наук, руководитель лаборатории нейронных систем и глубокого обучения МФТИ.

∙ Нужна ли роботу интуиция? Компьютерное моделирование психических процессов

Иван Иванчей

Когнитивная психология с самого начала своей истории описывала человека как вычислительную машину. Иван расскажет о ключевых моментах развития этого пути исследования человека, к чему он привёл на сегодняшний день и как учёные моделируют такие таинственные и, как кажется, присущие только человеку процессы, как интуиция, предвидение, инсайт и уверенность.

∙ Природа души. Проблема соотношения души и тела

Диана Гаспарян

Определение души. Проблема души и тела. Учение Платона о душе. Учение о припоминании. Миф Платона о пещере. Зрение и умозрение по Платону. Этические выводы из учения Платона о душе. Учение Аристотеля о душе. Аристотель о душе и 4-х причинах. Проблема возникновения нового. Аристотель о бытии. Актуальное и потенциальное.

∙ Моделирование происхождения интеллекта

Михаил Бурцев, Владимир Редько

Программа Гордона

Каким образом в биологической эволюции появились системы, способные управлять процессом жизнедеятельности организма? Почему логический вывод, сделанный человеком, применим к реальному объекту в природе? Почему эволюционное развитие познавательных способностей животных привело к возникновению интеллекта человека? О моделировании работы мозга и искусственном интеллекте, - Владимир Георгиевич Редько - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Михаил Сергеевич Бурцев - программист-математик, аспирант Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.

∙ Как смоделировать мозг?

Виталий Дунин-Барковский

Как смоделировать мозг? Постижим ли человеческий мозг? Как алгоритмизировать сознание? И можно ли скопировать его на неорганический носитель? Ответы на эти вопросы помогает найти Виталий Дунин-Барковский, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом нейроинформатики Центра оптико-нейронных технологий НИИСИ РАН.

∙ Сознание и Вселенная

Дэвид Чалмерс

Дэвид Чалмерс является одной из самых значимых фигур в области исследований сознания. Именно он разделил проблемы сознания на легкие и трудную. Скорее всего прояснение фундаментального характера сознания позволит ответить на вопрос о его природе, считает Чалмерс. Летом 2016 года по приглашению Московского центра исследований сознания Чалмерс был в Москве и дал большое интервью Центру. В нем он рассказывает о том, как пришел в философию, каков его сегодняшний взгляд на природу сознания, может ли зомби нести моральную ответственность, как устроена Вселенная, чем для нас обернется создание искусственного интеллекта и в чем главная задача философии.

∙ Как объяснить сознание?

Дэвид Чалмерс

"Наше сознание - основа нашего существования, - считает Дэвид Чалмерс. - Нет ничего более доступного нам напрямую, и всё же оно до сих пор остаётся величайшей загадкой во Вселенной". В этом ролике философ делится с нами своим пониманием этого "кино в голове".


∙ Искусственный интеллект: различные взгляды на проблему

Некоторые специалисты, работающие в областях, не связанных с искусственным интеллектом, говорят, что компьютеры по своей природе не способны к сознательной умственной деятельности. Мы публикуем две статьи из журнала Scientific American. В статье Дж.Р.Сирла утверждается, что компьютерные программы никогда не смогут достичь разума в привычном для нас понимании. В то же время в другой статье, написанной П.М.Черчлендом и П. С.Черчленд приводится мнение, что с помощью электронных схем, построенных по образу и подобию мозговых структур, возможно удастся создать искусственный интеллект. За этим спором по существу скрывается вопрос о том, что такое мышление. Этот вопрос занимал умы людей на протяжении тысячелетий. Практическая работа с компьютерами, которые пока не могут мыслить, породила новый взгляд на этот вопрос и отвергла многие потенциальные ответы на него. Остается найти правильный ответ.

∙ Квантовая механика и психика, или еще раз о Пенроузе

Муравьев И. П.

В статье рассматриваются некоторые аспекты квантомеханического описания психики. Рассматривается проблема связи между психикой и измерением в квантовой механике. Обсуждаются аргументы Роджера Пенроуза о наличии невычислимого компонента в человеческом мышлении. Основной темой статьи является обсуждение недостатков его аргументации. Имеются ли убедительные данные, что объяснение ряда проявлений психики требует обращения к новой, невычислимой физике? Невычислимость физики понимается в том смысле, что процессы невозможно описать алгоритмически (включая вероятностные алгоритмы с алгоритмически вычисляемыми вероятностями) или, что эквивалентно, не может быть смоделирован универсальной машиной Тьюринга.

∙ Компьютерное когнитивное моделирование

Александр Панов

Специалист по Computer Science Александр Панов об искусственном интеллекте, целенаправленном действии и вычислительной модели неокортекса.

∙ Мозг в пробирке

Михаил Бурцев

Почему за полвека усилий не удалось создать искусственный интеллект? И как киборги помогают понять работу мозга? Об этом рассказывает Михаил Бурцев, кандидат физико-математических наук, руководитель лаборатории нейронных систем и глубокого обучения МФТИ.

∙ Нужна ли роботу интуиция? Компьютерное моделирование психических процессов

Иван Иванчей

Когнитивная психология с самого начала своей истории описывала человека как вычислительную машину. Иван расскажет о ключевых моментах развития этого пути исследования человека, к чему он привёл на сегодняшний день и как учёные моделируют такие таинственные и, как кажется, присущие только человеку процессы, как интуиция, предвидение, инсайт и уверенность.

∙ Природа души. Проблема соотношения души и тела

Диана Гаспарян

Определение души. Проблема души и тела. Учение Платона о душе. Учение о припоминании. Миф Платона о пещере. Зрение и умозрение по Платону. Этические выводы из учения Платона о душе. Учение Аристотеля о душе. Аристотель о душе и 4-х причинах. Проблема возникновения нового. Аристотель о бытии. Актуальное и потенциальное.

∙ Моделирование происхождения интеллекта

Михаил Бурцев, Владимир Редько

Программа Гордона

Каким образом в биологической эволюции появились системы, способные управлять процессом жизнедеятельности организма? Почему логический вывод, сделанный человеком, применим к реальному объекту в природе? Почему эволюционное развитие познавательных способностей животных привело к возникновению интеллекта человека? О моделировании работы мозга и искусственном интеллекте, - Владимир Георгиевич Редько - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Михаил Сергеевич Бурцев - программист-математик, аспирант Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.

∙ Как смоделировать мозг?

Виталий Дунин-Барковский

Как смоделировать мозг? Постижим ли человеческий мозг? Как алгоритмизировать сознание? И можно ли скопировать его на неорганический носитель? Ответы на эти вопросы помогает найти Виталий Дунин-Барковский, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом нейроинформатики Центра оптико-нейронных технологий НИИСИ РАН.

∙ Сознание и Вселенная

Дэвид Чалмерс

Дэвид Чалмерс является одной из самых значимых фигур в области исследований сознания. Именно он разделил проблемы сознания на легкие и трудную. Скорее всего прояснение фундаментального характера сознания позволит ответить на вопрос о его природе, считает Чалмерс. Летом 2016 года по приглашению Московского центра исследований сознания Чалмерс был в Москве и дал большое интервью Центру. В нем он рассказывает о том, как пришел в философию, каков его сегодняшний взгляд на природу сознания, может ли зомби нести моральную ответственность, как устроена Вселенная, чем для нас обернется создание искусственного интеллекта и в чем главная задача философии.

∙ Как объяснить сознание?

Дэвид Чалмерс

"Наше сознание - основа нашего существования, - считает Дэвид Чалмерс. - Нет ничего более доступного нам напрямую, и всё же оно до сих пор остаётся величайшей загадкой во Вселенной". В этом ролике философ делится с нами своим пониманием этого "кино в голове".

∙ Эволюционная эпистемология

Карл Р. Поппер

Эпистемология - английский термин, обозначающий теорию познания, прежде всего научного познания. Это теория, которая пытается объяснить статус науки и ее рост. Дональд Кэмпбелл назвал мою эпистемологию эволюционной, потому что я смотрю на нее как на продукт биологической эволюции, а именно - дарвиновской эволюции путем естественного отбора. Основными проблемами эволюционной эпистемологии я считаю следующие: эволюция человеческого языка и роль, которую он играл и продолжает играть в росте человеческого знания; понятия (ideas) истинности и ложности; описания положений дел (states of affaires) и способ, каким язык отбирает положения дел из комплексов фактов, составляющих мир, то есть действительность.

∙ Занимательный компьютер: О разуме, машинах и метафизике

Дьюдни А. К.

Человеческий разум превосходит системы искусственного интеллекта, потому что использует физические законы на квантовомеханическом уровне. К такому не бесспорному утверждению склоняется в своей новой книге Роджер Пенроуз, известный ученый, работающий в области математической физики. Хотя (как признает Пенроуз) это утверждение в настоящее время не может быть строго доказано, некоторые интригующие аргументы, содержащиеся в его книге "Новый ум императора", дают достаточно серьезные основания усомниться в справедливости философских положений, которые лежат в основе искусственного интеллекта.

∙ Пределы доказуемости

Грегори Чейтин

Из идей сложности и случайности, впервые высказанных Готфридом Лейбницем в его "Рассуждении о метафизике" (1686), и их подтверждения в современной теории информации следует, что невозможно создать "самую общую теорию всего" в математике.

∙ Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно?

Veritasium

Возможно ли доказать всё, что истинно? Поиски ответа на этот вопрос раскололи математическое сообщество, заставили нас пересмотреть своё представление о бесконечности, помогли выиграть Вторую мировую войну и создать устройство, на котором вы посмотрите это видео. Как именно, расскажет Дерек Маллер в новом видео от Veritasium.

∙ Философия Мераба Мамардашвили

Диана Гаспарян

Почему у Мераба Мамардашвили было не меньше критиков, чем поклонников? В чем заключался главный вопрос Мамардашвили? Насколько важно его влияние на философию сегодня? О специфике сознания, некритическом мышлении и философском перформансе Мераба Мамардашвили рассказывает кандидат философских наук Диана Гаспарян.

∙ Теорема Гёделя о неполноте

Алексей Сосинский

Теорема Гёделя, наряду с открытием теории относительности, квантовой механики и ДНК, обычно рассматривается как крупнейшее научное достижение ХХ века. Почему? В чем ее суть? Каково ее значение? Эти вопросы в своей лекции раскрывает Алексей Брониславович Сосинский, математик, профессор Независимого московского университета, офицер Ордена академических пальм Французской Республики, лауреат премии Правительства РФ в области образования 2012 года. В частности, были даны несколько разных ее формулировок, описаны три подхода к ее доказательству (Колмогорова, Чейтина и самого Гёделя), и объяснено ее значение для математики, физики, компьютерной науки и философии.

∙ Является ли сознание физической реальностью?

Дэвид Чалмерс

Насколько широк горизонт физического мира - не в пространственном, а в концептуальном смысле? Насколько полно физические законы охватывают мир природный или натуральный? Об этом рассуждает Дэвид Чалмерс - философ, специализирующийся в вопросах сознания. Его часто называют живым классиком. Именно он ввел термин "трудные проблемы сознания" чтобы ограничить те вопросы и задачи в изучении феномена сознания, которые наука в её текущем состоянии решить не в состоянии.

∙ Дэвид Вернон: "То, что мы называем искусственным интеллектом, им не является"

Дэвид Вернон - признанный специалист в области создания и изучения искусственного интеллекта, приглашенный профессор Университета Иннополис. За последние 36 лет он работал в университетах Ирландии, Швеции, Германии, ОАЭ, а также в Европейском сообществе развития систем искусственного интеллекта. Мы побеседовали с Дэвидом о настоящем и будущем искусственного интеллекта.

∙ Квантовые компьютеры и модели сознания

Игорь Волович, Андрей Хренников

Программа Гордона

Что такое квантовый компьютер и насколько он похож на человеческий мозг? Существуют ли атомы сознания и может ли оно (сознание) рассматриваться как коллективный квантовый эффект? О математических моделях мышления, сознания и даже депрессии, сегодня после полуночи, доктор физико-математических наук Игорь Волович и наш гость из Швеции, профессор, директор Международного центра математического моделирования Андрей Хренников.

∙ ИИ и машинное обучение: итоги 2017 года

Сергей Марков

На лекции мы обсудим вторую весну искусственного интеллекта в цифрах и фактах, ключевые работы в области искусственного интеллекта и машинного обучения в 2017 году. Поговорим о распознавании изображений, речи, обработке естественного языка и о других направлениях исследований; обсудим новые модели и оборудование 2017 года. Также поговорим о применении ИИ и машинного обучения в бизнесе, медицине и науке, а также обсудим, чего мы ждем от искусственного интеллекта и машинного обучения в 2018 году.


∙ Александр Крайнов: "Нейросети можно не объяснять правила игры в го - она сама их выучит"

В Южной Корее 15 марта завершилась историческая партия в игру го: программа AlphaGo - против Ли Седоля, одного из сильнейших игроков планеты. AlphaGo обеспечила себе победу досрочно, выиграв три первые партии из пяти. Тем не менее, Ли Седоль смог выиграть в четвертом матче, но последний остался за AlphaGo. За несколько дней до финальной игры журналист "Медузы" Султан Сулейманов поговорил с Александром Крайновым, руководителем службы компьютерного зрения и технологий искусственного интеллекта "Яндекса", о том, как искусственный интеллект научился играть в го, откуда у него взялась интуиция и какие невероятные технологии нас ждут в ближайшем будущем.

∙ Кто за стеной?

Философская притча в формате научно-популярного фильма на тему "может ли машина мыслить". Действия происходят в недалеком будущем, - в конце 2000 года. СССР, Центрнаучфильм, 1977 г. Режиссер: Семен Райтбурт.

∙ Машинное обучение: Как развить интуицию у компьютера

Иван Ерофеев

Что такое машинное обучение? И можно ли считать, что программа, натренированная решать ту или иную задачу, понимает, что она делает? О том, как компьютер развивает интуицию и учится фильтровать спам, распознавать изображения и играть в игры, в новом материале "Чердака" рассказывает Иван Ерофеев.

∙ Господь Бог, Гёдель и поиск истины

Отрывок из книги книга Дэвида Дарлинга и Агниджо Банерджи "Эта странная Математика - на краю бесконечности и за ним" о том, как Гедель доказал существование Бога и почему пифагорейцы утопили математика Гиппаса.

∙ Что такое "Я" / The Secret You

BBC

Воспользовавшись помощью анестезиолога, Дженнифер Анистон и ученого, вооруженного кувалдой, профессор Маркус дю Сотой ищет ответ на вопрос о том, что такое "я". Для этого он подвергает себя нескольким интересным и необычным экспериментам. Маркус узнает, в каком возрасте появляется наше самосознание и обладают ли им другие живые существа. Он усыпляет свое сознание в опыте с использованием анестезии, чтобы лучше понять его, затем испытывает внетелесный опыт, чтобы локализовать свое "я", После этого Маркус отправляется в Голливуд, чтобы понять, как знаменитости помогают лучше понять микроскопическую активность нашего мозга. Затем он принимает участие в эксперименте по чтению мыслей, который радикально меняет его понимание о том, что такое "я".

∙ Эволюция искусственного интеллекта

Михаил Бурцев

В своей лекции я сначала вкратце расскажу об истории, об эволюции искусственного интеллекта, что под ним понимается, в каком состоянии он сегодня. Затем попытаюсь кратко проанализировать текущее состояние и, возможно, предложить что-то для будущего искусственного интеллекта. Эта лекция будет в основном посвящена тому, как делать искусственный интеллект и что он из себя представляет, но в основной части я не буду затрагивать вопрос, нужен ли он, и к каким последствиям создание искусственного интеллекта может привести. В нескольких словах этого вопроса я коснусь в самом конце лекции. И потом постараюсь ответить на все ваши вопросы.

∙ Искусственный интеллект

Михаил Бурцев

Какие существуют подходы к созданию искусственного интеллекта? Что такое символьный, или классический искусственный интеллект? С чем связан интерес ученых к такого рода исследованиям? Об истории кибернетики, искусственном интеллекте и моделировании человеческого мозга рассказывает кандидат физико-математических наук Михаил Бурцев.

∙ Харви Фридман - человек, который собирается перевернуть математику

Джордана Цепелевич

Всякая надежда на создание единой математической теории, амбициозного проекта, который был предложен математиком Давидом Гильбертом в 19 веке и продолжил существовать, поддерживаемый многими, в 20 столетии, рухнула. Основы математики были далеко не столь надежными, как того хотел бы Гильберт. А Гëдель своими теоремами ясно продемонстрировал, что любая система аксиом, какой бы обширной она ни была, уязвима для возникновения невосполнимых пробелов. Попытки же восполнить их созданием более полной системы породили бы только бóльшее количество утверждений без доказательств - так что и тут возникнет необходимость в усовершенствовании системы, и так далее до бесконечности. И случилось нечто странное: математики решили не обращать на это внимания. Они посчитали, что неполнота систем не имеет непосредственного влияния на их работу.

∙ Эмоциональный искусственный интеллект

Максим Таланов

Когда эмоциональные вычисления сформировались как отдельное направление исследований? Можно ли перенести человеческие эмоции на вычислительные системы? Почему важно добиваться от роботов "эмоциональной отдачи"?

∙ Как научить робота сочувствовать?

Сергей Марков

В 1950 году английский ученый Алан Тьюринг в статье "Вычислительные машины и разум" задался вопросом: "Может ли машина понимать человека?". Так родился знаменитый тест Тьюринга, в котором компьютер пытался обмануть людей. Но как компьютер понимает человека и чего он пока понять не может? Об этом по гамбургскому счету мы решили спросить специалиста в области машинного обучения, директора информационных технологий компании "Activebusinesscollection" Сергея Маркова.

∙ Теорема Гёделя о неполноте

В Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе. И тут в 1931 году какой-то венский очкарик - математик Курт Гёдель - взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой "математической логики". Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом: всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.

∙ Доказуемость и модальная логика

Лев Беклемишев

Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли - и если да, то как - говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью? Программа: Логика высказываний и её модели. Модальная логика, модели Крипке. Логика Гёделя-Лёба GL. Теорема о полноте логики GL по Крипке на конечных деревьях. Формальная арифметика Пеано. Гёделева нумерация. Теорема о неподвижной точке. Формулы доказуемости и непротиворечивости. Теоремы Гёделя, Россера и Лёба. Доказуемость как модальность: арифметическая интерпретация логики GL. Замкнутые модальные формулы, последовательность Тьюринга, локальная рефлексия. Существование и единственность модально определимых неподвижных точек (теорема де Йонга).

∙ Искусственная жизнь

Михаил Бурцев

Кого считают "отцом" искусственной жизни? Какова структура клеточных автоматов Джона фон Неймана? В чем состоит проблема цифровой стерильности? Как развивается это направление сегодня? О концепции клеточных автоматов, проблеме цифровой стерильности и эволюции программ рассказывает кандидат физико-математических наук Михаил Бурцев.

∙ Нейронные сети и ИИ: самое сложное - понять, чего мы хотим

Недавно на сайте Geektimes вышла статья "Искусственные нейронные сети простыми словами". Мы побеседовали с ее автором о развитии искусственного интеллекта и нейронных сетей. Юрий работает сейчас в небольшой фирме РСПК, изучает чат-ботов.

∙ Искусственные нейронные сети простыми словами

Когда я заводил разговор о нейронных сетях - люди обычно начинали боязливо на меня смотреть, грустнели, иногда у них начинал дёргаться глаз, а в крайних случаях они залезали под стол. Но, на самом деле, эти сети просты и интуитивны. Да-да, именно так! И, позвольте, я вам это докажу!

∙ Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней

Владимир Успенский

Теорема Гёделя о неполноте - едва ли не самая знаменитая теорема математики. Она утверждает, что какие бы способы доказывания ни предложить, в любом достаточно богатом языке найдутся истинные, но не доказуемые утверждения. Богатство языка есть его способность выражать факты. Оказывается, что для целей теоремы Гёделя богатство языка достаточно понимать как его способность выражать принадлежность натуральных чисел перечислимым множествам.

∙ Теорема Гёделя - синтаксическая версия

Владимир Успенский

Знаменитая Теорема Гёделя о неполноте имеет две версии - синтаксическую (объявленную и доказанную самим Гёделем) и семантическую (чаще всего фигурирующую в популярных рассуждениях о великой Теореме). Семантическая версия утверждает, что какую бы систему формальных доказательств ни придумать, в языке найдутся истинные утверждения, не доказуемые в рамках предложенной системы. Таким образом, семантическая версия исходит из того, что некоторые выражения языка выражают осмысленные утверждения, являющиеся истинными или ложными. Синтаксическая версия не опирается на то, что какие бы то ни было выражения языка имеют какой-то смысл, она смотрит на выражения как на синтаксические конструкции, то есть как на цепочки символов, организованные по определённым правилам.

∙ Обучение нейрональных культур

Михаил Бурцев

Как устроен процесс обучения? Что представляет собой нейрональная культура? Как можно объяснить активность нейронов в нейрональной культуре? Об электрической активности нейронов, следах памяти в нейрональных культурах и теории функциональных систем рассказывает кандидат физико-математических наук Михаил Бурцев.

∙ Эволюция кооперации

Михаил Бурцев

Почему в процессе эволюции появляется кооперативное поведение? Как объясняют возникновение кооперации различные теории? И как исследование данного вопроса может отразиться на представлениях о морали человека? Об условиях возникновения кооперации, истоках человеческой морали и теории родственного отбора рассказывает специалист по эволюционной кибернетике Михаил Бурцев.

∙ Принцесса или тигр?

Смаллиан Рэймонд

Книга известного американского математика и логика профессора Р. Смаллиана, продолжающая серию книг по занимательной математике, посвящена логическим парадоксам и головоломкам, логико-арифметическим задачам и проблемам разрешимости, связанным с теоремой Геделя. Рассчитана на интересующихся занимательной математикой.


∙ Эволюционно-кибернетический подход к моделированию адаптивного поведения

Михаил Бурцев

Очень часто люди не задумываются, почему они придерживаются той или иной точки зрения. Так сегодня значительная часть исследователей и инженеров, занимающихся адаптивными системами, a priori придерживаются принципа "бытие определяет сознание", а, следовательно, и действия. Этот наивный взгляд на вещи, предполагает, что обучение состоит в нахождении закономерностей в том потоке информации, который доступен из наблюдения, поступает на вход системы. Естественно, что при таком подходе модель системы, обладающей адаптивным поведением, будет представлять собой некоторое отображение множества входных данных на множество выходов, управляющих поведением системы. При этом обучение, адаптивность поведения обычно обеспечивается детерминированными алгоритмами, изменяющими функцию отображения. Использование таких принципов, позволяет быстро создавать приемлемые модели адаптивных систем, которые обеспечивают достаточно гибкое поведение в среде, на которую рассчитывал конструктор. Однако, при соприкосновении с неожиданными изменениями среды, с необходимостью использования нестандартных ходов, такая "отражательная" детерминированная схема пасует. Как же создать действительно адаптивную систему?

∙ Феномен науки: Кибернетический подход к эволюции

Валентин Турчин

В этой книге В.Ф.Турчин излагает свою концепцию метасистемного перехода и с ее позиций прослеживает эволюцию мира от простейших одноклеточных организмов до возникновения мышления, развития науки и культуры. По вкладу в науку и философию монография стоит в одном ряду с такими известными трудами как "Кибернетика" Н.Винера и "Феномен человека" П.Тейяра де Шардена. Книга написана ярким образным языком, доступна читателю с любым уровнем подготовки. Представляет особый интерес для интересующихся фундаментальными вопросами естествознания.

∙ Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Питер Эткинз

Эта книга предназначена для широкого круга читателей, желающих узнать больше об окружающем нас мире и о самих себе. Автор, известный ученый и популяризатор науки, с необычайной ясностью и глубиной объясняет устройство Вселенной, тайны квантового мира и генетики, эволюцию жизни и показывает важность математики для познания всей природы и человеческого разума в частности.

∙ Все есть число?

Мир вокруг нас полон математических объектов - чисел, функций, геометрических фигур. Вся современная цивилизация есть продукт развития технологий, немыслимых без точных математических расчетов. Но математика не просто помогает нам совладать с миром. Она проникает в самую суть этого мира. Это удивительное обстоятельство впервые было отмечено Пифагором, одним из наиболее влиятельных мыслителей в истории человечества. Своим девизом "Все есть число" он на тысячи лет предвосхитил как будущую роль математики, так и представления о природе ее объектов. Способом своего существования они кардинально отличаются от предметов, знакомых нам посредством органов чувств. Как многие считают, эта особенность делает математику главным источником веры в существование мира, "населенного" вневременными и сверхчувственными объектами.

∙ Математика, метаматематика и истина

Янов Ю. И.

В связи с разными точками зрения на природу математики рассматриваются вопросы о метаматематическом понятии истины и возможности убедительного доказательства истинности математических теорем.

∙ Философские истоки начала теории множеств

Жан-Мишель Кантор

Лекция Жана-Мишеля Кантора "Философские истоки начала теории множеств" на конференции "Математика и философия". Переводит Алексей Семихатов. Научно-популярный фестиваль "Дни науки в Петербурге" Фонда "Династия". Санкт-Петербург, Дом ученых РАН. 21 апреля 2008 года.

∙ Что такое логика доказуемости?

Лев Беклемишев

Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли - и если да, то как - говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью?

∙ Семь размышлений на темы философии математики

Владимир Успенский

Действительно ли в математике всё определяется и доказывается? Можно ли определить понятие натурального числа? Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)? Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)? Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть? Что такое доказательство? Можно ли математику сделать понятной?

∙ Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация

Парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.

∙ Куда движется математика?

Брайан Дэвис

На протяжении большей части XX столетия в "чистой" математике царило замечательное единодушие относительно того, как нужно представлять результаты. Весь предмет сводился к комплексу теорем, каждая из которых, в конечном счете, выводилась из фиксированного набора аксиом путем так называемого строгого логического доказательства. В отдельных разделах математики, таких, например, как арифметика Пеано, справедливость аксиоматики выглядела самоочевидной, однако во многих случаях аксиомы попросту очерчивали рассматриваемую область вопросов. Для математиков, если только они не выходили за рамки математики, выступая в роли философов-любителей, принципиального различия между изобретением и открытием новых концепций не было.

∙ Невычислимость, неразрешимость, недоказуемость (Тюринг → Колмогоров → Чейтин → Гёдель)

Алексей Сосинский

Курс занятий посвящен тому, что в математике сделать нельзя. Но речь пойдет не о запрещенных действиях (типа деления на ноль или квадратуры круга), а об отсутствии общих методов для решения некоторых широких классов задач. Начиная от определения вычислимой функции (через машину Тюринга), мы узнаем про существование универсальной вычислимой функции, и как следствие - о существовании не вычислимых функций. Отсюда мы поймем, какие задачи никакой компьютер (даже сколь угодно мощный) решить не может в принципе. Затем мы определим "Колмогоровскую сложность" и изучим ряд ее "нехороших" свойств, именно, не вычислимость некоторых связанных с ней характеристик. Эти свойства сыграют решающую роль в доказательстве теоремы Гёделя о неполноте - одного из самых значительных научных открытий ХХ-го века.

∙ Компьютерная лингвистика

Борис Орехов

Что умеют благодаря компьютерной лингвистике компьютеры? Они умеют понимать, что за слово перед ними. Это не такой простой вопрос, потому что, казалось бы, слово и слово, но в русском языке слова умеют склоняться и в разных падежах выглядят немного по-разному. Как объяснить компьютеру, что это одно и то же слово, а не разные? Филолог Борис Орехов о семантическом анализе, машинном переводе и автоматической морфологии.

∙ Шахматная машина - гроссмейстер

В январе 1988 г. на пресс-конференции в Париже чемпиона мира по шахматам Гарри Каспарова спросили, сумеет ли компьютер выиграть у гроссмейстера до 2000 года? "Ни в коем случае, - ответил он, - и если у кого-нибудь из гроссмейстеров возникнут затруднения в игре с компьютером, я с удовольствием дам им совет".

∙ Революция искусственного интеллекта в играх

Системы искусственного интеллекта, которые могут играть в абстрактные, стратегические и настольные игры, прошли огромный путь, однако как на самом деле устроены их "мозги"?

∙ Гиперсвязи. Роботы действуют совместно

Даже величайшие механизмы, построенные людьми, требуют ввода информации. Мы даем им задания и поддерживаем их работу. Проблема в том, что они не способны принимать осознанные решения так, как мы. Проще говоря, они глупые. Но если объединить эти устройства, дать им возможность собирать информацию об окружающем мире и обмениваться ею друг с другом, то перед нами откроются новые невероятные возможности создания настоящего искусственного разума. В этом видео Джим Аль-Халили расскажет о квадрокоптерах, которые творят чудеса, действуя совместно.

∙ История развития компьютерных шахмат

Математики оценивают количество различных шахматных партий величиной 10 в 120 степени - так называемое Число Шеннона (для сравнения - число атомов в изученной части вселенной - 10^80). Число различных позиций, возникающих на шахматной доске во время игры, несомненно, меньше, ведь в разных партиях могут возникать одинаковые позиции. Рассчитанное число позиций в шахматах около 10^43, включая некоторые невозможные позиции. Условно, с учетом легальности позиций, можно считать их количество приблизительно равным 10^40.

∙ Кибернетика, или управление и связь в животном и машине

Норберт Винер

"Кибернетика" - известная книга выдающегося американского математика Норберта Винера (1894-1964), сыгравшая большую роль в развитии современной науки и давшая имя одному из важнейших ее направлений. Настоящее русское издание является полным переводом второго американского издания, вышедшего в 1961 г. и содержащего важные дополнения к первому изданию 1948 г. Читатель также найдет в приложениях переводы некоторых статей и интервью Винера, включая последнее, данное им незадолго до смерти для журнала "Юнайтед Стэйтс Ньюс энд Уорлд Рипорт". Книга, написанная своеобразным свободным стилем, затрагивает широкий круг проблем современной науки, от сферы наук технических до сферы наук социальных и гуманитарных. В центре - проблематика поведения и воспроизведения (естественного и искусственного) сложных управляющих и информационных систем в технике, живой природе и обществе. Автор глубоко озабочен судьбой науки и ученых в современном мире и, будучи военным инженером, придумавшим и первым в мире применившим кибернетику в военном деле, резко осуждает использование научного могущества для эксплуатации и войны.

∙ Нейрогибридные системы

Михаил Бурцев

Какие подходы к изучению мозга существуют в современной нейробиологии? Как можно увидеть работу отдельной клетки мозга? Когда стали появляться нейрогибридные системы? О механизме обучения мозга, экспериментах с нейрогибридными системами и рисующем роботе рассказывает кандидат физико-математических наук Михаил Бурцев.

∙ Философия сознания

Философский зомби и проблема квалиа. Мысленный эксперимент Фрэнка Джексона "комната Мэри". Свобода воли и детерминизм. Аргумент манипуляций Дерка Перебума. мысленный эксперимент Джона Серла "Китайская комната". Аргумент удачи. Неопределенность на физическом уровне. Телепорт, вопрос о тождестве личности.

∙ Развитие искусственного интеллекта в шахматных программах

История развития автоматики и вычислительной техники странным образом связана с шахматами. В XVIII в. "думающие" шахматные автоматы служили для фокусов и мистификаций. Первый аппарат с настоящим искусственным интеллектом, созданный в Испании в начале ХХ в., был способен поставить мат королем и ладьей шахматисту, играющему королем. Видимо, не случайно и то, что одной из первых действительно интеллектуальных задач, поставленных перед программистами еще на заре вычислительной техники, была игра в шахматы. О шахматных программах и связи этой древней игры с развитием технологий искусственного интеллекта мы попросили рассказать одного из тех, кто создавал первые шахматные программы, доктора технических наук, профессора Владимира Львовича Арлазарова.

∙ Алгоритмы шахматных программ

Владимир Арлазаров

Минимакс, Альфа-бета, Применение теории к практике, Улучшения, Современные шахматные программы, История Deep Blue, Как устроена Deep Blue.

∙ Телефон - часть сознания?

Дэвид Чалмерс

Возьмем наш любимый iPhone. У меня он уже три или четыре года, и он берет на себя целую кучу функций моего мозга. То, что раньше делал мой мозг, теперь делает мой iPhone. Возьмем память: сколько людей используют свой мозг, чтобы запоминать номера телефонов? Уж точно не я! Я хочу поговорить с вами о новом взгляде на сознание. То, что я называю расширенным сознанием, - это идея о том, что технологии, которые мы используем, становится частью нашего сознания, распространяя его, и значит нас самих.

∙ Реальность, которую мы воспринимаем, - всего лишь галлюцинация

Анил Сет

Миллиарды нейронов у нас в мозге постоянно трудятся над созданием сознательного опыта, восприятия мира вокруг и внутри вас. Как это происходит? Нейроученый Анил Сет считает, что все мы постоянно галлюцинируем, а когда наши галлюцинации совпадают, мы называем это реальностью. Возможно, его выступление заставит вас задуматься о самой природе существования.

∙ Математика. Утрата определенности

Морис Клайн

Что такое математика? Каковы ее происхождение и история? Чем занимаются математики сегодня и каков ныне статус науки, которая составляет предмет их интересов и профессиональной деятельности? Ответы на эти и многие другие вопросы читатель найдет в книге известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета Мориса Клайна. В этой работе автор в увлекательной и популярной манере описывает историю развития и становления современной математики от античности до наших дней, а также рассказывает о глубоких изменениях, которые претерпели взгляды человека на существо математической науки и ее роль в современном мире.

∙ Нейронные сети и искусственный интеллект: автоматизация без границ

Илья Танрывердиев

В наш век информационных технологий нейросети и автоматизация процессов занимает все больше и больше места. О принципах работы нейросети, как с ее помощью автоматизировать экономические процессы и о многом другом расскажет кандидат технических наук, доцент кафедры проектирования и производства электронно-вычислительных средств ПГТУ, Танрывердиев Илья Оруджевич.

∙ Теорема Гёделя

Александр Буфетов

В стандартной интерпретации гёделева неразрешимая формула A означает "не существует вывода формулы A", то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогом парадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс.

∙ Модальные логики

Алексей Семёнов

Основные достижения математической логики относятся к математическим исследованиям математических рассуждений (эти исследования даже назвали метаматематикой). Однако методами математической логики можно изучать человеческие рассуждения не только из области математики. При построении математических моделей таких рассуждений используются, в частности, модальные логики. Самыми известными среди них являются логики возможности и необходимости. Для строящихся при этом логических языков определяются: семантика, т.н. "возможных миров" (семантика Крипке) и исчисление (аксиоматическая система), позволяющее формализовать рассуждения. Во многих случаях удаётся достичь полного соответствия между семантикой и исчислением (совпадения истинности и выводимости). В лекции будут приведены некоторые примеры модальных логик и доказано указанное соответствие для одной из них - естественной и хорошо известной.

∙ Выразительные возможности языков математической логики

Владимир Успенский

Если в качестве значений переменных разрешается брать только элементы носителя, язык называют элементарным языком, или языком первого порядка. Если же в качестве значений переменных разрешается брать также функции и отношения, язык называют языком второго порядка. Выразительные возможности языков первого порядка довольно ограничены. Например, на языке первого порядка можно сообщить, что носитель содержит ровно 17 элементов, но невозможно выразить его конечность. На языке второго порядка выразить конечность носителя возможно. Возникает совершенно естественное недоумение: а зачем тогда пользоваться языками первого порядка с их бедными выразительными средствами, не лучше ли пользоваться языками второго порядка?

∙ Выразимость и разрешимость

Алексей Семёнов

Высказывания математического языка (в том числе, содержащие переменные, от значения которых зависит истинность утверждений) можно записывать на формальном языке математической логики. (Например, можно использовать значок ∀ вместо выражения "для всех".) Однако даже и без точного описания языка математической логики (которое, впрочем, будет дано) можно понять, что значит объяснить (выразить) одно из свойств чисел через другое, например, выразить свойство "быть простым числом" через свойство "делиться". В лекции будут рассмотрены примеры задач, относящихся к выразимости и невыразимости. Среди высказываний математического языка можно выделить те, которые не содержать переменных и называть их утверждениями. Было бы хорошо иметь общий способ, пусть даже и очень громоздкий, который про любое утверждение, касающееся чисел (или иных математических объектов) и отношений между ними, позволяет установить, истинно оно или ложно. Будут приведены примеры, когда такой способ есть, и когда его нет.

∙ Аксиоматический метод

Беклемишев Лев

В чем заключается аксиоматический метод? Как развивалось понятие аксиомы? Кем был разработан аксиоматический метод? Какое место он занимает в математике? И какой критике подвергается этот метод? Математик Лев Беклемишев о неевклидовой геометрии, системе аксиом Гильберта и смысле в математике.

∙ Множество условностей и условность множеств

Михаил Раскин

Все мы знаем, что математика доказывает импликации. Другими словами, мы доказываем не то, что какое-то утверждение верно, а то, что оно следует из принятых нами аксиом. Но при этом часто недооценивается, насколько сильно можно поменять набор аксиом. Одно из базовых понятий математики, на которых видна степень условности выбора конкретного набора аксиом - понятие множества. Сначала оно казалось совершенно очевидным. К сожалению, этот подход привёл к противоречиям. После этого стали развиваться разные способы работать со множествами не приходя к парадоксам. Понятие множества используется во многих разделах математики, из-за чего работать со множествами обычно учат постепенно, по кусочкам добавляя факты как естественные и самоочевидные основы, пока не получится теория, носящая имя ZFC. Из-за этого часто оказывается заметён под ковёр тот факт, что ZFC лишь один из возможных вариантов и что замена оснований теории множеств совсем не обязана рушить другие разделы математики. Курс будет посвящён рассказу о том, что может быть проблемой при пользовании какой-то аксиоматикой и сколь разнообразны варианты. Предварительные требования будут изменены в соответствии со знаниями и интересами аудитории; я надеюсь, что обозначения →, ∀, ∨, ∈, ∈, ∪, ... всё же всем знакомы и привычны настолько, что ошибочно кажутся понятными.

∙ Теория множеств: логика, формализм и кризис

Макар Светлый

Потенциальная и актуальная бесконечность. Наивная теория множеств Кантора. Мощность. Парадоксы теории множеств. Интуиционизм, логицизм, формализм. Теория доказательств. Программа Гильберта. Аксиоматики ZFC, ZFD, NBG. Полнота и непротиворечивость формальных систем, теоремы Геделя. Современное состояние оснований математики.

∙ Доказательность в математике

Юрий Ершов

Программа Гордона

Доказательность - главнейшая особенность математики, науки, представляющей образцы точности рассуждений. Но понятие доказательства долгое время не имело точного математического определения. О парадоксах в теории множеств и основаниях математики - академик РАН Юрий Ершов.

∙ Просто, как дважды два четыре

Наверное, каждый хотя бы раз в жизни слышал это выражение. Действительно, что может быть проще? Однако я знавал преподавателя математического анализа, который, услыхав подобное, ехидно улыбался в усы и предлагал доказать этот факт. После этого у говорившего обычно случался когнитивный диссонанс. И действительно, как же доказать, что 2 × 2 = 4?

∙ Про Бурали-Форти, Пуанкаре и то самое определение единицы

Если вы, уважаемый мой читатель, имеете обыкновение проводить много времени в интернете, вы наверняка уже видели картинку с замысловатым определением единицы. Наверняка также вы задавались вопросом: что, чёрт подери, здесь написано? Формула из этой цитаты интересна тем, что у человека, имеющего высшее математическое образование, этот вопрос возникает столь же неумолимо, как и у любознательного семиклассника.

∙ Алгебра - это геометрия для лентяев

Юрий Матиясевич

Метод координат, придуманный Рене Декартом, позволяет переформулировать любую задачу "на доказательство" из элементарной (грубо говоря, "школьной") геометрии в виде высказывания о вещественных числах. А что делать потом? Ведь уже для корней алгебраических уравнений пятой степени с одной неизвестной не существует явной формулы "в радикалах", а при переводе геометрических утверждений на алгебраический язык будут возникать сложные утверждения, содержащие много переменных, связанных как кванторами существования (это "неизвестные"), так и кванторами общности (это "параметры"). К счастью, польский логик и математик Альфред Тарский нашел в сороковые годы двадцатого столетия универсальный метод, позволяющий узнавать истинность или ложность любого высказывания про конечное множество вещественных чисел. Первоначальное авторское изложение этого метода занимало целую книгу и было очень трудно для восприятия. С тех пор многие авторы упрощали метод Тарского, и сегодня этот замечательный результат может быть доказан со всеми деталями за два часа и, надеюсь, понят старшеклассниками и младшекурсниками.

∙ Доказуемо рекурсивные функции

Лев Беклемишев

Вычислимая функция f:N→N называется доказуемо рекурсивной в данной формальной теории T, если существует алгоритм её вычисления такой, что в T можно доказать утверждение "для любого x существует y такой, что f(x)=y". В математической логике такие функции изучаются по двум причинам. Во-первых, для данной программы нас часто интересует доказательство её корректности, в частности вопрос о том, завершает ли она работу при любых исходных данных. С другой стороны, варьируя функцию f мы можем ставить для теории T сколь угодно сложные (вплоть до невыполнимости) задачи на доказательство. Тем самым, доказуемо рекурсивные функции могут быть использованы для изучения различных формальных теорий. Такой подход приводит к наиболее впечатляющим на сегодняшний день примерам недоказуемых комбинаторных утверждений. Мы начнем с понятия машины Тьюринга и вычислимой функции. Разберемся, как формальная арифметика может говорить о вычислениях. Поймем, что для любых разумных систем аксиом T их запас доказуемо рекурсивных функций никак не может исчерпывать все вычислимые всюду определенные функции. Отсюда выведем первую теорему Гёделя о неполноте.

