В 1834 году сонный, но довольный собою математик, потянувшись, вышел на балкон и прокричал:
- Семь больше шести!
Квартира ученого выходила на рыночную площадь, где, как всем известно, у людей и без того дел по горло. Но столь сенсационное заявление заставило весь базар замолчать. Ошарашенные, покупатели и торговцы воззрились на босого бородача в ночной рубашке. Первым среагировал явно не глупый мальчуган:
- А ведь и правда...
Другой паренек подхватил:
- Ничего себе!
Вскоре весь базар загалдел:
- Невероятно!!!
Так взошла звезда нового гения. Если Эйлеру и Лейбницу для славы пришлось окунаться во всякие дифференциальные уравнения и комплексные числа, великий прусский математик, живший полтора столетия спустя, ухватил самую гениальную из имевшихся идей - этого оказалось достаточно.
С тех пор каждый уважающий себя университетский учебник по комбинаторике открывается одой во славу великой идее, и все студенты мира с придыханием произносят фамилию гения:
- Дирихле!
Эта история, конечно, сказка. Но... откройте университетский учебник по комбинаторике. Первая глава называется "Семь больше шести" и посвящена она... принципу Дирихле.
Если вам покажется это глупостью, что ж, ознакомьтесь с задачами, которые решаются с помощью казалось бы столь простой идеи.
Например, докажите, что, если мы выберем внутри квадрата 1х1 пять точек, найдутся такие две точки, расстояние между которыми меньше 0,71.
Без принципа Дирихле даже не очень-то понятно, с какого конца подступиться к этой задаче. А вот с принципом... Разобьем наш квадрат на четыре равных квадратика, и заметим, что пять больше четырех! То есть точек-то у нас пять, а квадратиков четыре. Значит, в одном из квадратиков непременно окажутся, как минимум, две точки. Ну а максимальное расстояние между ними - это диагональ квадратика, которую мы вычисляем по теореме Пифагора и получаем число меньше 0,71.
Ладно, может сказать въедливый читатель, при желании могу решить эту задачу и без принципа Дирихле. Окей, но что если точек будет... 65? С принципом Дирихле вы просто разлинуете квадрат как шахматную доску на 64 клетки и сделаете гениальное замечание: 65-то больше 64! А вот без Дирихле все сразу как-то грустно.
Собственно, это одна из причин, почему пусть не все, но, быть может, некоторые студенты с придыханием произносят фамилию гения:
- Дирихле!
И все же, разлиновывание квадратов, треугольников и прочих разных фигур с целью втиснуть две точки в одну клетку - это хоть и захватывающее занятие, но неужто на этом все?
Конечно, нет: под знамена Дирихле вслед за геометрией встает и алгебра. Докажите, что среди бесконечного ряда чисел 1, 11, 111, 1111, ... непременно найдется такое число, что делится на 2027. Без Дирихле может возникнуть желание дать общую формулу членам ряда, попытаться найти в них что-нибудь отдаленно смахивающее на 2027n...
А вот с Дирихле все проще: каждый член ряда при делении на 2027 дает какой-то остаток. Остатков этих никак не больше 2027 (0, 1, 2... 2026). А бесконечность-то всяко больше каких-то там 2027! То есть в ряду у нас непременно найдутся два числа с одинаковыми остатками при делении на 2027. Возьмем эти два числа, отнимем одно от другого: 111...111 - 1...1 = 11...1100...00, и вот это число уже делится на 2027. Раз 11...1100...00 делится на 2027, значит и 11...11 делится на 2027, а это число - член ряда.
Можно даже пойти дальше и доказать, что делимое на 2027 мы найдем среди первых 2027 членов ряда. Можно и вовсе ускакать в открытую степь: перейдя в двоичную, троичную и прочие системы счисления, показать, что и там все работает, далее с помощью несложных умозаключений прийти к выводу, что любое простое число можно домножить до вида an-1.
Но вернемся-ка мы из киргиз-кайсацкой степи неведомых умозаключений к нашему алгебраическому отряду под руководством Дирихле: конечное количество остатков и попытка втиснуть два числа в клетку с одним остатком - вполне стандартный прием. Из-за него и учащимся алгебре, кажется, незазорно иной раз с придыханием произнести:
- Дирихле!
К алгебре с геометрией несется благородный отряд теории графов... А тем временем на горизонте в разных точках клубится пыль от целых армий с иными участниками, и, приложив ухо к земле, помимо цокота копыт, можно, кажется, расслышать кое-что еще: