Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
a²+b²=c²

Опустим из вершины прямого угла C высоту CH на сторону AB. Получим, что прямоугольные треугольники BCA и CHA подобны по двум углам (один угол A у них общий - одинаков, другой - прямой). Также прямоугольные треугольники BCA и CHB подобны по двум углам (угол B общий, другой угол прямой). Следовательно, отношения сторон равны:
b/c = c_a/b (из треугольников BCA ~ CHA)
a/c = c_b/a (из треугольников BCA ~ CHB)
Откуда
b² = c*c_a
a² = c*c_b
Складываем оба равенства и получаем:
a²+b² = c*(c_a+c_b)=c*c=c²
Доказано.

Вписанный угол

Вписанный в окружность угол - угол, вершина которого находится на окружности, а стороны пересекают окружность. Центральный угол - угол с центром в центре окружности.

Теорема 1

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Доказательство

Проведём радиус OA. Мы имеем |OA|=|OB|=|OC|=R радиус окружности.
Отсюда: все треугольники AOB, AOC, BOC - равнобедренные. Значит, углы при их основаниях равны.
угол(ABO)=угол(OAB)=x
угол(ACO)=угол(OAC)=y
Заметим, что сумма углов при A есть угол(OAB)+угол(OAC)=угол(BAC), наш вписанный угол.
То есть угол(BAC)=x+y

Теперь учтём, что сумма углов в обеих треугольниках составляет 180°
угол(ABO)+угол(OAB)+угол(AOB)=2*x+угол(AOB)=180°
угол(ACO)+угол(OAC)+угол(AOC)=2*y+угол(AOC)=180°

Сложим два последние равенства:
2*(x+y) + угол(AOB)+угол(AOC)=360°
2*угол(BAC) + угол(AOB)+угол(AOC)=360°

Наконец, заметим, что сумма всех центральных углов у точки O составляет 360° - полный круг.
угол(AOB)+угол(AOC)+угол(BOC)=360°
Откуда угол(AOB)+угол(AOC)=360°-угол(BOC)

Подставим в предыдущее равенство:
2*угол(BAC) + угол(AOB)+угол(AOC)=2*угол(BAC) + 360°-угол(BOC)=360°
Сокращаем 360° и переносим угол(BOC) направо.
2*угол(BAC)=угол(BOC)
или угол(BAC)=угол(BOC)/2
что и требовалось доказать.

Случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла, рассматривается аналогично. Рассматривается не сумма, а разность углов.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или хорду), равны между собой.

Это так, поскольку все эти вписанные углы равны половине центрального угла BOC.

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр окружности - прямые.

Центральный угол в этом случае равен 180° Поэтому вписанные углы равны его половине, то есть 90°

Задача

Доказательство

|AP|=|PK|=|PM|=R
|BQ|=|QK|=|QM|=r
Треугольники APK, KPM, BQK, KQM - равнобедренные, значит углы при основаниях равны.
Углы PAB и ABQ - прямые.

Угол(AMK) опирается на хорду AK и потому равен половине центрального угла APK.
угол(AMK)=угол(APK)/2
Аналогично, угол(BMK)=угол(BQK)/2
Где угол(AMB)=угол(AMK)+угол(BMK)
То есть угол(AMB)=(угол(APK)+угол(BQK))/2 {формула X1}

угол(BAK)+угол(KAP)=90°
угол(ABK)+угол(KBQ)=90°
так как касательные перпендикулярны радиусам в точках касания. Сумма углов треугольника KAB=180°, значит
угол(AKB)=180°-угол(KAB)-угол(KBA)=
=180° - (90°-угол(KAP)) - (90°-угол(KBQ))=угол(KAP)+угол(KBQ)

Из равнобедренности треугольников APK и KQB получаем:
угол(KAP)=угол(AKP)=(180°-угол(APK))/2 {сумма углов треугольника=180°}
угол(KBQ)=угол(BKQ)=(180°-угол(BQK))/2
Откуда
угол(KAP)+угол(KBQ)=180°-(угол(APK)+угол(BQK))/2
Мы получили
Угол(AKB)=угол(KAP)+угол(KBQ)=180°-(угол(APK)+угол(BQK))/2= {по формуле X1}
= 180°-угол(AMB)
угол(AKB)+угол(AMB)=180°
что и требовалось доказать.

Следствие 3

Пусть хорды AD и СB пересекаются в точке M.
Тогда |AM|*|MD|=|BM|*|MC|

Доказательство

угол(ABC)=угол(ADC) так как они опираются на одну и ту же хорду AC (Следствие-1).
угол(AMB)=угол(CMD) так как это вертикальные углы.
Отсюда вытекает, что треугольники AMB и CMD подобны (по двум углам).
На самом деле ещё и угол(BAD)=угол(BCD) как опирающиеся на одну и ту же хорду/дугу BD. То есть, в треугольниках равны все три угла (а как иначе, если два равны?).

Из подобия имеем равенство отношения сторон: |AM|/|MB|=|CM|/|MD|
или |AM|*|MD|=|CM|*|MB|
Что и требовалось.

Описанная окружность

Окружность, описанная вокруг треугольника - это окружность, которой принадлежат все три вершины треугольника. Через любые три точки всегда можно провести окружность, и окружность эта единственна (доказывается конструктивно: методом построения).

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника - это окружность, которой принадлежат все четыре вершины четырёхугольника. Вокруг четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

Теорема 2

Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов четырёхугольника равны 180°

Доказательство

Четырёхугольник ABDC. Описанная окружность с центром O.
Утверждается, что
угол(BAC)+угол(BDC)=180°
угол(ABD)+угол(ACD)=180°

Докажем первое равенство. Построим центральный угол BOC, опирающийся на хорду BC (она же - диагональ четырёхугольника).
По теореме-1
угол(BAC)=угол(BO₁C)/2=угол₁/2
По теореме-1
угол(BDC)=угол(BO₂C)/2=угол₂/2
Заметим, что мы имеем в виду два разных центральных угла BOC, угол₁ опирается на дугу BDC, а угол₂ - на дугу BAC.

Теперь заметим, что в сумме эти два центральных угла при точке O образуют полный круг, 360°
угол₁+угол₂=360°

Сложим наши равенства:
угол(BAC)+угол(BDC)=(угол(BO₁C)+угол(BO₂C))/2=(угол₁+угол₂)/2=360°/2=180°
Что и требовалось доказать. Пара других углов доказывается аналогично.

Замечание

Про пару других углов доказывать ничего не надо, если учесть, что сумма углов четырёхугольника равна 360°. Тогда, если сумма пары углов есть 180° то пара других углов в сумме даёт как раз 360°-180°=180°.

Формула для суммы углов четырёхугольника получается так: проводим диагональ, делящую четырёхугольник на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника есть 180°. Сумма углов четырёхугольника есть сумма всех углов этих двух треугольников = 180°+180° = 360°.

Теорема 3

Если суммы противоположных углов выпуклого четырёхугольника попарно равны 180°, то вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство

Через три точки всегда можно провести окружность. Проведём окружность через BDC.
Пусть угол(BDC)+угол(BAC)=180° и угол(ABD)+угол(ACD)=180°
Предположим, что точка A не попадает на окружность и лежит внутри круга. Продолжим сторону BA до пересечения с окружностью - точкой A₁. Поскольку четырёхугольник A₁BDC вписан в окружность, то по теореме-2 сумма углов угол(BDC)+угол(BA₁C)=180°

Вычитая друг из друга равенства
угол(BDC)+угол(BAC)=180°
угол(BDC)+угол(BA₁C)=180°
получим, что угол(BAC)=угол(BA₁C)

Что невозможно, потому что угол(BAC) > угол(BA₁C) как внешний угол треугольника AA₁C. Значит, наше предположение что A лежит внутри окружности - неверно. Аналогично можно доказать, что A не лежит вне окружности. Следовательно, A лежит на окружности (совпадает с A₁), и вокруг нашего четырёхугольника можно описать окружность.

Пояснение про внешний угол
Сумма углов треугольника AA₁C есть угол(AA₁C)+угол(A₁CA)+угол(CAA₁)=180°
Углы A₁AC и CAB - смежные, то есть угол(A₁AC)+угол(CAB)=180°
Тогда
угол(CAB)=180°-угол(A₁AC)=180°-(180°-угол(AA₁C)-угол(ACA₁))=
=угол(AA₁C)+угол(ACA₁) > угол(AA₁C)=угол(BA₁C)

Теорема 4

Теорема-2 и теорема-3 дают следующий критерий: около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°

Задача

Пусть Н - основание высоты ВН остроугольного треугольника АВС, точки K и L - основания перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АВ и ВС соответственно. Верно ли, что около четырёхугольника AKLC можно описать окружность?

Решение

Нам нужно доказать, что
угол(AKL)+угол(ACL)=180°
угол(CLK)+угол(CAK)=180°
Докажем первое равенство, второе аналогично.

Заметим, что в четырёхугольнике BKHL сумма противоположных углов угол(HKB)+угол(HLB)=90°+90°=180°
Поскольку сумма всех углов прямоугольника есть 360°, то получаем, что
угол(KBL)+угол(KHL)=360°-угол(HKB)-угол(HLB)=360°-180°=180°
А значит, четырёхугольник BKHL удовлетворяет нашему критерию, и вокруг него можно описать окружность. Опишем её.
Заметим, в частности, что тогда BH - диаметр этой окружности, а AC - касательная к ней.

Заметим, что вписанные в окружность углы HKL и HBL опираются на одну и ту же дугу HL, а потому равны (Следствие-1).
угол(HKL)=угол(HBL)
Из прямоугольного треугольника BHC имеем (сумма углов треугольника есть 180°)
угол(HBL)=угол(HBC)=180°-угол(BCH)-угол(BHC)=180°-угол(BCH)-90°=90°-угол(BCH)=90°-угол(LCH)
Тогда
угол(AKL)+угол(LCA)=угол(AKL)+угол(LCH)=угол(AKH)+угол(HKL) + угол(LCH)=90°+угол(HKL) + угол(LCH)=
   вспоминая, что угол(HKL)=угол(HBL)=угол(HBC) как вписанные
=90°+угол(HBC)+угол(LCH)=
   вспоминая, что угол(HBC)=90°-угол(LCH)
=90°+90°-угол(LCH)+угол(LCH)=180°
Что и требовалось.

То есть, суммы противоположных углов четырёхугольника AKLC равны 180°, и вокруг него можно описать окружность.

В качестве замечания: в прямоугольном треугольнике HLC
угол(LHC)=90°-угол(LCH)=угол(HBC)=угол(HBL)=угол(HKL)
И в прямоугольном треугольнике BHL
угол(BHL)=90°-угол(HBL)=90°-(90°-угол(LCH))=угол(LCH)
Заметим, что вписанные углы BHL и BKL опираются на одну и ту же дугу BL. А значит, углы равны.
угол(BKL)=угол(BHL), что в свою очередь равно угол(LCH)

Немного тригонометрии

Теорема синусов

В любом треугольнике отношения противолежащих сторон к синусам углов равны и совпадают с диаметром описанной вокруг треугольника окружности.

Доказательство

Назовём углы при вершинах буквами, совпадающими с названиями вершин: угол(A), угол(B), угол(C). Утверждается, что в треугольнике ABC справедливо
|BC| / sin(A)=|AC| / sin(B)=|AB| / sin(C)=2*R
Где R есть радиус описанной окружности, 2*R=диаметр.

Вокруг любого треугольника можно описать (единственную) окружность. Опишем её.
Теперь проведём из вершины B диаметр этой окружности: BD.
Вписанные углы CAB (угол(A)) и CDB (угол(D)) опираются на одну и ту же дугу CB, а потому равны (Следствие-1).
Но треугольник BCD - прямоугольный, потому что угол(DCB) опирается на диаметр описанной окружности, а следовательно - прямой (Следствие-2).
В прямоугольном треугольнике BCD по определению
sin(D)=|CB| / |DB| = |CB| / (2*R)
Но угол(D)=угол(A), а значит sin(D)=sin(A)=|CB| / (2*R)
или |CB| / sin(A) = 2*R

Аналогично доказывается, что |AC| / sin(B) = 2*R и |AB| / sin(C) = 2*R.
А значит, все три отношения равны между собой.

Рассмотрим также второй случай, когда центр описанной окружности лежит вне треугольника ABC.

Аналогично: проводим диаметр BD из вершины B. Вписанные углы CAB и CDB опираются на одну и ту же хорду CB, но на противоположные дуги (дающие в сумме полный круг). Если вспомнить Теорему-1, то сумма центральных углов для этих дуг есть 360°, а значит сумма вписанных углов есть половина от 360°, то есть угол(CAB)+угол(CDB)=180° или угол(A)+угол(D)=180°
(Хм, не это ли условие того, что вокруг четырёхугольника ABDC описана окружность? Теорема-4).

В прямоугольном треугольнике BCD
sin(D) = |BC| / |BD| = |BC| / (2*R)
Но известно, что sin(180°-x)=sin(x), поэтому
sin(A)=sin(180°-D)=sin(D) = |BC| / (2*R)
То есть, соотношение |BC| / sin(A) = 2*R сохраняется.