∙ Освобождение алгебры

В середине XIX века были сделаны открытия, которые в корне изменили алгебру и привели к ее окончательному отделению от арифметики. История открытия алгебры кватернионов и булевой алгебры.

∙ Качественная теория алгоритмов

Алексей Семёнов

"Качественная" теория алгоритмов (не касающаяся понятия сложности вычислений) может быть построена на интуитивном представлении о том, что такое алгоритм. Такого представления, при некотором его уточнении, оказывается достаточно для того, чтобы доказать первые базовые теоремы теории алгоритмов. В лекции будет приведено указанное уточнение, определено понятие вычислимости и понятие породимости ("выводимости в формальной системе"), доказано несколько теорем, другие теоремы - предложены в качестве задач. Будут приведены и примеры т.н. "уточнения понятия алгоритма". Для понимания лекции желательно умение читать по-русски, знание латинского алфавита и представление о натуральном ряде.

∙ Алгебра доказуемости и разреженная топология

Лев Беклемишев

В докладе рассмотрены два класса объектов, имеющих различную природу, но неожиданным образом аналогичные по своим свойствам. С одной стороны, так называемые алгебры доказуемости, возникающие при изучении свойств формальной доказуемости в арифметических теориях. С другой стороны, топологические пространства, наделённые одной или несколькими разреженными топологиями, то есть такими, что любое непустое подмножество X имеет хотя бы одну изолированную точку.

Конструктивная математика

Юрий Кудряшов

Принцип исключенного третьего говорит, что любое утверждение либо истинно, либо ложно. В этом курсе мы откажемся от принципа исключенного третьего. Мы не сможем ни доказывать от противного, ни перебирать случаи. Зато все наши доказательства будут в каком-то смысле конструктивны: доказательство существования объекта всегда можно будет превратить в компьютерную программу, которая строит этот объект. На практике конструктивные доказательства полезнее неконструктивных. Я расскажу о некоторых утверждениях конструктивной математики и о её связи с компьютерными системами доказательств.

Компьютерные доказательства

Лев Беклемишев

Какую часть математических доказательств можно поручить компьютеру? Какие существуют виды интерактивных систем поиска математических доказательств? В чем заключается теорема о четырех красках? И как она была доказана? Математик Лев Беклемишев о теории множеств, интерактивных системах и проблеме о четырех красок.

∙ Доказательства невозможности в математической логике и теории алгоритмов

Алексей Семёнов

Попытки дать математические определения понятий формального доказательства, истинности, формализованной деятельности по инструкции привели к построению математической логики и теории алгоритмов - области математики, результаты которой сформировали и продолжают формировать основы информатики и влиять на практическое использование цифровых технологий. Важнейшие результаты данной области, наряду с указанными определениями - это результаты о невозможности, в свою очередь тесно связанные с результатами об универсальности и диагональными конструкциями.

∙ Элементарная геометрия с точки зрения логики

Лев Беклемишев

Разные варианты выбора неопределяемых понятий. Система аксиом Тарского (по-видимому, самая простая из известных). Роль аксиом непрерывности с точки зрения различия логики первого и второго порядков. Модели и синтаксические интерпретации формальных теорий. Несколько классических интерпретаций, в том числе взаимная интерпретируемость гиперболической и евклидовой геометрии, элементарной геометрии Тарского и элементарной теории поля вещественных чисел, интерпретация теории поля вещественных чисел в арифметике натуральных чисел. Теоремы Тарского о полноте аксиоматики и о существовании алгоритма, распознающего истинность утверждений элементарной геометрии.

∙ История математики / The Story of Maths

ВВС

Математика - универсальный язык Вселенной, фундамент, на котором основаны все другие науки. Как человечество смогло открыть тайны этого универсального языка? Начиная с древнейших времен, прослеживается история математики до наших дней и завершается рассказом о наиболее важных проблемах современности. Их решение позволит лучше понять устройство нашего мира.

∙ Мозг и свобода воли

"Ученые научились предсказывать действия людей", "Сканеры мозга могут увидеть ваши решения еще до того, как вы их сделали" - такими заголовками пресса отреагировала на исследование группы немецких ученых под руководством Джона-Дилана Хайнеса (John-Dylan Haynes). В чем же состоял эксперимент, о котором идет речь?

∙ Есть ли у нас свобода воли?

Принцип свободы воли имеет следствия в религии, этике и науке. К примеру, в религии свобода воли подразумевает, что желания и выбор человека могут сосуществовать с божественным всеведением. В этике существование свободы воли определяет моральную ответственность людей за свои действия. В науке изучение свободы воли может выявить способы прогнозирования человеческого поведения.

∙ Начальные понятия дескриптивной теории алгоритмов

Владимир Успенский

В отличие от метрической теории алгоритмов, дескриптивная теория не занимается измерением ресурсов (таких как время, объём памяти), затрачиваемых при применении алгоритма к его возможным исходным данным (в другой терминологии - к его входам). Её интересует лишь, возможен алгоритм для решения данной задачи или нет. Начальные понятия дескриптивной теории алгоритмов суть: конструктивный обьект, алгоритм, число шагов алгоритма, вычислимая функция, перечислимое множество, разрешимое множество, сводимость нумераций, главная вычислимая нумерация, вычислимая операция.

∙ Рождение логической формы

Елена Драгалина-Черная

Философ Елена Драгалина-Черная о генезисе средневековой и современной логики, "Эрлангенской программе" и критерии Тарского.

∙ "Прозрачный поток" или "мутная вода"

Дмитрий Гусев

Законы логики играют большую роль в мышлении и речи. Их нарушение приводит к многочисленным логическим ошибкам, которые засоряют не только научное, но и повседневное мышление, мешают нам думать, общаться, понимать друг друга и самих себя, создавая серьезные коммуникативные затруднения. Неясность и неопределенность мышления, его непоследовательность и сумбурность, противоречивость и необоснованность является прямым результатом нарушения законов логики. Мышление, которое строится на их соблюдении, подобно прозрачному ручью, сквозь воды которого виден каждый камушек и песчинка его дна; ручью, к которому хочется припасть в знойный день, чтобы утолить жажду освежающей и приятной прохладой. Мышление, построенное на нарушениях логических законов, подобно мутному потоку, в котором ничего не видно, и вода совершенно непригодна для питья. Правда, некоторые говорят, что в мутной воде удобнее "ловить рыбу", однако добросовестный человек вряд ли может быть сторонником такой "рыбалки".

∙ Что такое синергетика, кому это нужно и кто это выдержит?

Дмитрий Чернавский

Все слышали слово "синергетика", гораздо меньше народу знает, что это относится к закономерностям развития сложных неравновесных систем, и уж совсем немногие точно представляют себе, что это такое. Из первых рук нам об этом расскажет один из адептов синергетики в России, автор физической концепции "белок - машина", биолог и физик Дмитрий Чернавский.

∙ Нейроэкономика: принять правильное решение

Василий Ключарев

Вопрос науки

Мозг человека реагирует на предложение о работе с низкой зарплатой так же, как на боль. Многие феномены, которые характеризуют экономическое поведение людей, ученые нашли у обезьян. Сейчас специалисты могут наблюдать за работой живого мозга и распознавать мысли человека. Как они это делают?

∙ Теоремы софиста Горгия и современная математика

Дмитрий Фон-Дер-Флаасс

Мы предлагаем вашему вниманию запись (с небольшими сокращениями и с сохранением авторского стиля) лекции, прочитанной Дмитрием Фон-Дер-Флаассом во Всероссийском детском центре "Орленок" в 2009 году.

∙ Когнитивные стратегии рассуждения

Елена Драгалина-Черная

Со времен Аристотеля логика считается нормативной теорией рассуждения. Если мы рассуждаем нелогично, мы в некотором смысле не рассуждаем вообще. Скажем, Готлоб Фреге, один из творцов современной математической логики, предлагает представить себе неких логических чужаков, которые рассуждают нелогично в нашем смысле. В таком случае, говорит Фреге, мы назовем их рассуждения просто родом некоего неизвестного нам до сих пор безумия. Нормативность логики в отношении рассуждения поддерживает и классик психологии Жан Пиаже, который заявляет с полной определенностью, что рассуждения ― это просто пропозициональные исчисления. Вместе с тем в современной когнитивной психологии накопилась критическая масса свидетельств о расхождении со стандартами логики обыденных рассуждений людей, не искушенных в академической логике. Оказывается, что люди с улицы значительно больше похожи на логических чужаков Фреге, а не на его идеальных логических агентов. В своих обычных рассуждениях они апеллируют к прошлому опыту. Философ Елена Драгалина-Черная о возможности мыслить нелогично, эксперименте Рут Берн и рациональности правила.

∙ Решения парадокса лжеца

Стивен Рид

"Данное высказывание ложно" - это классический вариант формулировки парадокса лжеца. Если предположить, что высказывание истинно, значит, человек должен говорить правду, но он признается, что лжет. А если высказывание на самом деле ложно, то человек должен нас обмануть, но в конечном счете говорит правду. Возникает противоречие: высказывание не может одновременно являться истинным и ложным. Это закон бивалентности: есть всего два истинностных значения, и у каждого высказывания может быть только одно из них. Философ Стивен Рид о неклассической логике, парадоксе Карри и принципе modus ponens.

∙ Эпистемология математического доказательства

Виталий Целищев

Доклад Виталия Целищева "Эпистемология математического доказательства" на конференции "Математика и философия". Научно-популярный фестиваль "Дни науки в Петерьурге" Фонда Династия. Санкт-Петербург, Дом ученых РАН. 21 апреля 2008 года.

∙ Мир как объект математики: основы научного мышления

Илья Егорычев

Любая научная теория содержит в себе модель, которая описывает ту или иную часть нашего мира и не важно, идет речь о физике или биологии. Для построения любых моделей используются строгие математические принципы, изучив которые можно понять, сколь невероятной полнотой и прогностической силой обладают научные теории. И в основе всего этого лежит математика - наука, которая может строго, но при этом лаконично и полно, описать любую научную теорию, ведь принципы, на которых она строится, невероятно глубинны и фундаментальны. Математика - не наука о числах или уравнениях, которые требуется запомнить, а фундаментальные закономерности мышления, которые мы обнаруживаем в самих себе. В ходе курса мы познакомимся и изучим: Аксиоматический метод; Формальные теории; Изоморфизмы; Модели в логике, физике, биологии.

∙ Как мыслят гении, или почему интеллект - не главное?

Мэрилин вос Савант, рекордсмен мира по IQ - 228 пунктов, - не внесла ничего ни в науку, ни в искусство, а всего лишь ведет колонку вопросов и ответов в журнале Parade. Самые что ни на есть посредственные физики обладают гораздо более высоким коэффициентом интеллекта, чем лауреат Нобелевской премии Ричард Фейнман, которого многие считают последним величайшим американским гением (его IQ составлял "всего лишь" приличные 122 пункта). Исследователи давно пытаются установить взаимосвязь между интеллектом и гением, но интеллекта оказывается явно недостаточно. В издательстве МИФ вышла книга "Взлом креатива" американского эксперта по креативности Майкла Микалко с примерами из работ известных мыслителей и практическими упражнениями по поиску оригинальных идей. Публикуем некоторые главы.

∙ Логика и интуиция

Александр Карпенко, Сергей Филонович, Алексей Семихатов

На грани безумия

Чаще всего мы принимаем важные решения именно благодаря синтезу логического мышления и интуиции. Тем не менее, логика - самостоятельная научная дисциплина, имеющая долгую историю. Эта дисциплина даже в философию вошла, создав нормы и формы человеческого мышления. А интуиция - познание чувственное, далёкое от науки... Как же соотносятся между собой интуиция и логика? Действительно ли есть два способа работы мозга или это разделение - условность? В чём заключается природа интуиции и стоит ли ей доверять?

∙ Апология математики

Владимир Успенский

В этой книге говориться о математике как о части культуры духовной. Данный текст писался не для математиков, а скорее для гуманитариев. Поэтому при его составлении в ряде случаев приходилось выбирать между понятностью и точностью. Предпочтение отдавалось понятности. Очерчивая место математики в современной культуре, автор пытается прояснить для читателей-нематематиков некоторые основные понятия и проблемы "царицы наук".

∙ Что такое число?

Немецкий математик Леопольд Кронекер писал: "Бог создал целые числа, всё остальное - дело рук человека". Число - основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

∙ Нейроэкономика принятия решения и иллюзия свободы воли

Василий Ключарев

Можно ли предсказать решение человека по активности его мозга? Оставляет ли нейробиология место свободе выбора? Может ли нейроэкономика пролить свет на природу социального влияния (конформизма, пропаганды, рекламы) на наше поведение? Об этом рассказывает Василий Ключарев, участник проекта БиоН, к.б.н.,исследователь и преподаватель в Университете Базеля (Швейцария), профессор Санкт-Петербургского университета, ведущий специалист в области нейробиологичских основ социального влияния и нейроэкономики в редакции журнала "Наука и жизнь" 20 апреля 2012 года на встрече в медиа-клубе "Высокие технологии".

∙ Занимательный компьютер: Моделирование эволюции в мире биоморфов

Дьюдни А. К.

Если живые существа уподобить часовым механизмам, то создавший их часовой мастер, по мнению Р.Докинза, биолога из Оксфорда, автора книги "Эгоистичный ген" (The Selfish Gene), должен быть слепым. В конце концов эволюцией управляют слепые физические силы. Докинз присоединился к полемике между креационистами и эволюционистами, поддерживая последних, о чем свидетельствует написанная им недавно другая книга - "Слепой часовой мастер" (The Blind Watchmaker). Чтобы проиллюстрировать одно из главных положений своей книги, Докинз написал компьютерную программу, которая позволяет пользователю моделировать эволюционный процесс, придумывая и графически изображая свои собственные формы жизни, абстрактные организмы, которые Докинз называет биоморфами.

∙ Михаил Бурцев: "Я решил заниматься наукой как хобби"

Интервью о пути в науку, научной среде и популяризации науки с кандидатом физико-математических наук, заведующим Лабораторией нейроинтеллекта и нейроморфных систем НБИКС "Курчатовский Институт" Михаилом Бурцевым.

