# Доказательство Великой Теоремы Ферма

Андрей Скрыпник

ISBN 9780359959365; http://vixra.org/abs/1806.0420

Великая Теорема Ферма


Xn + Yn ≠ Zn ,

где X, Y, Z, n - натуральные числа и n > 2.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________


Пусть X и Y - данные натуральные числа.


Доказательство от обратного


Пусть для некоторых натуральных чисел


Xn + Yn = Zn .


(1)


Пусть


Y < X < Z .


(2)


Тогда


Xn + Yn = (X + Yn) n ,


(3)


где


Yn < Y .


(4)


Рассмотрим (1) и (3) при n = 2:


X2 + Y2 = Z22= (X + Y2)2 ,


(5)


Раскроем скобки в (5):


Y 2 = 2*X*Y2 + Y22 ,


(6)


Выразим из (6) значение X:


X = (Y 2 - Y22) / (2*Y2) .


(7)


Подставим (7) в (5):


((Y2-Y22)/(2*Y2))2 + Y2 = (Y4 - 2*Y2*Y22 + Y24 + 4*Y2*Y22)/(4*Y22) = ((Y2 + Y22)/(2*Y2))2 = Z22.


(8)


Выразим из (8) значение Z2:


Z2 = (Y2 + Y22) / (2*Y2) .


(9)


Выясним значение Z2 при данных натуральных X и Y. Для этого вернёмся к (6) и представим его в следующем виде:


Y2 = Y2*(2*X + Y2) ,


(10)


Так как 2*X - натуральное число, то, исходя из (10), Y будет натуральным только в том случае, если Y2 будет натуральным числом. Значит, Z2 = (X + Y2) - натуральное число.

Вывод 1:

(1) будет верным, если при данных натуральных X и Y будет натуральным числом и Z2 из (5).


В связи с этим подробнее рассмотрим значения Y, X и Z2 в (5). (5) имеет ряд решений, но есть закономерности, которые можно определить:

1) Решения в натуральных числах (5) с учётом (2):


32 + 42 = 52 =(4+1)2


(11)


и следующие производные от (11):


(3* Y2)2 + (4*Y2)2= (4*Y2+ Y2)2 ,


(12)


(3+ 2* N)2 + ((4+8+...+4*(N+1))2 = ((4+8+...+4*(N+1) + 1)2 ,


(13)


((3 + 2*N)*Y2)2 + ((4+8+...+4*(N+1))*Y2)2 = ((4+8+...+4*(N+1))*Y2 + Y2)2 ,


(14)


где N, Y2 - натуральные числа и Y2 ≥ 2 для (12) и (14) и Y2=1 для (11) и (13).


Из (11), (12), (13), (14) следует, что большее слагаемое X2 выражения (5) всегда будет чётным числом. Следовательно:


X - всегда чётное число ,


(15)


2) (5) всегда можно выразить в следующем виде:


(Y2*X0)2 + (Y2*Y0)2 = (Y2* Z20)2 = (Y2*X0 + Y2)2 ,


(16)


где Y0, X0, Z20 - натуральные числа.


В (16) Y0 ≥ 3 и Z20 = (X0 + 1) - всегда нечётные числа , (см. (11) и (13))


(17)


3) Преобразуем (16), подставив в него (7) и (9):


((Y22*Y02 - Y22) / (2*Y2))2 + (Y2*Y0)2 = ((Y22*Y02 + Y22) / (2*Y2))2 ,


(18)


Произведем видимые сокращения в (18):


(Y22*(Y02 - 1)2) / 4) + (Y2*Y0)2 = (Y22*(Y02 + 1)2) / 4 ,


(19)


Из (19) выведем новые выражения для X и Z2.

Так


X = Y2*(Y02 - 1) / 2 ,


(20)


Z2 = Y2*(Y02 + 1) / 2 ,


(21)


Если (1) верно, то


X Z < Z2 .


(22)


Значит:


Y2 ≥ 2 .


(23)


Если (1) верно, то его можно преобразовать в следующий вид с учётом вывода 1:


Xn + Yn = (Z2 - K)n = ((X + Y2) - K)n ,


(24)


где K - натуральное число и K< Y2 .


(25)


Подставим в (24) Y из (16), X из (20) и Z2 из (21):


(Y2*(Y02 - 1) / 2)n + (Y2*Y0)n = ((Y2*(Y02 + 1) / 2) - K)n .


(26)


Из условия (23) следует, что (26) можно представить в следующем виде:


Y2n*(((Y02 - 1) / 2)n + Y0n)= ((Y2*(Y02 + 1) / 2) - K)n .


(27)


Пусть в (27)


(((Y02 - 1) / 2)n + Y0n ) = W ,


(28)


где W - натуральное число.

С учётом (28) преобразуем (27):


Y2n*W = Zn = (((Y2*(Y02 + 1)) / 2) - K)n .


(29)


Вынесем в правом выражении (29) за скобки Y2n :


Y2n*W = Zn = Y2n*(((Y02 + 1) / 2) - (K / Y2))n = Y2n*Vn .


(30)


Из условий (17) и (25) следует, что V не может быть натуральным числом.

То есть


W ≠ Vn или Z не кратно Y2 (Z / Y2 ≠ V) ,


(31)


где Z, Y2, W, V, n - натуральные числа и n > 2.

Тогда (30) для натуральных чисел можно представить в таком виде:


Y2n*W = Zn ≠ Y2n*Vn .


(32)


Но (32) можно представить в следующем виде


Zn = Y2n*W = Y2n + (Y2n*F) = Y2n*(1 + F) ,


(33)


где F - натуральное число и W = (1 + F).

Но согласно (33)


(Y2n*F) = Zn - Y2n = (Z - Y2)*(Zn-1 + Zn-2*Y2 +...+ Z*Y2n-2 + Y2n-1) ,


(34)


Но согласно (31) правая часть (34) не может быть кратна Y2.


(Y2n*F) ≠ Zn - Y2n = (Z - Y2)*(Zn-1 + Zn-2*Y2 +...+ Z*Y2n-2 + Y2n-1) ,


(35)


То есть, если W ≠ Vn


Y2n*W ≠ Zn .


(36)


Следовательно, согласно (24), (25), (26), (27), (28), (29)


Xn + Yn = (Y2*(Y02 - 1) / 2)n + (Y2*Y0)n ≠ ((Y2*(Y02 + 1) / 2) - K)n = Zn .


(37)


То есть


Xn + Yn ≠ (Z2 - K)n = Zn для n > 2.


(38)


Великая теорема Ферма доказана.


А.Б.С.


_____

знак "сумма... по... от... до..." не отражается здесь в текстовом редакторе (А.С.)