Теорема синусов (другой способ)

Теперь докажем теорему синусов традиционным способом, без привлечения описанной окружности. Соответственно, мы не сможем вывести равенство отношений 2*R.

Обозначим:
угол(CAB)=угол(A)
угол(ABC)=угол(B)
|AC|=b |AB|=c |CB|=a |CH|=h (высота треугольника) |AH|=c_a |HB|=c_b

Доказательство

В прямоугольном треугольнике AHC
sin(A)=|CH| / |AC| = h/b
В прямоугольном треугольнике CHB
sin(B)=|CH| / |CB| = h/a
Высота h в обоих треугольниках одинакова.
Откуда h=sin(A)*b = sin(B)*a
Или b / sin(B) = a / sin(A)

Аналогично для третьего угла и его противолежащей стороны.

Теорема косинусов

Тот же чертёж:
a² = b² + c² - 2*b*c*cos(A).

Доказательство

Рассмотрим случай остроугольного треугольника.
В прямоугольном треугольнике CHB по теореме Пифагора имеем:
h² + c_b² = a²
В прямоугольном треугольнике CHA по теореме Пифагора имеем:
h² + c_a² = b²
В первое равенство подставим c_b=c - c_a
h² + (c - c_a)² = a²
h² + c² + c_a² - 2*c*c_a = a²
Заменим тут h² + c_a² = b²
Получим:
b² + c² - 2*c*c_a = a²

Наконец, в прямоугольном треугольнике AHC по определению cos(A)=c_a/b
Откуда c_a=cos(A)*b
Тогда:
b² + c² - 2*c*b*cos(A) = a²
Что и требовалось.

Случаи треугольников, когда точка H оказывается левее вершины A или правее вершины B, рассматриваются аналогичным способом.

Здесь надо использовать c_b=c_a - c
Все формулы получатся такими же.

Формулы sin(x+y) и cos(x+y)

Пояснение к первой картинке: угол CAO=x, поскольку CA параллельно OE, а углы OPE и APC вертикальны. Тогда угол CBA тоже равен х - поскольку угол OAB прямой (прямоугольные треугольники с общим углом подобны). Пояснение ко второй картинке: в прямоугольном треугольнике сумма непрямых углов есть 90°. В прямоугольном треугольнике OAD угол(OAD)=90°-x В прямом угле CAD угол(CAO)=90°-угол(OAD)=90°-90°+x=x В прямом угле OAB угол(CAB)=90°-угол(CAO)=90°-x В прямоугольном треугольнике BCA угол(CBA)=90°-угол(CAB)=90°-90°+x=x

  sin(x+y) = BE/OB
           = (BC+CE)/OB
           = (BC+AD)/OB
           = AD/OB + BC/OB
           = (AD/OB)×(OA/OA) + (BC/OB)×(BA/BA)
           = (AD/OA)×(OA/OB) + (BC/BA)×(BA/OB)
  sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

Из этой формулы в частности следует, что sin(2x)=2*sin(x)*cos(x).

Вывод формулы для cos(x+y) подобен предыдущему. Используем ту же самую диаграмму:

  cos(x+y) = OE/OB
           = (OD-DE)/OB
           = (OD-AC)/OB
           = OD/OB - AC/OB
           = (OD/OB)×(OA/OA) - (AC/OB)×(BA/BA)
           = (OD/OA)×(OA/OB) - (AC/BA)×(BA/OB)
  cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

Из чего вытекает, что cos(2x)=cos²(x)-sin²(x).

Если взять y = -x и учесть cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x), получим 1=cos(0)
cos²(x)+sin²(x)=1 (теорема Пифагора).

Формула для тангенса tg(x+y) может быть выведена из вышедоказанных формул и того, что tg=sin/cos.
Это приводит к tg(x+y)=(tg(x) + tg(y))/(1-tg(x)*tg(y)).

Углы больше 90 градусов тоже подходят для этих формул. Это можно проверить разными способами, оставленными читателю для развлечения.

И снова об описанной окружности

Теорема Птолемея

Вообще-то это неравенство, но нас интересует вырожденный случай, приводящий к равенству.
Пусть ABCD - вписанный в окружность четырёхугольник. Тогда
|AC|*|BD|=|AB|*|CD| + |BC|*|AD|

Доказательство

Отметим на AC точку M, такую что угол(ABM)=угол(DBC).