∙ Компьютерные алгоритмы игры в шахматы

Почему результат игры в шахматы предопределен? Как происходило развитие шахматных программ? Чем различаются шахматные программы? На эти и другие вопросы отвечает кандидат физико-математических наук Дмитрий Дагаев.

∙ Сверточные нейронные сети

Виктор Лемпицкий

Специалист по Computer Science Виктор Лемпицкий об обучении нейронных сетей, распознавании образов и принципах работы приложения Prisma.

∙ Физическое моделирование, обратная связь и ее практическое применение

Александр Зильберман

Зильберман Александр Рафаилович. Летняя школа "Современная математика", г. Дубна 28 июля 2007 г.

∙ Ученые просчитали оптимальную стратегию игры в покер

Объявлено об успешном завершении работы компьютерной программы, просчитывавшей одну из версий покера - хедз-ап в лимитном техасском холдеме. Программа научилась принимать правильное решение в каждом из примерно 3,19×10^14 возможных состояний игры. Найденная таким образом стратегия на длинной дистанции должна обыгрывать остальные стратегии.

∙ Алгебры доказуемости

Лев Беклемишев

Аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано и ее фрагменты, являются традиционными объектами изучения в математической логике. В докладе будет рассказано о сравнительно новом подходе к изучению таких систем с алгебраической точки зрения. Будут описаны алгебраические структуры, возникающие при изучении формальной доказуемости, и приведены некоторые применения этих структур к вопросу о порядках роста вычислимых функций для фрагментов арифметики и к построению простых утверждений комбинаторного характера, независимых от аксиом арифметики Пеано. Также будет рассказано о топологической точке зрения на алгебры доказуемости, которая приводит к изучению некоторого интересного класса пространств.

∙ Троичный компьютер: Да, нет, может быть

В принципе, у троичной системы счисления было не меньше шансов, чем у двоичной. Кто знает, по какому пути развития пошел бы технический прогресс, если бы "трайты" одержали победу над "байтами". Как выглядели бы современные смартфоны или GPS-навигаторы, как отразилось бы значение "может быть" на их быстродействии?

∙ Математики о математике

Сейчас многие математики, примыкающие к так называемому интуиционистскому направлению, отрицают доказательства, основанные на принципе исключённого третьего и на аксиоме произвольного выбора, хотя среди этих утверждений есть и классические теоремы математического анализа. Нет единства среди математиков и по вопросу о том, как относиться к доказательствам чисто математических теорем, полученных с помощью ЭВМ. Но ещё более глубокие противоречия разделяют учёных по таким вопросам, как определение движущих сил развития математической науки, выяснение причин "непостижимой эффективности" математики в физических науках, прогнозирование дальнейшего развития математики и оценка значимости тех или иных достижений.

∙ Сложность булевых функций

Сергей Гашков

Математик Сергей Гашков о самых простых функциях в математике, алгебре логики и ее применении в современных технологиях.

∙ Энциклопедии элементарной математики

Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я.

Сборник книг предназначается для людей, изучавших элементарную математику и уже ставших или готовящихся стать преподавателями элементарной математики. Логика нашего издания - это логика систематического, по возможности простого и доступного изложения тех вопросов математической науки, из которых строится школьный курс, а также и тех, которые хотя и не находят в этом курсе прямого выражения, однако необходимы для правильного и сознательного его понимания и создают перспективы для дальнейшего развития содержания и методов школьного курса.

∙ Об основаниях теории множеств

П. Дж. Коэн

Читатель безусловно ощутит горечь пессимизма в моих заметках. Математика подобна прометееву труду, который полон жизни, силы и привлекательности, но содержит в самом себе зерно разрушающего сомнения. К счастью, мы редко останавливаемся, чтобы обозреть положение дел и подумать об этих глубочайших вопросах.

∙ Бесконечности бывают разные

Уверены ли вы, что точно представляете себе бесконечность? Харизматичный математик Джеймс запросто убедит вас в обратном.

∙ Математика бесконечности

Юрий Лебедев

Когда у меня в руках оказалась старая картонная папка, я был уже уверен, что в ней не вырезки из газет о "царице полей" кукурузе. И совершенно не удивился тому, что моя уверенность оправдалась. В папке находились рукописи или, точнее, черновики двух статей - "Принципы семиотической термодинамики", "Отказ от исключения" - и целая пачка других, для прочтения которых потребуется еще много усилий. Ни имени автора, ни даты написания на листках не было. Вероятнее всего, папку забыл кто-то из "дикарей" прошлых лет. Не имея возможности объясниться с автором, я решил предложить вашему вниманию свой вариант расшифровки одной из этих до крайности небрежно написанных неудобочитаемым почерком статей.

∙ А нужен ли выбор? (альтернатива аксиоме выбора в теории множеств)

Михаил Раскин

Современная математика в качестве своего основания использует теорию множеств. Традиционно при анализе теоретико-множественных тонкостей используется аксиоматика Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, обозначаемая ZFC. На аксиому выбора опираются доказательства наличия базиса в любом векторном пространстве и существования неизмеримого множества в математическом анализе. К сожалению, теория множеств обязана работать и со множествами, которые не описываются достаточно подробно и конкретно, чтобы мы могли себе их представить. В курсе будет рассмотрен один пример, к чему это приводит. Оказывается, ценой ослабления аксиомы выбора можно получить теорию множеств, в которой любая ограниченная функция на отрезке интегрируема по Лебегу. То, что используется аксиома выбора, в каком-то смысле, произошло исторически. Курс основан на статье Р.М. Соловэя о построении теории множеств, в которой все множества вещественных чисел измеримы.

∙ Теория множеств для начинающих

Виктор Викторов

Основные понятия, операции над множествами, тождества, свойства дополнения, правило Де Моргана, свойства симметрической разности; отображение (функция), факторотображение, отношение эквивалентности, парадокс брадобрея; упорядоченные множества, минимальный, наименьший, максимальный и наибольший элементы в упорядоченном множестве, мажоранта и миноранта; аксиома выбора, вполне упорядоченное множество.

∙ "Мы не можем ждать милостей от природы", или применение метода вынуждения в построении моделей теории множеств

Михаил Раскин

В теории множеств есть несколько известных вопросов о том, следует ли из некоторых аксиом другая аксиома (или гипотеза; аксиома - это просто гипотеза, которой пользуется подавляющее большинство). Как и в других областях математики, недоказуемость можно продемонстрировать с помощью модели, в которой верны предположения, но не верна гипотеза. Для построения одного из самых известных таких примеров, модели теории множеств, в которой есть промежуточная мощность между мощностями натурального ряда и вещественной прямой, Коэн разработал метод вынуждения.

∙ Неевклидова геометрия Лобачевского

Валентина Кириченко

Параллельные прямые не пересекаются даже в геометрии Лобачевского. Где-то в фильмах часто можно встретить фразу: "А у нашего Лобачевского параллельные прямые пересеклись". Звучит красиво, но не соответствует действительности. Николай Иванович Лобачевский действительно придумал необыкновенную геометрию, в которой параллельные прямые ведут себя совсем не так, как мы привыкли. Но все же не пересекаются. Математик Валентина Кириченко о постулатах геометрии Евклида, аксиоме Лобачевского и критике Льюиса Кэрролла.

∙ История понятия числовой прямой

Галина Синкевич

Понятие числовой прямой сформировалось в конце XIX - начале XX веков. Мы рассмотрим этапы развития этого понятия в работах М. Штифеля (1544 г.), Галилея (1633 г.), Эйлера (1748 г.), Ламберта (1766 г.), Больцано (1830-е гг.), Мере (1869, 1872 гг.), Кантора (1872г.), Гейне (1872 г.), Дедекинда (1872 г.) и Вейерштрасса (с 1861 по 1885 гг).

∙ Неевклидова геометрия

Правдива ли евклидова геометрия? Верно ли она описывает пространство, в котором мы живем? Что значит истинность геометрии? Гаусс был одержимый идеей эмпирической верификации теорем евклидовой геометрии, и даже сам лично принял участие в проверке теоремы о равенстве π суммы внутренних углов треугольника. В этом направлении долгое время Гаусс работал один, продолжая начатую задолго до него критическую линию по пересмотру евклидовой геометрии. Но вот в 1830-е годы появились две важные работы, которые он с энтузиазмом поддержал. Это были работа русского математика, ректора Казанского университета Николая Лобачевского и работа венгра Яноша Бойяи.

∙ Парадоксы теории множеств

Иван Ященко

При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом: "Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет?" В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обходится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два. Приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

∙ Математика как форма существования мира идей в нашем сознании

Леон Тахтаджян

Это будут четыре коротеньких рассказика. Начнем мы с чисел, потом поговорим о движении, об изменении, затем мы обсудим формы и размеры, а затем - начало и конец. В таком несколько зашифрованном стиле мы и попробуем посмотреть на математику изнутри и снаружи, причем именно как на предмет. То, о чем математики мыслят и чем живут, - об этом мы с вами сможем поговорить потом. Мы увидим, что некоторые вещи, которые нам кажутся очевидными, таковыми совсем не являются. Простые вещи могут оказаться сложными, а сложные - простыми.

∙ Почему минус на минус дает плюс?

Почему минус один умножить на минус один равно плюс один? Почему минус один умножить на плюс один равно минус один? Проще всего ответить: "Потому что таковы правила действий над отрицательными числами". Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

∙ История расширения числовой области

Жак Сезиано

За два тысячелетия произошло три важных расширения числовой области. Во-первых, около 450 г. до н.э. учёные школы Пифагора доказали существование иррациональных чисел. Их начальной целью было числовое выражение диагонали единичного квадрата. Во-вторых, в XIII-XV веках европейские учёные, решая системы линейных уравнений, допустили возможность одного отрицательного решения. И, в-третьих, в 1572 г. итальянский алгебраист Рафаэль Бомбелли использовал комплексные числа для получения действительного решения некоего кубического уравнения.

∙ Судьба переводов Кантора в России

Галина Синкевич

Труды Кантора в России начали переводить и пересказывать с 1892 года в Одессе, Москве, Томске, Казани, Петрограде. Идеи теории множеств были с энтузиазмом восприняты в России как математиками, так и философами, в их популяризации приняли участие такие известные учёные, как И.Ю. Тимченко, С.О. Шатуновский, А.В. Васильев, П.А. Флоренский, Б.К. Млодзеевский, В.Л. Некрасов, И.И. Жегалкин, П.С. Юшкевич-отец, А.И. Фет, А.П. Юшкевич-сын, А.Н. Колмогоров, Ф.А. Медведев. В Москве в 1911 году возникла школа теории функций и дескриптивной теории множеств. В 1970 году академик Понтрягин оценил теорию множеств как ненужную для молодых математиков, и подготовленный перевод трудов Кантора не вышел в свет. Мы впервые расскажем о трагической судьбе этого перевода.

∙ Михаил Цфасман: "Математика - это наука красоты"

Михаил Цфасман

О современной математике рассказывает Михаил Цфасман, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и Национального центра научных исследований (Франция), проректор по научной работе и профессор Независимого московского университета.

∙ Понятие числа от Евдокса до Клиффорда

Владлен Тиморин

Математик Владлен Тиморин о преимуществах комплексных чисел, кватернионах Гамильтона, восьмимерных числах Кэли и о разнообразии чисел в геометрии.

∙ "Николай Лобачевский" (1983)

Документальный фильм режиссера Е. Гордиенко по сценарию А. Липкова "Николай Лобачевский" из цикла "Великие имена России" рассказывает о жизни и творчестве великого русского ученого Н.И. Лобачевского (1792-1856), работы которого положили начало новому направлению в математике - неевклидовой геометрии. Гостелерадио СССР, 1983 г.

∙ Неужели это правда, что ни у одного плоского треугольника сумма углов не равна 180 градусам?

Владимир Тихомиров

В докладе на примере геометрий Евклида и Лобачевского будет обсуждаться вопрос о том, что такое математическая истина и что означает "непротиворечивость геометрии". Будет рассказано об эволюции геометрических идей от Фалеса и Евклида до Пуанкаре и Гильберта, а также о специальной теории относительности Эйнштейна и об учебнике А. Н. Колмогорова по геометрии.

∙ Числа, множества, операции

Валерий Опойцев

Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение "странных" объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра "Ним" на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.

∙ Трансцендентность и иррациональность числа Пи

Илья Щуров

Математик Илья Щуров о десятичных дробях, трансцендентности и иррациональности числа Пи.

∙ Числа и многочлены

Проскуряков И. В.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с "дважды два - четыре" и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.

∙ Нужна ли философам современная математика?

Валерий Еровенко

В статье рассматриваются различные проблемы математического образования философов. Даже негативный школьный опыт практического освоения математики дает представление о математике, как особом предмете, требующем углубленного изучения для его понимания в целом. Знание математики бесстрастно проверяет готовность к усвоению абстрактных философских рассуждений. Истинная цель математического образования философов - это не только приобретение конкретных знаний, а, прежде всего, развитие мышления или разума, направленного на познание, которое иногда называют философией. В этой статье мы пытаемся ответить на вопрос: чем и почему математика полезна для университетского философского образования?

∙ Что такое математика?

Валерий Губин

...Математика изучает принципы и результаты деятельности вообще, как бы вырабатывая заготовки для описания реальной деятельности и ее результатов, и в этом заключается один из источников ее универсальности.

∙ Почему современному человеку не обойтись без математики

Пифагорейцы утверждали, что числа правят миром, а Александр Суворов называл математику "гимнастикой ума". Сейчас интерес к этой науке постепенно возрождается. T&P поговорили с пятью известными математиками, чтобы разобраться, зачем формулы и уравнения нужны в повседневной жизни, почему математика - интересный и творческий предмет, и что теряет гуманитарий, отмахиваясь от этой науки.

∙ Философия науки - "пятое колесо в телеге" или "сферический конь в вакууме"?

Лада Шиповалова

Такого рода вопросы часто слышны от студентов, ученых, философов. Порой они возникают и у того, кто называется философом науки. Но иногда подобные рассуждения сопровождает глубокое убеждение о том, что философия, а также философия науки актуальны и выживают вне зависимости от перипетий научной и образовательной политики. Действительно ли это так? И почему философия науки не является ни "пятым колесом в телеге", ни "сферическим конем в вакууме"? На эти и другие вопросы даст подробный ответ Лада Владимировна Шиповалова, доцент кафедры философии науки и техники, доктор философских наук, лектор Открытого Философского Факультета.

∙ Различие как концепт современной философии

Диана Гаспарян

Понятие "различие" кажется очень общим, но его нужно сразу конкретизировать, чтобы понимать, о чем идет речь в некоторых разделах современной философии, где, к примеру, говорится о философии различия. А в общем различие становится таким важным концептом, который несколько переформатирует фундаментальные эпистемологические установки.

∙ Неклассическая философия

Диана Гаспарян

Пафос западной философии всегда состоял в том, что если мы делаем ставку на рацио, то можем обезопасить себя от помрачений, что рациональность сращена с нравственным началом и неизбежно ведет в сторону света. В XX веке стало ясно, что классическая рациональность с этими задачами не справляется, и после этого начался опыт переосмысления именно этих рациональных установок. Предпринималась попытка понять, что в старой рациональности не так и может ли быть некоторая новая рациональность, которая теперь предоставит лучшую защиту. Философ Диана Гаспарян о разнице между классической и неклассической философией, ошибках рационализма и искусственном интеллекте.

∙ Философия математики

Карл Гаусс, в своё время, назвал математику царицей всех наук, отдавая ей особое место в сфере человеческого знания. Действительно, совершенно непохожая на другие науки, она скорее служит для них языком или методом изучения. Являясь, пожалуй, самой строгой из всех наук, она не имеет собственного строгого и общепринятого определения. На протяжении всей своей истории, преобразуясь сама, преобразовывалось и понятие о математике. Учёные, в течении всего развития математики, смогли составить скорее не определения математики, а набор афоризмов характеризующий её или представления о ней.

∙ Что такое реальность?

Диана Гаспарян

Обычно мы определяем реальность как то, что есть. Есть в любом случае. Реальность не зависит ни от чего другого, кроме себя самой. Нет таких внешних условий, которые ее определяют. Проще всего это увидеть через отношение наблюдателя к реальности: в мире что-то происходит независимо от того, знаем мы об этом или не знаем, наблюдаем или не наблюдаем. Как бы ни разнились мнения разных наблюдателей, есть что-то такое, что существует само по себе, постоянное и неустранимое. Равно не может быть много разных реальностей: они все равно будут частью одной. Реальность, таким образом, мы мыслим как единственную. Трудно представить, чтобы кто-то мог мыслить реальность по-другому. Но тут начинаются настоящие философские головоломки. Философ Диана Гаспарян о нашем восприятии реальности, трансцендентализме и невозможности устранить наблюдателя.

∙ Традиционные и современные формы солипсизма

Диана Гаспарян

Солипсизм (термин, который можно условно перевести с латинского solus и ipse - "единственный" и "сам") означает в философии трудности логического доказательства того, что за пределами сознания некоторого наблюдателя существует реальный мир. Как обосновывается солипсизм? Беркли впервые и очень ярко и красочно показал достаточно простую вещь. Фактически он настаивал на том, что солипсическую идею даже не нужно обосновывать, она лежит на поверхности, представляя собой некоторую аксиому. Философ Диана Гаспарян об определении субъекта и объекта, корреляционизме и современной эпистемологии.

∙ Что такое время?

Махди Годазгар

Время - это то, с чем мы имеем дело каждый день и характеризуем как прошлое, настоящее и будущее. Прогрессия времени воплощается в наш опыт, и будущее становится настоящим, а настоящее - прошлым. Фактически невозможно говорить о движении и динамике без концепции времени и его прогрессии. Это похоже на наше восприятие пространства. Говоря о каком-то событии, вполне реально спросить, где оно произошло и когда. Время, так же как и пространственные координаты, - это маркер для определения событий. Однако вполне ясно, что время отличается от пространства тем, как мы его воспринимаем в повседневной жизни. Если по пространственным координатам мы можем ходить свободно в любом направлении, то в случае со временем мы вынуждены двигаться вперед и все время в одном и том же темпе. Как бы мы ни старались, часы всегда будут тикать в одном темпе. Будущее будет приходить на смену настоящему, которое, в свою очередь, будет становиться прошлым. Это восприятие времени как следования одному направлению странным образом не подтверждается фундаментальным описанием природы, и этот вопрос остается одной из самых сложных загадок теоретической физики.

∙ Возможна ли деконструкция в математике

Олег Аронсон

Доклад Олега Аронсона "Возможна ли деконструкция в математике?" на конференции "Математика и философия". Научно-популярный фестиваль "Дни науки в Петербурге" Фонда Династия. Санкт-Петербург, Дом ученых РАН. 21 апреля 2008 года.

∙ Философия математики

Предпосылки возникновения математики как науки. Математика как теоретическая наука в Древней Греции. "Начала" Евклида и пятый постулат. Николай Лобачевский, и неевклидовые геометрии. Геометрия Римана. Математизация естественных наук. Математика как "метанаука". Роль математики в построении естественнонаучных теорий. Роль математики в научной революции Нового времени. Математический аппарат физики. Вклад математики в развитие науки и культуры. Математика в гуманитарных науках.

∙ Трансцендентализм

Диана Гаспарян

Трансцендентализм восходит к средневековой, во многом схоластической риторике. Там он употреблялся довольно часто, но не в том значении, в котором он потом закрепился в философской традиции, стал означать гораздо более важные сюжетообразующие вещи, которые на сегодняшний день часто и имеются в виду в связи с этим словом.

∙ Философские и методологические проблемы математики

Беляев Е. А., Перминов В. Я.

Монография посвящена философским и методологическим проблемам математики. Кратко прослеживается эволюция воззрений на математику с античности до настоящего времени и рассматриваются наиболее важные проблемы современного ее понимания: отношение математических понятий к логике, к эмпирическому знанию и к категориальным представлениям о мире. Выясняется связь методологических идей в математике с философскими воззрениями на сущность ее предмета и метода.

∙ Критика идеализма в современной философии

Диана Гаспарян

Экзистенциализм. Хайдеггер: особенность человеческого существования Dasein. Экзистенциализм Сартра. Философия жизни. Структурализм. Постструктурализм. Фердинанд де Соссюр: язык есть пучок различий. Жак Деррида и Жан Лиотар.

∙ Критика основ классической метафизики

Диана Гаспарян

Определение метафизики. Метафизика vs Позитивизм. Верификация и фальсификация. Логический позитивизм и Людвиг Витгенштейн. Критика субъектоцентризма. Структурализм. Детрансцендирование и имманентизм в философии. Критика субъект-объектного дуализма. Феноменология Гуссерля и интенциональность. Мартин Хайдеггер: не субъект, но Dasein. Мишель Фуко: смерть субъекта.

∙ Профессия - ученый: философ-эпистемолог

Диана Гаспарян

Эпистемология - это учение о познании, или, правильнее сказать, о способах получения, производства знания. В России долгое время использовался термин "гносеология", но в западноевропейской традиции все-таки чаще употребляется термин "эпистемология", и он более конвертируем. Философ-эпистемолог пытается понять, какие фундаментальные установки лежат в основе любого знания, обнаружить принципы, которые так или иначе определяют более конкретное знание. Философ Диана Гаспарян о задачах эпистемологии, парадоксах знания и повседневности философов.

∙ Математика и ее онтологические основания в России

Лорен Грэм

Доклад Лорена Грэма "Математика и ее онтологические основания в России" на конференции "Математика и философия". Научно-популярный фестиваль "Дни науки в Петерурге" Фонда Династия. Санкт-Петербург, Дом ученых РАН. 21 апреля 2008 года.

∙ Множественные вселенные могут оказаться одной и той же Вселенной

Если концепция мультивселенной кажется странной, так это потому, что нам нужно поменять наши представления о времени и пространстве.

∙ Бритва Оккама

Самое красивое и простое объяснение скорее всего и есть правильное.

∙ Математика и онтология. Бадью как зеркало платонизма

Алексей Черняков

Доклад Алексея Чернякова "Математика и онтология. Бадью как зеркало платонизма" на конференции "Математика и философия". Научно-популярный фестиваль "Дни науки в Петербурге" Фонда Династия. Санкт-Петербург, Дом ученых РАН. 21 апреля 2008 года.

∙ Онтология и математика

Виталий Целищев

Лекция Виталия Целищева "Онтология и математика" Научно-популярный фестиваль "Дни науки". Санкт-Петербург, СПбГУ, Философский факультет 23 апреля 2008 года.

∙ Может ли мир быть компьютерной симуляцией?

Гипотеза о том, что наша Вселенная - это компьютерная симуляция или голограмма, все активнее будоражит умы ученых и филантропов. Образованное человечество еще никогда не было так уверено в иллюзорности всего происходящего. Разговоры ученых о нереальности нашего мира ложатся на подготовленную массовой культурой почву.

∙ Критерий красоты в науке

К научной теории можно подходить не только как к инструменту для объяснения явлений природы, но и как к произведению искусства. Эта мысль вряд ли удивит кого-нибудь из ученых - каждый из них за время своей работы не раз сталкивался с подобными рассуждениями, а иногда и сам принимал в них участие.

∙ Почему математика так хорошо описывает реальность?

Noson S. Yanofsky

Одна из самых интересных проблем философии науки - это связь математики и физической реальности. Почему математика так хорошо описывает происходящее во вселенной? Ведь многие области математики были сформированы без какого-либо участия физики, однако, как в итоге оказалось, они стали основой в описании некоторых физических законов. Как это можно объяснить?

∙ Математика порождает Вселенную?

Как известно, Галилей заявил, что Вселенная является "великой книгой", написанной на языке математики. Почему же наша Вселенная кажется нам столь математичной? Как это понимать? Вселенная не просто описывается при помощи математики, но она сама и есть математика в том смысле, что все мы представляем собой элементы гигантского математического объекта, который, в свою очередь, является частью мультивселенной - столь гигантской, что по сравнению с ней остальные мультивселенные, о которых говорили в последние годы, выглядят малыми.

∙ Что такое случайность?

Чайковский Ю. В.

Ещё на заре европейской науки Демокрит полагал, что причину имеет всё, и что случайность люди ввели, "чтобы оправдать свою глупость". Однако он же положил в основание своей натурфилософии беспорядочное движение атомов, из-за которого явления приходится фактически рассматривать как случайные. В этом противоречии наука и пребывает 2400 лет: хотя без случайности ни один род деятельности (в том числе и ни одна теория явлений - природы или общества) обойтись не может, но до сих пор можно услышать и прочесть, что случайности как таковой в строгом представлении первой научной картины мира не существует. Тем не менее, в наше время можно привести аккуратные примеры случайности, не сводящиеся к незнанию или непониманию причин, что ниже и будет сделано.

∙ От частиц к людям

Шон Кэрролл

Современная наука не регистрирует мистические явления. Но как быть с тем, что возможно существование сил, которые мы пока не в состоянии обнаружить? Могут ли они отвечать за экстрасенсорное восприятие, быть базой для паранормальных явлений и дать надежду на существование бессмертной души? Именно на это и уповают сторонники сверхъестественного, однако фундаментальные законы физики не оставляют места мечтам о тонких мирах.

∙ Размышления о математике

Алексей Семихатов

Почему мы рассматриваем окружающий мир через призму математической логики? Как была открыта планета Нептун? И как Максвелл вывел свои уравнения? Как мы воспринимаем размерность пространства? Каким образом связаны логическое математическое мышление и интуиция? Как были описаны фракталы? Апории Зенона "Ахиллес и черепаха", отель Гильберта и размерности пространства. Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? Полупростые группы Ли, классификация элементарных частиц и математические моделях в природе.

∙ Детерминизм

Если известны начальные условия системы, можно, используя законы природы, предсказать ее конечное состояние.

∙ Реальность - это математика

Если есть что-то, что стоит над всеми современными теориями и используется для исследование реальности, то оно должно выражаться не словами, а математикой. Математикой не просто легче описать реальность, это единственный способ описать её. Если наиболее подробное описание реальности лучше всего описывается математикой, то не смотрит ли главное определение реальности нам в лицо?

∙ Наша математическая Вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности

Макс Тегмарк

Галилео Галилей заметил, что Вселенная ― это книга, написанная на языке математики. Макс Тегмарк полагает, что наш физический мир в некотором смысле и есть математика. Известный космолог, профессор Массачусетского технологического института приглашает читателей присоединиться к поискам фундаментальной природы реальности и ведет за собой через бесконечное пространство и время ― от микрокосма субатомных частиц к макрокосму Вселенной.

∙ Красота математики: между научной объективностью и эстетической субъективностью

Алексей Семихатов, Олег Аронсон

Что значит само понятие "красота математики" сегодня, когда сама эстетическая категория прекрасного оказывается под большим вопросом? Существует ли "красота математики" или это не более чем клише или оксюморон? Как объяснить то, что в случае бозона Хиггса физический феномен обнаружился в природе именно в том виде, в каком его предсказывали не слишком хитрые математические трюки? Может ли математика быть применима к устройству мироздания в целом? Позволяют ли точные науки считать Вселенную познаваемой и предсказуемой и что на это скажет философия?

∙ Физика обладает предсказательной силой

Алексей Семихатов

О математической физике рассказывает Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.

∙ Четвертый уровень мульти-вселенной Макса Тегмарка

Попробуйте выведать у физика, что такое время. Это вам очевидно, что время это последовательность событий и оно течет вперед. Чем больше вы знаете и чем глубже погружаетесь, тем менее это становится очевидным. Описание того, что такое время, все больше схлопывается к тому, что время - это буквочка t, которая участвует в таких-то математических уравнениях. По мере движения к все более фундаментальному уровню математика становится все более сложной, а словесно-описательный багаж начинает все больше вырождаться. В пределе, предполагает Макс, у Общей Теории Всего нет багажа. Физика пытается найти уравнения для нашего мира, исходя из наблюдений и экспериментальных данных. Макс предлагает рассмотреть "Физику Наоборот" - вы задаете уравнения, какой мир вы получаете?