Так как вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC, они тоже равны друг другу.
Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны (по двум углам), а значит
|CD| / |BD|= |MA| / |BA|,
или, перемножая крест накрест, |MA|*|BD|=|AB|*|CD|

По условию (как мы выбирали M) угол(ABM)=угол(DBC)
Тогда угол(ABD)+угол(DBM)=угол(ABM)=угол(DBC)=угол(DBM)+угол(MBC)
Посмотрим вот на это: угол(ABD)+угол(DBM)=угол(DBM)+угол(MBC)
и вычтем угол(DBM) из обеих частей равенства.
Мы получаем угол(ABD)=угол(MBC).

Кроме того, так как вписанные углы BDA и BCA опираются на одну и ту же хорду AB, они равны между собой.
Следовательно, треугольники ABD и MBC подобны (по двум углам).
Значит |AD| / |BD| = |MC| / |BC|
или, перемножая крест накрест, |MC|*|BD|=|AD|*|BC|

Складывая почленно равенства
|MA|*|BD|=|AB|*|CD| и
|MC|*|BD|=|AD|*|BC|, получаем
(|MA| + |MC|)*|BD| = |AB|*|CD| + |AD|*|BC|, или
|AC|*|BD| = |AB|*|CD| + |BC|*|AD|,
что и требовалось доказать.

Теорема 5

Если радиус окружности R, то длина хорды, стягивающей угол 2*x, равна 2*R*sin(x).

Доказательство

Пусть задана хорда AB. Пусть центральный угол(AOB)=2*x Опустим на хорду AB перпендикуляр OP. Тогда мы имеем два равных прямоугольных треугольника с углами при вершине O, равными x. Из прямоугольного треугольника AOP
|AP|=|OA|*sin(угол(AOP))=R*sin(x) [по определению синуса]
Из прямоугольного треугольника BOP
|BP|=R*sin(x) тоже.
Тогда |AB|=|AP|+|BP|=2*R*sin(x)
Что и требовалось доказать.

Следствие теоремы Птолемея. Формула для синуса суммы углов

Пусть AC является диаметром описанной вокруг ABCD окружности.

Раз AC - диаметр, то треугольники ABC и ADC - прямоугольные (Следствие-2).
Обозначим x=угол(BAC), y=угол(DAC)
В прямоугольном треугольнике ABC
|AB|/|AC| = cos(x)
|BC|/|AC| = sin(x)
В прямоугольном треугольнике ADC
|AD|/|AC| = cos(y)
|CD|/|AC| = sin(y)
Поделим формулу Птолемея |AC|*|BD|=|AB|*|CD|+|BC|*|AD| на |AC|²
|BD|/|AC| = cos(x)*sin(y) + sin(x)*cos(y) {ф1}

Теперь заметим, что вписанный в окружность угол(BAD)=угол(BAC)+угол(CAD)=x+y
опирается на хорду BD (она же - диагональ нашего четырёхугольника).
По Теореме-1 соответствующий центральный угол(BOD) вдвое больше этого вписанного угла.
угол(BOD)=2*угол(BAD)=2*(x+y)

Теперь мы привлечём Теорему-5. Она гласит, что длина хорды при центральном угле 2*a равна 2*R*sin(a),
или при угле a=2*(x+y) равна 2*R*sin(x+y).
В нашем случае хорда - это BD. И в нашем же случае AC - диаметр, равный 2*R.
Получаем: |BD|/|AC|=2*R*sin(x+y) / (2*R) = sin(x+y) {ф2}

Из {ф1} и {ф2} у нас получилась формула
sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

Следствие теоремы Птолемея. Теорема косинусов

Пусть задан треугольник ABC. Опишем вокруг него окружность и проведём AD параллельно BC.

Поскольку AD || BC, то ABCD - равнобедренная трапеция. Пусть |BD|=|AC|=b, |CD|=|AB|=c, |CB|=a,
угол(DCB)=угол(ABC)=B
Проведем в трапеции высоты AN и DK, тогда
|CK|=|BN|=c*cos(B) (из треугольника ABN)
Найдём |KN|=|BC|-|CK|-|BN|=a - 2*c*cos(B)=|AD|
поскольку |KN|=|AD| в прямоугольнике KNAD
Применим формулу Птолемея к трапеции ABCD, получим:
c² + a*(a - 2*c*cos(B)) = b² или
b² = a² + c² - 2*a*c*cos(B)
Это и есть теорема косинусов.