∙ Всё и Ничто / Everything and Nothing (2011)

BBC

Бескрайняя, необозримая и сложная Вселенная уже несколько тысяч лет является предметом восхищения и объектом научных исследований. Ее загадки могут показаться далекими и непостижимыми, но нам на помощь приходит профессор Джим Аль-Халили. Он попытается объяснить всё, что известно о вселенной, и немного больше.

∙ Гипотеза математической вселенной Макса Тегмарка

Согласно гипотезе, предложенной физиком-теоретиком Максом Тегмарком, наша внешняя физическая реальность является математической структурой. То есть, физический мир является математическим в определённом смысле. Все математические структуры, которые можно вычислить, существуют. Гипотеза предполагает, что миры, соответствующие различным наборам начальных состояний, физических констант, или совсем других уравнений, можно рассматривать как одинаково реальные.

∙ Применимы ли законы математики вблизи черных дыр?

Билл Най

В этом эпизоде веб-сериала "TuesdaysWithBill", Билл Най, американский инженер, актёр и телеведущий-популяризатор науки ответит на вопрос поклонника из солнечного штата Калифорния о том, действуют ли законы математики вблизи черных дыр?

∙ Время

Алексей Семихатов

По мере накопления человеческого опыта представления о времени менялись. В 20 веке благодаря Эйнштейну стало понятно - время относительно, оно не может быть одинаковым везде и для всех. Выяснилось, что время может течь по-разному, в зависимости от нашего личного восприятия, а также от скорости движения. Мы узнаем, как это все возможно, кроме того, поговорим о парадоксах и "фокусах", которые могут происходить со временем, расскажем, что такое пространство-время, а также попробуем измерить самые малые временные промежутки. Как течет время далеко от Земли, может ли оно остановиться или пойти другим путем, как, где и почему искривляется пространство-время, возможно ли повторение времени, то есть возвращение во "вчера"? Сможем ли мы когда-нибудь отправиться в прошлое и будущее, и к каким парадоксам это может привести?

∙ Пределы бесконечного

Сергей Бешенков, Владимир Катасонов

Программа Гордона

Бесконечное является одной из фундаментальных категорий человеческого мышления. Одной стороной проблемы бесконечного является вопрос о бесконечности мира (а также времени, истории, вещей). Что собой представляет бесконечность? Осознание и признание бесконечности. Эти вопросы обсуждают Сергей Бешенков - доктор физико-математических наук, Владимир Катасонов - доктор философских наук.

∙ Непостижимая эффективность математики в естественных науках

Юджин Вигнер

Рассказывают такую историю. Встретились как-то раз два приятеля, знавшие друг друга еще со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем занимается. Один из приятелей стал статистиком и работал в области прогнозирования изменения численности народонаселения. Оттиск одной из своих работ статистик показал бывшему соученику. Начиналась работа, как обычно, с гауссова распределения. Статистик растолковал своему приятелю смысл используемых в работе обозначений для истинных показателей народонаселения, для средних и т. д. Приятель был немного недоверчив и отнюдь не был уверен в том, что статистикего не разыгрывает. - Откуда тебе известно, что все обстоит именно так, а не иначе? - спросил он. - А это что за символ? - Ах, это, - ответил статистик. - Это число π. - А что оно означает? - Отношение длины окружности к ее диаметру. - Ну, знаешь, говори, да не заговаривайся, - обиделся приятель статистика. - Какое отношение имеет численность народонаселения к длине окружности?

∙ Возвращаясь к истокам: Философия и Матрица / Return to Source: Philosophy & The Matrix

В фильме делается попытка оценить и описать историческое, философское и технологическое содержание известной трилогии "Матрица".

∙ Что такое философия?

Дмитрий Носов

Философия как особый взгляд на мир. Философия и пути истины. Философия и рациональность. Протонаука и античная наука. Определение философии. Концепция "осевого времени". От мифа к Логосу. Фалес Милетский. Европа и мир.

∙ Теория детерминизма Лапласа и её критика

Французский физик Пьер Симон Лаплас поставил важный вопрос, о том, всё ли в мире предопределено предыдущим состоянием мира, либо же причина может вызвать несколько следствий. Как и предполагается философской традицией сам Лаплас в своей книге "Изложение системы мира" не задавал никаких вопросов, а сказал уже готовый ответ о том, что да, всё в мире предопределено, однако как часто и случается в философии предложенная Лапласом картина мира не убедила всех и тем самым его ответ породил дискуссию вокруг того вопроса, которая продолжается и по сей день. Несмотря на мнение некоторых философов от том, что квантовая механика разрешила данный вопрос в пользу вероятностного подхода, тем не менее, теория Лапласа о полной предопределенности или как её иначе называют теория лапласовского детерминизма обсуждаема и сегодня.

∙ Математический язык в познании и мышлении

Алексей Семихатов

Почему мы рассматриваем окружающий мир через призму математической логики? Как была открыта планета Нептун? И как Максвелл вывел свои уравнения? Об этом рассказывает Алексей Михайлович Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.

∙ Научное воображение

Представьте себе электрические и магнитные поля. Что вы для этого сделали? Знаете ли вы, как это нужно сделать? И как я сам представляю себе электрическое и магнитное поля? Что я на самом деле при этом вижу? Что требуется от научного воображения? Отличается ли оно чем-то от попытки представить себе комнату, полную невидимых ангелов? Нет, это не похоже на такую попытку.

∙ Антропный принцип в теории струн

Анатолий Дымарский

Теория струн - это гибкий конструктор, из которого можно собрать очень много других теорий. Но это понимание пришло не сразу. Изначально предполагалось, что теория струн станет кандидатом на описание фундаментальных взаимодействий. И поскольку теория струн не имеет свободного параметра, предполагалось, что она даст ответ на вопрос, почему наш мир устроен именно так, как он устроен. Но потом возникло понимание, что теория струн очень гибкая, хотя она и не имеет свободных параметров. Она как конструктор, из которого можно сделать много других теорий. И получается, что вместо предсказаний о физических свойствах нашего мира мы можем предсказать, что существует целый набор гипотетических миров, и количество других вселенных с другими физическими свойствами оказывается огромным. Физик Анатолий Дымарский о физических теориях, описаниях взаимодействий частиц и недостатках теории струн.

∙ Точность: Измерение всех вещей / Precision: The Measure of All Things (2013)

BBC

Вместе с профессором Маркусом дю Сотоем мы отправимся в удивительное путешествие в мир измерений. Он попытается узнать, почему мы постоянно хотим измерить и определить количество всего, что нас окружает. Мы узнаем, как были определены такие понятия как метр, секунда и величина веса, а также как мы научились измерять высокие температуры, свет и электричество.

∙ Возможно, наша Вселенная виртуальная. Но имеет ли это значение?

Некоторые ученые полагают, что наша Вселенная представляет собой гигантскую компьютерную симуляцию. Должны ли мы беспокоиться по этому поводу? Реальны ли мы? А как насчет меня лично? Раньше подобными вопросами задавались лишь философы. Ученые же пытались понять, что собой представляет наш мир, и объяснить его законы. Но появившиеся в последнее время соображения относительно устройства Вселенной ставят экзистенциальные вопросы и перед наукой. Некоторые физики, космологи и специалисты в области искусственного интеллекта подозревают, что мы все живем внутри гигантской компьютерной симуляции, принимая виртуальный мир за реальность.

∙ Теория всего

Анатолий Дымарский

Однажды я услышал как в сериале "Теория большого взрыва" Шелдон Купер говорил, что теория струн - это теория всего. Что он имел в виду под этим? В том контексте, хоть и не всерьез, имелось в виду следующее. Теория струн может описывать все фундаментальные взаимодействия. Теория струн предполагалась как кандидат на единую теорию всего, то есть всех фундаментальных взаимодействий. Физик Анатолий Дымарский о физических теориях, описаниях взаимодействий частиц и недостатках теории струн.

∙ Реально ли многомирие?

Юрий Лебедев

Параллельные, пересекающиеся, ветвящиеся и вновь сходящиеся вместе миры. Что это - выдумка писателей-фантастов или реальность, ещё не осознанная? Тема многомирия, развиваемая философами с античных времён, в середине XX века стала предметом обсуждения физиков. На основе принципа взаимодействия наблюдателя с квантовой реальностью появилась новая интерпретация квантовой механики, получившая название "оксфордской". Её автор, молодой физик Хью Эверетт, встречался с Нильсом Бором, основателем общепринятой на тот момент "копенгагенской" интерпретации квантовой механики. Но общего языка они не нашли. Их миры разошлись...

∙ Урок астрономии

Юноша и нравящаяся ему девушка встречаются вечером у костра. Девушка задаёт вопрос о звёздном небе, и между собеседниками завязывается романтический диалог. Она спрашивает о планетах, звёздах и Вселенной, и он в образных выражениях, стихах и цитатах известных учёных (Джордано Бруно, Альберта Эйнштейна, Фрица Хоутерманса) отвечает на её вопросы, рассказывая о о загадках Космоса, загадках галактик, тайнах конечного и бесконечного. Заканчивается фильм грустным, но предопределённым переходом из романтического мира астрономии в простой и жестокий мир грубой и невесёлой обыденности.

∙ Эффективна ли математика в описании мира?

Математику часто называют языком Вселенной. Ученые и инженеры часто говорят об элегантности математики при описании физической реальности, ссылаясь на такие примеры, как E=mc^2 и простой подсчет объектов реального мира. Тем не менее, до сих пор не утихают дискуссии по поводу того, является ли математика основой всего сущего, открыта ли она нами или просто создана нашим воображением, как способ описания мира. Первая точка зрения относится к математическому платонизму, сторонники которого склонны считать, что математика была не создана, а лишь обнаружена людьми.

∙ Парадокс Лапласа

Эмиль Ахмедов

XVIII-XIX века прошли под знаком успеха механики Ньютона, которая показала поразительную эффективность при описании движения планет Солнечной системы. Но наука начала двигаться вперед, когда отказалась от этого механистического подхода. Под знаком всего этого происходящего возник такой парадокс Лапласа, который говорит о том, что везде отсутствует воля. То есть человек не может поступать по собственной воле, все предопределено и предсказуемо. Физик Эмиль Ахмедов о дифференциальных уравнениях, идеальных линиях и точках и решении парадокса Лапласа.

∙ Из чего состоит всё? Фундаментальные частицы и природа реальности

Александр Козьмин

Курилка Гутенберга

Лекцию читает научный сотрудник МИЭТ Александр Козьмин.

∙ Дискуссия с В. И. Арнольдом о том, что такое математика

Владимир Тихомиров

В своей статье "Что такое математика" В. И. Арнольд писал: "Является ли математика перечислением следствий из произвольных аксиом или же ветвью естествознаия и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося вслед за Декартом и, предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре (основателя современной математики, топологии, теории хаоса в динамических системах)." В лекции будет обсуждаться вопрос Арнольда, а заодно будет рассказано о самом Арнольде, а также о Николя Бурбаки, Давиде Гильберте, Рене Декарте и Анри Пуанкаре. И об их вкладе в науку.

∙ Математика и современная картина Вселенной

Борис Воронов, Алексей Семихатов

Программа Гордона

Насколько математика влияет на наше мировоззрение, как научное, так и повседневное? Как эта наука, пользуясь своими языком и методами, описывает и формирует физическую картину мира? О традиции и смене парадигм в математике рассказывают доктор физико-математических наук Борис Воронов и Алексей Семихатов.

∙ Математика и интуиция

Алексей Семихатов

Как мы воспринимаем размерность пространства? Каким образом связаны логическое математическое мышление и интуиция? Как были описаны фракталы? Об апории Зенона "Ахиллес и черепаха", отеле Гильберта и размерности пространства рассказывает Алексей Михайлович Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.

∙ Великая тайна математики (2016)

NOVA

Мы живем во времена удивительного прогресса. Инженеры способны отправить робота размером с автомобиль на Марс, физики рассматривают мельчайшие элементы материи, а мы общаемся без проводов через обширную всемирную сеть. Но в основании всех этих чудес лежит что-то глубокое и загадочно великое, что называют языком вселенной и, пожалуй, главным достижением цивилизации. Что это? Это математика. Но откуда математика появилась? Почему она безупречно работает во всех областях науки? Альберт Эйнштейн задавался вопросом, как так получается, что математике удается так хорошо описывать вселенную. Создана ли математика человеком? Является ли математика ключом к пониманию космоса? Наш мир не просто обладает некоторыми математическими свойствами, он состоит только из математических свойств.

∙ Что такое реальность? / What Is Reality?

BBC

Окружающий нас мир всегда был немного странным и таинственным. Большую часть времени он скрыт от нашего сознания. Изучение природы реальности уводило учёных далеко за грани понимаемого. Реальность начинается с атома и достигает чёрных дыр протягиваясь до границ Вселенной. Но будьте осторожны. Как только вы войдете в их реальность, вы никогда не сможете смотреть на мир прежними глазами.

∙ Круглый стол "Математика и философия"

Участники: Олег Аронсон, Алексей Черняков, Виталий Целищев, Жан-Мишель Кантор, Лорен Грэм, Андрей Парибок, Николай Мнев, Виктор Лапицкий, Андрей Гриб, Кирилл Копейкин, Александр Секацкий, Федор Андрианов. Ведущие: Алексей Семихатов и Наталья Печерская. Научно-популярный фестиваль "Дни науки", организованный фондом Дмитрия Зимина "Династия". Санкт-Петербург, Дом ученых РАН. 22 апреля 2008 года.

∙ Теория всего

Алексей Семихатов

Современная теоретическая физика в очень высокой степени полагается на симметрии, потому что, каким-то образом, "Господь запустил Вселенную" (опять-таки, я ставлю... открываю, а потом закрываю кавычки), заложив в нее глубокие принципы симметрии. Теория Всего - это попытка угадать ту симметрию, которая вероятно действовала в момент, очень близкий к рождению Вселенной, и по законам которой получились и кварки (там не только кварки, электрон, например, такие-сякие нейтрино и фотон), и структуру галактик, именно такое распределение материй во Вселенной, общие изотропные свойства Вселенной, и так далее. Другими словами, задача стоит угадать то самое уравнение, согласно которому получили ту Вселенную, которую мы получили.

∙ Физика и свобода воли

Борис Режабек, Ростислав Полищук

Программа Гордона

Существует ли в мире предопределенность? Как связаны свобода и ответственность? Почему живое способно к усложнению и развитию, а неживое только лишь к устойчивым формам? Как связано творчество (появление нового) и процесс эволюции? О принципах устойчивого неравновесия и квантовой механики доктор физико-математических наук Ростислав Полищук и кандидат биологических наук Борис Режабек.

∙ Математика - главный язык науки

Лев Беклемишев, Михаил Бурцев, Алексей Семихатов

На грани безумия

"Математика - царица наук" - это высказывание великого немецкого математика Карла Гаусса известно всем. Математические методы используются во всех естественных науках: начиная с физики и заканчивая биологией. Но как же появилась и развивалась одна из самых важных и сложных наук? Почему основой всех естественных наук является именно математика? Как возникли математические доказательства?

∙ Пасьянс времени

Надежда Багдасарьян, Акоп Назаретян, Алексей Семихатов

На грани безумия

Время - наверное самый уникальный и, что главное, невосполнимый "ресурс", которым обладает человечество. Стремительно бегущие секунды плавно перетекают в дни, недели и года, создавая наше прошлое, настоящее и будущее. При этом, нет ничего субъективнее понятия времени, ведь каждый человек ощущает его по-своему: жители мегаполисов неустанно переворачивают листы календарей, удивляясь его скоротечности, а представители одного из "современных" племён вовсе живут вне временных рамок. Эта беседа о самом необычном феномене и о том, почему восприятие и ощущение времени может меняться.

∙ Тайны квантовой физики / The Secrets of Quantum Physics

BBC

Профессор физики Джим Аль-Халили исследует наиболее точную и одну из самых запутанных научных теорий - квантовую физику. В начале 20-го века учёные проникли в скрытые глубины материи, в субатомные строительные блоки мира вокруг нас. Они обнаружили явления, которые отличаются от всего увиденного ранее. Мир, где всё может находится во многих местах одновременно, где действительность по-настоящему существует, лишь когда мы наблюдаем за ней. Альберт Эйнштейн противился одной только мысли о том, что в основе сущности природы лежит случайность. Квантовая физика подразумевает, что субатомные частицы могут взаимодействовать быстрее скорости света, а это противоречит его теории относительности.

∙ Порядок и беспорядок / Order and Disorder (2012)

Профессор Джим Аль-Халили совершая экскурс в историю пытается разобраться в том, что такое энергия и информация, а так же о той значимости, которую они играют не только для человечества, но и для всей Вселенной в целом.

∙ Математика и законы природы

Владимир Тихомиров

В лекции будет освещена основная концепция Ньютона, согласно которой законы природы описываются на языке математического анализа (по преимуществу, на языке дифференциальных уравнений). Будет рассказано о математическом описании законов Архимеда, Галилея, Кеплера, Ферма, Гука, о началах математической физики в трудах Н. Бернулли, Эйлера, Лапласа и Фурье, о формуле сложения скоростей Эйнштейна и об уравнении Шрёдингера.

∙ Тайный код жизни / The Code

BBC

Математик, профессор Маркус дю Сатель рассказывает в этом фильме о том, как законы математики пронизывают своей строгой красотой все формы нашего мира.

∙ Энтропия и целесообразность

Владимир Буданов, Александр Панов, Карима Нигматулина-Мащицкая

На грани безумия

В обыденном окружении чаще всего призывают к целесообразности мыслей, поступков, решений. И, кстати, синонимы целесообразности звучат как "уместность, полезность и рациональность..." Вот только на интуитивном уровне кажется - чего-то не хватает. Энтропии? Беспорядка? Так его полно в физическом мире - утверждает ведущая программы, доктор физико-математических наук, Карима Нигматулина-Мащицкая. А гости программы пытались воссоединить в единое целое два понятия - энтропию и целесообразность. Участники программы: доктор философских наук, кандидат физико-математических наук, Владимир Буданов, и доктор физико-математических наук, Александр Панов.

∙ Что такое жизнь с точки зрения физики?

Эрвин Шрёдингер

Эрвин Рудольф Йозеф Александр Шредингер - австрийский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии по физике. Один из разработчиков квантовой механики и волновой теории материи. В 1945 г. Шредингер пишет книгу "Что такое жизнь с точки зрения физики?", оказавшую существенное влияние на развитие биофизики и молекулярной биологии. В этой книге внимательно рассмотрено несколько важнейших проблем. Основополагающим является вопрос: "Как могут физика и химия объяснить те явления в пространстве и времени, которые имеют место внутри живого организма?" Прочтение этой книги даст не только обширный теоретический материал, но и заставит задуматься над тем, что же в сущности есть жизнь?

∙ "К гадалке не ходи..."

Михаил Раскин

Вероника сидит в комнате. На улице дождь. Вероника ставит ТеХ и смотрит фехтование. Ей многое интересно. Когда закончится дождь? Не повисла ли установка ТеХа? Будет ли следующая атака по корпусу или по маске? Конечно, чтобы узнать ответ наверняка, Веронике придётся подождать. Двое физиков порождают случайный шум. Один ищет радиочастоту, где сигнал не портит помехи, его соседка водит счётчиком Гейгера. Есть много ситуаций, когда знание, происходящего не позволяет нам предсказывать дальнейшее. Я постараюсь объяснить, откуда (и как по-разному) они берутся.

∙ Парадокс Зенона

Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося...

∙ Скрытые параметры в квантовой механике и Теорема Белла

Больше всего Эйнштейн протестовал против необходимости описывать явления микромира в терминах вероятностей и волновых функций, а не с привычной позиции координат и скоростей частиц. Вот что он имел в виду под "игрой в кости". Он признавал, что описание движения электронов через их скорости и координаты противоречит принципу неопределенности. Но, утверждал Эйнштейн, должны существовать еще какие-то переменные или параметры, с учетом которых квантово-механическая картина микромира вернется на путь целостности и детерминизма. То есть, настаивал он, нам только кажется, будто Бог играет с нами в кости, потому что мы не всё понимаем. Тем самым он первым сформулировал гипотезу скрытой переменной в уравнениях квантовой механики. Она состоит в том, что на самом деле электроны имеют фиксированные координаты и скорость, подобно ньютоновским бильярдным шарам, а принцип неопределенности и вероятностный подход к их определению в рамках квантовой механики - результат неполноты самой теории, из-за чего она и не позволяет их доподлинно определить.

∙ Математическая теория информации Клода Шеннона

Андрей Соболевский

В 1948 году американский математик Клод Шеннон опубликовал статью "Математическая теория информации". Тогда, 70 лет назад, эта работа легла в основу современной теории информации и принесла ученому мировую славу. А математика с тех пор стала влиять на жизнь людей в реальном, а не отложенном времени. О том, где сегодня лежит граница между полезной и бесполезной математикой, мы решили спросить директора Института проблем передачи информации имени Харкевича Российской академии наук Андрея Соболевского.

∙ История философии в кратком изложении

Книга коллектива авторов Чехословацкой АН представляет собой краткие очерки по истории философской мысли от ее истоков до немецкой классической философии включительно. Рассматриваются философские культуры стран Междуречья, древней и средневековой Индии, Китая, античного мира, средневековья и Нового времени.

∙ Краткая история философии

Гусев Д. А.

В книге изложены философские идеи мыслителей Древнего мира, Средних веков, эпохи Возрождения, Нового времени и современной эпохи. Рассмотрены аристотелевская, ньютоновская и эйнштейновская научные картины мира. представлен краткий словарь терминов. Для школьников, учащихся средних специальных учебных заведений, студентов вузов, а также для всех, кто интересуется философией.

∙ Вселенные на кончике пера

Дмитрий Горбунов, Михаил Маров, Алексей Семихатов

На грани безумия

Как самостоятельная наука Геометрия зародилась еще в Древней Греции. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объема. Интересно, как бы отреагировал Эвклид на теорию четырехмерного подхода? Новые представления о мире связаны с многомерностью пространства. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: "Все вокруг геометрия!". В начале 21-го столетия мы с еще большим изумлением можем это повторить. Что же такое современная геометрия? И как она используется в разных науках?

∙ Число, время, свет

Владимир Кассандров

Программа Гордона

Существует ли единый "Код Природы"? Может ли число порождать свет, а свет - материю? В чем суть основных принципов "неопифагорейского" подхода к построению физических теорий? О "реке времени" и частицах как точках "сгущения" первичных световых потоков - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Российского университета дружбы народов (РУДН) Владимир Всеволодович Кассандров.

∙ Симметрии и антиматерия

Павел Пахлов

Симметрии в физике - это не только отражение красоты законов природы, но и некая гарантия нашей стабильности: каждая симметрия соответствует закону сохранения некоторой величины. Благодаря этим законам мы убеждены, что энергия, механическое движение или вращение не исчезнут и не возникнут в одночасье. Особое место в физике занимают дискретные симметрии, постулирующие неизменность законов природы при замене "правого" на "левое", "вперед" на "назад", "плюс" на "минус". Именно из последней симметрии более 80 лет назад вывели античастицы, антиматерию и даже антимиры. Хотя античастицы действительно существуют, оказалось, что дискретные симметрии не такие уж точные. Для одного из взаимодействий (названного "слабым") правое и левое ведут себя по-разному, а законы природы при движении вперед отличаются от законов при движении назад. Более того, антимиры, если они вообще существуют, возможно, совсем не похожи на наш привычный мир...

∙ Переосмысляя прогресс

Виктор Аргонов Project

Симфония не является в строгом смысле аудио-произведением. Это философский рассказ о прошлой и будущей истории отношений человека и технологий: от наивного восхищения "прогрессом ради прогресса", через переосмысление идеалов, через попытки бегства от реальности и череду новых открытий - к реальному духовному преображению человечества. Целевой аудиторией являются люди, которым интересна мелодичная и экспериментальная электронная музыка, трансгуманистическая футурология, философия сознания, этики и религии, психология изменённых состояний сознания, а также в целом научная фантастика.

∙ Проблема начал и проблема идеального

Диана Гаспарян

Античность. Мудрецы и философы. Натурфилософия: Парменид, Гераклит, Демокрит и парадкосы элеатов, Апории Зенона. Возникал ли мир? Проблема нового. Обращение к идеальному. Идеи. Мысленный эксперимент и диалоги Платона. Категории Аристотеля. Трансценденталии. Аристотель. Критика идеализма Платона.

∙ Большой Адронный Коллайдер как инструмент развития математики

Алексей Семихатов

Отчаянные по степени научной смелости и сложности эксперименты на Большом Адронном Коллайдере - это попытка оживить процесс познания Вселенной средствами чистой логики. Этот процесс начался в тот момент, когда Ньютон угадал, что Луна подчиняется в точности тому же закону движения, что и яблоко. С тех пор рафинированный логический анализ - математика - приобрел "непостижимую эффективность" в своей способности делать предсказания, которые непременно сбываются.

∙ Абстрактное и конкретное в математике

Алексей Семихатов

Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? О полупростых группах Ли, классификации элементарных частиц и математических моделях в природе рассказывает Алексей Михайлович Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.

∙ Принцип неопределенности Гейзенберга

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

∙ Эффект бабочки

Владимир Буданов, Аркадий Липкин, Алексей Семихатов

На грани безумия

Путешественник в прошлое случайно раздавил бабочку. Незначительная оплошность. Однако она повлекла катастрофические изменения в далеком будущем. Насекомое из рассказа Рэя Бредбери "И грянул гром" породило термин "эффект бабочки", широко известный в естественных науках. Сюжет писателя-фантаста стал предисловием к дискуссии экспертов о свойстве хаотических систем. В чем секреты и закономерности хаотичных явлений?

∙ Мир многих миров. Физики в поисках иных вселенных

Александр Виленкин

Физик, профессор Университета Тафтса (США) Алекс Виленкин знакомит читателя с последними научными достижениями в сфере космологии и излагает собственную теорию, доказывающую возможность - и, более того, вероятность - существования бесчисленных параллельных вселенных. Выводы из его гипотезы ошеломляют: за границами нашего мира раскинулось множество других миров, похожих на наш или принципиально иных, населенных невообразимыми созданиями или существами, неотличимыми от людей.

∙ Парадоксы путешествия во времени

Джеймс Глейк

Я сомневаюсь, что какое-либо явление, реальное или вымышленное, послужило поводом для более озадачивающих, извилистых и невероятно бесплодных философских изысканий, чем путешествия во времени. (Некоторые возможные их конкуренты, например, детерминизм и свобода воли, так или иначе связаны с аргументацией против путешествий во времени.) В своем классическом труде "Введение в философский анализ" Джон Хосперс задается вопросом: "Возможно ли, с точки зрения логики, вернуться назад во времени, скажем, в 3000 год до н. э., и помочь египтянам построить пирамиды? Нам следует сохранять бдительность в этом вопросе".

∙ Зачем физике математика?

Анатолий Ягола, Николай Нефёдов, Всеволод Твердислов

Великое в малом

Испокон веков математика считается главным посредником между человеком и природой. Именно в ней нашли своё отражение логика и порядок устройства Вселенной, которым подчинён весь окружающий мир. Эта наука настолько прочно проникла во все сферы жизни общества, что мы, даже не замечая этого, регулярно прибегаем к простейшим математическим вычислениям и терминологии. Точные формулы позволяют учёным детально описать, спрогнозировать и просчитать до мелочей результаты любого процесса и явления. А уж научно-технический прогресс своим стремительным развитием обязан исключительно математике, ведь без неё он бы так и остался фантастической идеей в умах миллионов. Ещё итальянский астроном Галилео Галилей сказал: "Великая книга природы написана математическими символами". Позднее эту гипотезу подтвердил на практике один из основоположников современной физики - Исаак Ньютон. Тем самым, навсегда сделав два важнейших научных направления единым целым. Но так ли велика роль "царицы наук" в современной физике? Какие непознанные горизонты математика ещё может приоткрыть учёным?

Волгоград. 04.11.23, 17:50.